Theorem stirlinglem5 27694

Description: If T is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	|- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.2	|- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
stirlinglem5.3	|- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.4	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5	|- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
stirlinglem5.6	|- ( ph -> T e. RR+ )
stirlinglem5.7	|- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, j   T, j

Allowed substitution hints:   D( j)   E( j)   F( j)   G( j)   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables i k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10477	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10267	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 |- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
6		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
8	7	negcld 9354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -u 1 e. CC )
9		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
10	9	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
11	8, 10	expcld 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) e. CC )
12		nncn 9964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. CC )
13	12	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
14		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR+ )
15	14	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. RR )
16	15	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. CC )
17	16	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T e. CC )
18		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
19	18	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
20	17, 19	expcld 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) e. CC )
21		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
22	21	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
23	11, 13, 20, 22	div32d 9769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
24	7, 17	pncan2d 9369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 1 + T ) - 1 ) = T )
25	24	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T = ( ( 1 + T ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) = ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) )
27	26	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
28	23, 27	eqtr3d 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
29	28	mpteq2dva 4255	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
30	5, 29	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
31	30	seqeq3d 11286	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) )
32	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
33	32, 16	addcld 9063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. CC )
34		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
35	34	cnmetdval 18758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
37		1m1e0 10024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 0 - T ) )
40	32, 32, 16	subsub4d 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 1 - ( 1 + T ) ) )
41		df-neg 9250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u T = ( 0 - T )
42	41	eqcomi 2408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 - T ) = -u T
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - T ) = -u T )
44	39, 40, 43	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 + T ) ) = -u T )
45	44	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) = ( abs ` -u T ) )
46	16	absnegd 12206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) = ( abs ` T ) )
47		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )
48	46, 47	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) < 1 )
49	45, 48	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) < 1 )
50	36, 49	eqbrtrd 4192	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 )
51		cnxmet 18760	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) )
53		1re 9046	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
55	54	rexrd 9090	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR* )
56		elbl2 18373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) ) -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
57	52, 55, 32, 33, 56	syl22anc 1185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
58	50, 57	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
59		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) = ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 )
60	59	logtayl2 20506	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
61	58, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
62	31, 61	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
63		seqex 11280	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
65		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 |- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
67	66	seqeq3d 11286	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
68		logtayl 20504	. . . . . . 7 |- ( ( T e. CC /\ ( abs ` T ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
69	16, 47, 68	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
70	67, 69	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
71		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
72	71, 1	syl6eleq 2494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
74		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j - 1 ) = ( n - 1 ) )
75	74	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) )
76		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( T ^ j ) = ( T ^ n ) )
77		id 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> j = n )
78	76, 77	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
79	75, 78	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
80	79	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
81		elfznn 11036	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
82	81	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
84	83	negcld 9354	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> -u 1 e. CC )
85		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
86	84, 85	expcld 11478	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
88	16	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> T e. CC )
89	82	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN0 )
90	88, 89	expcld 11478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
91	82	nncnd 9972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. CC )
92	82	nnne0d 10000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcld 9746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
94	87, 93	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
95	73, 80, 82, 94	fvmptd 5769	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
96	95, 94	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) e. CC )
97		addcl 9028	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ i e. CC ) -> ( n + i ) e. CC )
98	97	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( n e. CC /\ i e. CC ) ) -> ( n + i ) e. CC )
99	72, 96, 98	seqcl 11298	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , D ) ` k ) e. CC )
100	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
101	78	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
102	100, 101, 82, 93	fvmptd 5769	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
103	102, 93	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
104	72, 103, 98	seqcl 11298	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , E ) ` k ) e. CC )
105		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
106		stirlinglem5.3	. . . . . . . . . 10 |- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
108	79, 78	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
109	108	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
110		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
111	86	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
112	16	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> T e. CC )
113	110	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
114	112, 113	expcld 11478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ^ n ) e. CC )
115	110	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
116	110	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
117	114, 115, 116	divcld 9746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
119	118, 117	addcld 9063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
120	107, 109, 110, 119	fvmptd 5769	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
121	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
122	79	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
123	121, 122, 110, 118	fvmptd 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
124	123	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( D ` n ) )
125	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
126	78	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
127	125, 126, 110, 117	fvmptd 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
128	127	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) = ( E ` n ) )
129	124, 128	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
130	120, 129	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
131	105, 82, 130	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
132	72, 96, 103, 131	seradd 11320	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( ( seq 1 ( + , D ) ` k ) + ( seq 1 ( + , E ) ` k ) ) )
133	1, 3, 62, 64, 70, 99, 104, 132	climadd 12380	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
134		1rp 10572	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
136	135, 14	rpaddcld 10619	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. RR+ )
137	136	rpne0d 10609	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + T ) =/= 0 )
