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Theorem stirlinglem5 32063
Description: If  T is between  0 and  1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.2  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
stirlinglem5.3  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.4  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
stirlinglem5.6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
stirlinglem5.7  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, j    T, j
Allowed substitution hints:    D( j)    E( j)    F( j)    G( j)    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables  i 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) ) ) )
5 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
65negcld 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
7 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
96, 8expcld 12313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  e.  CC )
10 nncn 10564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
12 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
1312rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1413recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
16 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
1815, 17expcld 12313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  e.  CC )
19 nnne0 10589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
219, 11, 18, 20div32d 10364 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
225, 15pncan2d 9952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  T )  -  1 )  =  T )
2322eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  =  ( ( 1  +  T )  -  1 ) )
2423oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  =  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) )
2524oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2621, 25eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2726mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) ) ) )
284, 27eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( ( ( 1  +  T
)  -  1 ) ^ j ) ) ) )
2928seqeq3d 12118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  D )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) ) )
30 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3130, 14addcld 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  CC )
32 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 21404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T
)  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs  o.  -  )
( 1  +  T
) )  =  ( abs `  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) ) )
3430, 31, 33syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  =  ( abs `  ( 1  -  (
1  +  T ) ) ) )
35 1m1e0 10625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
3736oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 0  -  T ) )
3830, 30, 14subsub4d 9981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) )
39 df-neg 9827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u T  =  ( 0  -  T )
4039eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  T )  = 
-u T
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  -  T
)  =  -u T
)
4237, 38, 413eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  +  T ) )  =  -u T
)
4342fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  =  ( abs `  -u T ) )
4414absnegd 13292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  =  ( abs `  T ) )
45 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
4644, 45eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  <  1 )
4743, 46eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  <  1 )
4834, 47eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  <  1 )
49 cnxmet 21406 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
5049a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
51 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5251rexrd 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
53 elbl2 21019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5450, 52, 30, 31, 53syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5548, 54mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
56 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
5756logtayl2 23169 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  / 
j )  x.  (
( ( 1  +  T )  -  1 ) ^ j ) ) ) )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
5855, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) )  ~~>  ( log `  (
1  +  T ) ) )
5929, 58eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  D )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
60 seqex 12112 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  _V
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
62 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  /  j ) ) )
6463seqeq3d 12118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  E )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
65 logtayl 23167 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( abs `  T )  <  1 )  ->  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
6614, 45, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  T ) ) )
6764, 66eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  E )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
68 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
6968, 1syl6eleq 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
703a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
71 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
7271oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
73 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  ( T ^ j )  =  ( T ^ n
) )
74 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  j  =  n )
7573, 74oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
7672, 75oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
7776adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
78 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
7978adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
80 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8180negcld 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
82 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8381, 82expcld 12313 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8479, 83syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  T  e.  CC )
8679nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN0 )
8785, 86expcld 12313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
8879nncnd 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  CC )
8979nnne0d 10601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  =/=  0 )
9087, 88, 89divcld 10341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
9184, 90mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
9270, 77, 79, 91fvmptd 5961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
9392, 91eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  e.  CC )
94 addcl 9591 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9594adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
n  e.  CC  /\  i  e.  CC )
)  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9669, 93, 95seqcl 12130 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  D ) `  k
)  e.  CC )
9762a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
9875adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( T ^ j )  / 
j )  =  ( ( T ^ n
)  /  n ) )
9997, 98, 79, 90fvmptd 5961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
10099, 90eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  e.  CC )
10169, 100, 95seqcl 12130 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  E ) `  k
)  e.  CC )
102 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
103 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
10576, 75oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
106105adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
107 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
10883adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
10914adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
110107nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
111109, 110expcld 12313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
112107nncnd 10572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
113107nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
114111, 112, 113divcld 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  e.  CC )
115108, 114mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
116115, 114addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
117104, 106, 107, 116fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
1183a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
11976adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
120118, 119, 107, 115fvmptd 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
121120eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( D `  n ) )
12262a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
12375adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
124122, 123, 107, 114fvmptd 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( ( T ^
n )  /  n
) )
125124eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  =  ( E `  n
) )
126121, 125oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
127117, 126eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( D `  n )  +  ( E `  n ) ) )
128102, 79, 127syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
12969, 93, 100, 128seradd 12152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq 1 (  +  ,  D ) `  k )  +  (  seq 1 (  +  ,  E ) `  k ) ) )
1301, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129climadd 13466 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  +  -u ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
131 1rp 11249 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
132131a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
133132, 12rpaddcld 11296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  RR+ )
134133rpne0d 11286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  =/=  0 )
13531, 134logcld 23084 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  +  T ) )  e.  CC )
13630, 14subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
13713, 51absltd 13273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
)  <  1  <->  ( -u 1  <  T  /\  T  <  1 ) ) )
13845, 137mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
T  /\  T  <  1 ) )
139138simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  <  1 )
14013, 139gtned 9737 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =/=  T )
14130, 14, 140subne0d 9959 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  =/=  0 )
142136, 141logcld 23084 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  -  T ) )  e.  CC )
143135, 142negsubd 9956 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
144130, 143breqtrd 4480 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
145 nn0uz 11140 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
146 0zd 10897 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
147 stirlinglem5.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
148 2nn0 10833 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
149148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
150 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e. 
