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Theorem stirlinglem5 27694
Description: If  T is between  0 and  1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.2  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
stirlinglem5.3  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.4  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
stirlinglem5.6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
stirlinglem5.7  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, j    T, j
Allowed substitution hints:    D( j)    E( j)    F( j)    G( j)    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables  i 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) ) ) )
6 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
87negcld 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
9 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
118, 10expcld 11478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  e.  CC )
12 nncn 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
14 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
1514rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1615recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
18 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
2017, 19expcld 11478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  e.  CC )
21 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
2311, 13, 20, 22div32d 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
247, 17pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  T )  -  1 )  =  T )
2524eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  =  ( ( 1  +  T )  -  1 ) )
2625oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  =  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) )
2726oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2823, 27eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2928mpteq2dva 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) ) ) )
305, 29eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( ( ( 1  +  T
)  -  1 ) ^ j ) ) ) )
3130seqeq3d 11286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  D )  =  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) ) )
326a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3332, 16addcld 9063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  CC )
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3534cnmetdval 18758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T
)  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs  o.  -  )
( 1  +  T
) )  =  ( abs `  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) ) )
3632, 33, 35syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  =  ( abs `  ( 1  -  (
1  +  T ) ) ) )
37 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
3938oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 0  -  T ) )
4032, 32, 16subsub4d 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) )
41 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u T  =  ( 0  -  T )
4241eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  T )  = 
-u T
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  -  T
)  =  -u T
)
4439, 40, 433eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  +  T ) )  =  -u T
)
4544fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  =  ( abs `  -u T ) )
4616absnegd 12206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  =  ( abs `  T ) )
47 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
4846, 47eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  <  1 )
4945, 48eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  <  1 )
5036, 49eqbrtrd 4192 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  <  1 )
51 cnxmet 18760 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
53 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5554rexrd 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
56 elbl2 18373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5752, 55, 32, 33, 56syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5850, 57mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
59 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
6059logtayl2 20506 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  ->  seq  1
(  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  / 
j )  x.  (
( ( 1  +  T )  -  1 ) ^ j ) ) ) )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
6158, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) )  ~~>  ( log `  (
1  +  T ) ) )
6231, 61eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  D )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
63 seqex 11280 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
65 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  /  j ) ) )
6766seqeq3d 11286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  E )  =  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
68 logtayl 20504 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( abs `  T )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
6916, 47, 68syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  T ) ) )
7067, 69eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  E )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
71 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
7271, 1syl6eleq 2494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
734a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
74 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
7574oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
76 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  ( T ^ j )  =  ( T ^ n
) )
77 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  j  =  n )
7876, 77oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
7975, 78oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
8079adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
81 elfznn 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
8281adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
836a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8483negcld 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
85 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8684, 85expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8816ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  T  e.  CC )
8982nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN0 )
9088, 89expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
9182nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  CC )
9282nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
9487, 93mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
9573, 80, 82, 94fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
9695, 94eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  e.  CC )
97 addcl 9028 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9897adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
n  e.  CC  /\  i  e.  CC )
)  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9972, 96, 98seqcl 11298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  D ) `  k
)  e.  CC )
10065a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
10178adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( T ^ j )  / 
j )  =  ( ( T ^ n
)  /  n ) )
102100, 101, 82, 93fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
103102, 93eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  e.  CC )
10472, 103, 98seqcl 11298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  E ) `  k
)  e.  CC )
105 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
106 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
107106a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
10879, 78oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
109108adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
110 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
11186adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
11216adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
113110nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
114112, 113expcld 11478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
115110nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
116110nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
117114, 115, 116divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  e.  CC )
118111, 117mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
119118, 117addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
120107, 109, 110, 119fvmptd 5769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
1214a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
12279adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
123121, 122, 110, 118fvmptd 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
124123eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( D `  n ) )
12565a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
12678adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
127125, 126, 110, 117fvmptd 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( ( T ^
n )  /  n
) )
128127eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  =  ( E `  n
) )
129124, 128oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
130120, 129eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( D `  n )  +  ( E `  n ) ) )
131105, 82, 130syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
13272, 96, 103, 131seradd 11320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq  1 (  +  ,  D ) `  k )  +  (  seq  1 (  +  ,  E ) `  k ) ) )
1331, 3, 62, 64, 70, 99, 104, 132climadd 12380 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  +  -u ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
134 1rp 10572 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
136135, 14rpaddcld 10619 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  RR+ )
137136rpne0d 10609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  =/=  0 )
13833, 137logcld 20421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  +  T ) )  e.  CC )
13932, 16subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
14015, 54absltd 12187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
)  <  1  <->  ( -u 1  <  T  /\  T  <  1 ) ) )
14147, 140mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
T  /\  T  <  1 ) )
142141simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  <  1 )
14315, 142gtned 9164 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =/=  T )
14432, 16, 143subne0d 9376 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  =/=  0 )
145139, 144logcld 20421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  -  T ) )  e.  CC )
146138, 145negsubd 9373 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
147133, 146breqtrd 4196 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
148 nn0uz 10476 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
149 0z 10249 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
150149a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
151 stirlinglem5.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
152 2nn0 10194 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
153152a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
154 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e. 