138	33, 137	logcld 20421	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 + T ) ) e. CC )
139	32, 16	subcld 9367	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
140	15, 54	absltd 12187	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` T ) < 1 <-> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) ) )
141	47, 140	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) )
142	141	simprd 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T < 1 )
143	15, 142	gtned 9164	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 =/= T )
144	32, 16, 143	subne0d 9376	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
145	139, 144	logcld 20421	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 - T ) ) e. CC )
146	138, 145	negsubd 9373	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
147	133, 146	breqtrd 4196	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
148		nn0uz 10476	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
149		0z 10249	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
150	149	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
151		stirlinglem5.5	. . . . . 6 |- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
152		2nn0 10194	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
153	152	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> 2 e. NN0 )
154		id 20	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> j e. NN0 )
155	153, 154	nn0mulcld 10235	. . . . . . 7 |- ( j e. NN0 -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
156		nn0p1nn 10215	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. j ) e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
157	155, 156	syl 16	. . . . . 6 |- ( j e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
158	151, 157	fmpti 5851	. . . . 5 |- G : NN0 --> NN
159	158	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G : NN0 --> NN )
160		2re 10025	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
161	160	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR )
162		nn0re 10186	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
163	161, 162	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. RR )
164	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. RR )
165	162, 164	readdcld 9071	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
166	161, 165	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. RR )
167		2rp 10573	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
168	167	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR+ )
169	162	ltp1d 9897	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k < ( k + 1 ) )
170	162, 165, 168, 169	ltmul2dd 10656	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) < ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
171	163, 166, 164, 170	ltadd1dd 9593	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
172	151	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
173		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> j = k )
174	173	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
175	174	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
176		id 20	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
177		2cn 10026	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
178	177	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 2 e. CC )
179		nn0cn 10187	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
180	178, 179	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. CC )
181	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 1 e. CC )
182	180, 181	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
183	172, 175, 176, 182	fvmptd 5769	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
184		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> j = ( k + 1 ) )
185	184	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
186	185	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
187		peano2nn0 10216	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
188	179, 181	addcld 9063	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
189	178, 188	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. CC )
190	189, 181	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. CC )
191	172, 186, 187, 190	fvmptd 5769	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
192	171, 183, 191	3brtr4d 4202	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
193	192	adantl 453	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
194		eldifi 3429	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. NN )
195	194	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN )
196	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 1 e. CC )
197	196	negcld 9354	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u 1 e. CC )
198	194, 85	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
199	197, 198	expcld 11478	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
200	199	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
201	16	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> T e. CC )
202	195	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN0 )
203	201, 202	expcld 11478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
204	195	nncnd 9972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. CC )
205	195	nnne0d 10000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n =/= 0 )
206	203, 204, 205	divcld 9746	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
207	200, 206	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
208	207, 206	addcld 9063	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
209	108, 106	fvmptg 5763	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
210	195, 208, 209	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
211		eldifn 3430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n e. ran G )
212		0nn0 10192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
213		1nn0 10193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN0
214	152, 213	num0h 10348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 )
215		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = 0 -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. 0 ) )
216	215	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = 0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) )
217	216	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 0 -> ( 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) )
218	217	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) -> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
219	212, 214, 218	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 )
220	151	elrnmpt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. CC -> ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
221	6, 220	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
222	219, 221	mpbir 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ran G
223	222	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> 1 e. ran G )
224		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n e. ran G <-> 1 e. ran G ) )
225	223, 224	mpbird 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n e. ran G )
226	211, 225	nsyl 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n = 1 )
227		nn1m1nn 9976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
228	194, 227	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
229	228	ord 367	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. n = 1 -> ( n - 1 ) e. NN ) )
230	226, 229	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN )
231		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j NN
232		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
233	151, 232	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j G
234	233	nfrn 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j ran G
235	231, 234	nfdif 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( NN \ ran G )
236	235	nfcri 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j n e. ( NN \ ran G )
237	151	elrnmpt 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n e. ran G <-> E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
238	211, 237	mtbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
239		ralnex 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
240	238, 239	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
241	240	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
242	241	neneqad 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> n =/= ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
243	242	necomd 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
244	243	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
245		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
246		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
247	194	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> n e. NN )
248	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR )
249		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
250	249	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. RR )
251	248, 250	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
252		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 e. RR
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 0 e. RR )
254	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. RR )
255	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. CC )
256	250	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. CC )
257	255, 256	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) = ( j x. 2 ) )
258		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
259		elnn0z 10250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( j e. NN0 <-> ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
260	258, 259	sylnib 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
261		nan 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) ) <-> ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j ) )