NN0 )
151149, 150nn0mulcld 10878 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e. 
NN0 )
152 nn0p1nn 10856 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  j )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
153151, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
154147, 153fmpti 6055 . . . . 5  |-  G : NN0
--> NN
155154a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN0 --> NN )
156 2re 10626 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
157156a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
158 nn0re 10825 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
159157, 158remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
160 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
161158, 160readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
162157, 161remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
163 2rp 11250 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
164163a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR+ )
165158ltp1d 10496 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  < 
( k  +  1 ) )
166158, 161, 164, 165ltmul2dd 11333 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  < 
( 2  x.  (
k  +  1 ) ) )
167159, 162, 160, 166ltadd1dd 10184 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
168147a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
169 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  j  =  k )
170169oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
171170oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
172 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
173 2cnd 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
174 nn0cn 10826 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
175173, 174mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
176 1cnd 9629 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
177175, 176addcld 9632 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
178168, 171, 172, 177fvmptd 5961 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
179 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  j  =  ( k  +  1 ) )
180179oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
181180oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  (
k  +  1 ) )  +  1 ) )
182 peano2nn0 10857 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
183174, 176addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
184173, 183mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
185184, 176addcld 9632 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
186168, 181, 182, 185fvmptd 5961 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
187167, 178, 1863brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
188187adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
189 eldifi 3622 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  NN )
190189adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN )
191 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  1  e.  CC )
192191negcld 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u 1  e.  CC )
193189, 82syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
194192, 193expcld 12313 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
195194adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
19614adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  T  e.  CC )
197190nnnn0d 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN0 )
198196, 197expcld 12313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
199190nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  CC )
200190nnne0d 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  =/=  0 )
201198, 199, 200divcld 10341 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
202195, 201mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
203202, 201addcld 9632 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  e.  CC )
204105, 103fvmptg 5954 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) ) )
205190, 203, 204syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
206 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  e.  ran  G )
207 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
208 1nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
209148, 208num0h 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )
210 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  0  ->  (
2  x.  j )  =  ( 2  x.  0 ) )
211210oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  0  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
212211eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  0  ->  (
1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
213212rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  =  ( (
2  x.  0 )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  1  =  ( (
2  x.  j )  +  1 ) )
214207, 209, 213mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 )
215 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
216147elrnmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
218214, 217mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ran  G
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ran  G )
220 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ran  G  <->  1  e.  ran  G ) )
221219, 220mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ran  G )
222206, 221nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  =  1 )
223 nn1m1nn 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
224189, 223syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
225224ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  n  =  1  ->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
226222, 225mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN )
227 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j NN
228 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ j
( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
229147, 228nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j G
230229nfrn 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j ran  G
231227, 230nfdif 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( NN  \  ran  G )
232231nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  n  e.  ( NN 
\  ran  G )
233147elrnmpt 5259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
234206, 233mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
235 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
236234, 235sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
237236r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
238237neqned 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  n  =/=  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )
239238necomd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
240239adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
241 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
242 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
243189ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
244156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
245 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
246245zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  RR )
247244, 246remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
248 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
249 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
250 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
251246recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  CC )
252250, 251mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( j  x.  2 ) )
253 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
254 elnn0z 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( j  e.  NN0  <->  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
255253, 254sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
256 nan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )  <->  ( (
( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j ) )
257255, 256mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j )
258257anabss1 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  0  <_  j )
259246, 248ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  <  0  <->  -.  0  <_  j ) )
260258, 259mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  <  0
)
261163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
262261rpregt0d 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
263 mulltgt0 31600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( j  e.  RR  /\  j  <  0 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( j  x.  2 )  <  0 )
264246, 260, 262, 263syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  x.  2 )  <  0
)
265252, 264eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  <  0
)
266247, 248, 249, 265ltadd1dd 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  (
0  +  1 ) )
267 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
268267addid2d 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
269266, 268breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1
)
270247, 249readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
271270, 249ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ) )
272269, 271mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
273 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
274272, 273nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
275274adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
276 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
277 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  n  e.  NN )
278276, 277eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
279278adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
280275, 279mtand 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
281280neqned 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
282241, 242, 243, 281syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