NN0 )
155153, 154nn0mulcld 10235 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e. 
NN0 )
156 nn0p1nn 10215 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  j )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
157155, 156syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
158151, 157fmpti 5851 . . . . 5  |-  G : NN0
--> NN
159158a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN0 --> NN )
160 2re 10025 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
161160a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
162 nn0re 10186 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
163161, 162remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
16453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
165162, 164readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
166161, 165remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
167 2rp 10573 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
168167a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR+ )
169162ltp1d 9897 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  < 
( k  +  1 ) )
170162, 165, 168, 169ltmul2dd 10656 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  < 
( 2  x.  (
k  +  1 ) ) )
171163, 166, 164, 170ltadd1dd 9593 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
172151a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
173 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  j  =  k )
174173oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
175174oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
176 id 20 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
177 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
178177a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
179 nn0cn 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
180178, 179mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
1816a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
182180, 181addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
183172, 175, 176, 182fvmptd 5769 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
184 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  j  =  ( k  +  1 ) )
185184oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
186185oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  (
k  +  1 ) )  +  1 ) )
187 peano2nn0 10216 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
188179, 181addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
189178, 188mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
190189, 181addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
191172, 186, 187, 190fvmptd 5769 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
192171, 183, 1913brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
193192adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
194 eldifi 3429 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  NN )
195194adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN )
1966a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  1  e.  CC )
197196negcld 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u 1  e.  CC )
198194, 85syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
199197, 198expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
200199adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
20116adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  T  e.  CC )
202195nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN0 )
203201, 202expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
204195nncnd 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  CC )
205195nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  =/=  0 )
206203, 204, 205divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
207200, 206mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
208207, 206addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  e.  CC )
209108, 106fvmptg 5763 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) ) )
210195, 208, 209syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
211 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  e.  ran  G )
212 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
213 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
214152, 213num0h 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )
215 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  0  ->  (
2  x.  j )  =  ( 2  x.  0 ) )
216215oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  0  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
217216eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  0  ->  (
1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
218217rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  =  ( (
2  x.  0 )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  1  =  ( (
2  x.  j )  +  1 ) )
219212, 214, 218mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 )
220151elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
2216, 220ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
222219, 221mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ran  G
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ran  G )
224 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ran  G  <->  1  e.  ran  G ) )
225223, 224mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ran  G )
226211, 225nsyl 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  =  1 )
227 nn1m1nn 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
228194, 227syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
229228ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  n  =  1  ->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
230226, 229mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN )
231 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j NN
232 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ j
( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
233151, 232nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j G
234233nfrn 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j ran  G
235231, 234nfdif 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( NN  \  ran  G )
236235nfcri 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  n  e.  ( NN 
\  ran  G )
237151elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
238211, 237mtbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
239 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
240238, 239sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
241240r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
242241neneqad 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  n  =/=  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )
243242necomd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
244243adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
245 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
246 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
247194ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
248160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
249 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
250249zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  RR )
251248, 250remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
252 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  e.  RR
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
25453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
255177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
256250recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  CC )
257255, 256mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( j  x.  2 ) )
258 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
259 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( j  e.  NN0  <->  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
260258, 259sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
261 nan 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )  <->  ( (
( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j ) )
262260, 261mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j )
263262anabss1 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  0  <_  j )
264250, 253ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  <  0  <->  -.  0  <_  j ) )
265263, 264mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  <  0
)
266167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
267266rpregt0d 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
268 mulltgt0 27560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( j  e.  RR  /\  j  <  0 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( j  x.  2 )  <  0 )
269250, 265, 267, 268syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  x.  2 )  <  0
)
270257, 269eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  <  0
)
271251, 253, 254, 270ltadd1dd 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  (
0  +  1 ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
273272addid2d 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
274271, 273breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1
)
275251, 254readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
276275, 254ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ) )
277274, 276mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
278 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
279277, 278nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
280279adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
281 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
282 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  n  e.  NN )
283281, 282eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
284283adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
285280, 284mtand 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
286285neneqad 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