283240, 282pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
284283neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
285284ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
286232, 285ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
287 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n  <->  -.  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
288286, 287sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )
289189nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  ZZ )
290 odd2np1 14058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
291289, 290syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
292288, 291mtbird 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  -.  2  ||  n )
293292notnotrd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  n )
294189nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  CC )
295294, 191npcand 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
296293, 295breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )
297193nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
298 oddp1even 14060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
299297, 298syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
300296, 299mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  2  ||  ( n  - 
1 ) )
301 oexpneg 14061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( n  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
302191, 226, 300, 301syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
303 1exp 12198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
304297, 303syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
305304negeqd 9833 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
306302, 305eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
307306adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
308307oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
309308oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  =  ( (
-u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
310201mulm1d 10029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  -u ( ( T ^ n )  /  n ) )
311310oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u (
( T ^ n
)  /  n )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
312201negcld 9937 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  -u (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
313312, 201addcomd 9799 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u ( ( T ^
n )  /  n
)  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( T ^ n )  /  n )  + 
-u ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
314201negidd 9940 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( T ^
n )  /  n
)  +  -u (
( T ^ n
)  /  n ) )  =  0 )
315311, 313, 3143eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  0 )
316205, 309, 3153eqtrd 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
317117, 116eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
318103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
319 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
320319oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( j  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )
321320oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) ) )
322319oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( T ^ j
)  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
323322, 319oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( T ^
j )  /  j
)  =  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
324321, 323oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
325324, 323oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
326148a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN0 )
327 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
328326, 327nn0mulcld 10878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
329 nn0p1nn 10856 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
330328, 329syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
331176negcld 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
332175, 176pncand 9951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
333148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
334333, 172nn0mulcld 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
335332, 334eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
336331, 335expcld 12313 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
337336adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  e.  CC )
33814adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  T  e.  CC )
339208a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN0 )
340328, 339nn0addcld 10877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
341338, 340expcld 12313 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
342 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
343174adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
344342, 343mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
345 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
346344, 345addcld 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
347 0red 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
348156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
349158adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
350348, 349remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
351 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
352 0le2 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  2 )
354327nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  k )
355348, 349, 353, 354mulge0d 10150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2  x.  k ) )
356 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
357356a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  1 )
358350, 351, 355, 357addgegt0d 10147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
359347, 358gtned 9737 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
360341, 346, 359divcld 10341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
361337, 360mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
362361, 360addcld 9632 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
363318, 325, 330, 362fvmptd 5961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
364332adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
365364oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k
) ) )
366 m1expeven 31788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
367366adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
368365, 367eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  1 )
369368oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
370360mulid2d 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
371369, 370eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
372371oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
3733602timesd 10802 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
374341, 346, 359divrec2d 10345 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
375374oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
376372, 373, 3753eqtr2d 2504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
377363, 376eqtr2d 2499 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
378 stirlinglem5.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
379378a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) ) )
380 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
j  =  k )
381380oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
382381oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
383382oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
384382oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( T ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
385383, 384oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
386385oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
387346, 359reccld 10334 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
388387, 341mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
389342, 388mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
390379, 386, 327, 389fvmptd 5961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
391208a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e. 
NN0 )
392334, 391nn0addcld 10877 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
393168, 171, 172, 392fvmptd 5961 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
394393adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
395394fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
396377, 390, 3953eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
397145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 396isercoll2 13503 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  <->  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) ) )
398144, 397mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
39951, 13resubcld 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
40014subidd 9938 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  =  0 )
401400eqcomd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( T  -  T ) )
40213, 51, 13, 139ltsub1dd 10185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  <  ( 1  -  T ) )
403401, 402eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  T ) )
404399, 403elrpd 11279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR+ )
405133, 404relogdivd 23137 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( 1  +  T
)  /  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
406398, 405breqtrrd 4482 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697    seqcseq 12110   ^cexp 12169   abscabs 13079    ~~> cli 13319    || cdvds 13998   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ulm 22898  df-log 23070
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  32064
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