287245, 246, 247, 286syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
288244, 287pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
289288neneqd 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
290289ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
291236, 290ralrimi 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
292 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n  <->  -.  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
293291, 292sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )
294194nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  ZZ )
295 odd2np1 12863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
296294, 295syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
297293, 296mtbird 293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  -.  2  ||  n )
298297notnotrd 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  n )
299194nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  CC )
300299, 196npcand 9371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
301298, 300breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )
302198nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
303 oddp1even 12865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
304302, 303syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
305301, 304mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  2  ||  ( n  - 
1 ) )
306 oexpneg 12866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( n  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
307196, 230, 305, 306syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
308 1exp 11364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
309302, 308syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
310309negeqd 9256 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
311307, 310eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
312311adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
313312oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
314313oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  =  ( (
-u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
315206mulm1d 9441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  -u ( ( T ^ n )  /  n ) )
316315oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u (
( T ^ n
)  /  n )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
317206negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  -u (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
318317, 206addcomd 9224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u ( ( T ^
n )  /  n
)  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( T ^ n )  /  n )  + 
-u ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
319206negidd 9357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( T ^
n )  /  n
)  +  -u (
( T ^ n
)  /  n ) )  =  0 )
320316, 318, 3193eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  0 )
321210, 314, 3203eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
322120, 119eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
323106a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
324 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
325324oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( j  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )
326325oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) ) )
327324oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( T ^ j
)  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
328327, 324oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( T ^
j )  /  j
)  =  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
329326, 328oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
330329, 328oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
331152a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN0 )
332 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
333331, 332nn0mulcld 10235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
334 nn0p1nn 10215 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
335333, 334syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
336181negcld 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
337180, 181pncand 9368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
338152a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
339338, 176nn0mulcld 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
340337, 339eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
341336, 340expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
342341adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  e.  CC )
34316adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  T  e.  CC )
344213a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN0 )
345333, 344nn0addcld 10234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
346343, 345expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
347177a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
348179adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
349347, 348mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
3506a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
351349, 350addcld 9063 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
352252a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
353160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
354162adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
355353, 354remulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
35653a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
357152nn0ge0i 10205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
358357a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  2 )
359332nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  k )
360353, 354, 358, 359mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2  x.  k ) )
361 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
362361a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  1 )
363355, 356, 360, 362addgegt0d 9556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
364352, 363gtned 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
365346, 351, 364divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
366342, 365mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
367366, 365addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
368323, 330, 335, 367fvmptd 5769 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
369337adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
370369oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k
) ) )
371 m1expeven 27592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
372371adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
373370, 372eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  1 )
374373oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
375365mulid2d 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
376374, 375eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
377376oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
3783652timesd 10166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
379346, 351, 364divrec2d 9750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
380379oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
381377, 378, 3803eqtr2d 2442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
382368, 381eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
383 stirlinglem5.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
384383a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) ) )
385 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
j  =  k )
386385oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
387386oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
388387oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
389387oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( T ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
390388, 389oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
391390oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
392351, 364reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
393392, 346mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
394347, 393mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
395384, 391, 332, 394fvmptd 5769 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
396213a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e. 
NN0 )
397339, 396nn0addcld 10234 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
398172, 175, 176, 397fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
399398adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
400399fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
401382, 395, 4003eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
402148, 1, 150, 3, 159, 193, 321, 322, 401isercoll2 12417 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  <->  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) ) )
403147, 402mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
40454, 15resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
40516subidd 9355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  =  0 )
406405eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( T  -  T ) )
40715, 54, 15, 142ltsub1dd 9594 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  <  ( 1  -  T ) )
408406, 407eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  T ) )
409404, 408elrpd 10602 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR+ )
410136, 409relogdivd 20474 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( 1  +  T
)  /  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
411403, 410breqtrrd 4198 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233    || cdivides 12807   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   logclog 20405
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  27695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407
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