262	260, 261	mpbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j )
263	262	anabss1 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 0 <_ j )
264	250, 253	ltnled 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j < 0 <-> -. 0 <_ j ) )
265	263, 264	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j < 0 )
266	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
267	266	rpregt0d 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
268		mulltgt0 27560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( j e. RR /\ j < 0 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
269	250, 265, 267, 268	syl21anc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
270	257, 269	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) < 0 )
271	251, 253, 254, 270	ltadd1dd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < ( 0 + 1 ) )
272	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. CC )
273	272	addid2d 9223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 0 + 1 ) = 1 )
274	271, 273	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 )
275	251, 254	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
276	275, 254	ltnled 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
277	274, 276	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
278		nnge1 9982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
279	277, 278	nsyl 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
280	279	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
281		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
282		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> n e. NN )
283	281, 282	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
284	283	adantll 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
285	280, 284	mtand 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
286	285	neneqad 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
287	245, 246, 247, 286	syl21anc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
288	244, 287	pm2.61dan 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
289	288	neneqd 2583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
290	289	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( j e. ZZ -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
291	236, 290	ralrimi 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
292		ralnex 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n <-> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
293	291, 292	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
294	194	nnzd 10330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. ZZ )
295		odd2np1 12863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
296	294, 295	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
297	293, 296	mtbird 293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. -. 2 || n )
298	297	notnotrd 107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || n )
299	194	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. CC )
300	299, 196	npcand 9371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
301	298, 300	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) )
302	198	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
303		oddp1even 12865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
304	302, 303	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
305	301, 304	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. 2 || ( n - 1 ) )
306		oexpneg 12866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( n - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( n - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
307	196, 230, 305, 306	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
308		1exp 11364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
309	302, 308	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
310	309	negeqd 9256	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
311	307, 310	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
312	311	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
313	312	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
314	313	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
315	206	mulm1d 9441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = -u ( ( T ^ n ) / n ) )
316	315	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
317	206	negcld 9354	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> -u ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
318	317, 206	addcomd 9224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) )
319	206	negidd 9357	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
320	316, 318, 319	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
321	210, 314, 320	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
322	120, 119	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. CC )
323	106	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
324		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
325	324	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( j - 1 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) )
326	325	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) )
327	324	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( T ^ j ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
328	327, 324	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
329	326, 328	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
330	329, 328	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
331	152	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. NN0 )
332		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
333	331, 332	nn0mulcld 10235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
334		nn0p1nn 10215	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
335	333, 334	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
336	181	negcld 9354	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> -u 1 e. CC )
337	180, 181	pncand 9368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
338	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> 2 e. NN0 )
339	338, 176	nn0mulcld 10235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
340	337, 339	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
341	336, 340	expcld 11478	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
342	341	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
343	16	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> T e. CC )
344	213	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
345	333, 344	nn0addcld 10234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
346	343, 345	expcld 11478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
347	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
348	179	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
349	347, 348	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
350	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
351	349, 350	addcld 9063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
352	252	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. RR )
353	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. RR )
354	162	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
355	353, 354	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
356	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. RR )
357	152	nn0ge0i 10205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
358	357	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ 2 )
359	332	nn0ge0d 10233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
360	353, 354, 358, 359	mulge0d 9559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 2 x. k ) )
361		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
362	361	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < 1 )
363	355, 356, 360, 362	addgegt0d 9556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
364	352, 363	gtned 9164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
365	346, 351, 364	divcld 9746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
366	342, 365	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
367	366, 365	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
368	323, 330, 335, 367	fvmptd 5769	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
369	337	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
370	369	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) )
371		m1expeven 27592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
372	371	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
373	370, 372	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = 1 )
374	373	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
375	365	mulid2d 9062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
376	374, 375	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
377	376	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
378	365	2timesd 10166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
379	346, 351, 364	divrec2d 9750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
380	379	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
381	377, 378, 380	3eqtr2d 2442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
382	368, 381	eqtr2d 2437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
383		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
384	383	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) ) )
385		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
386	385	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
387	386	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
388	387	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
389	387	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
390	388, 389	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
391	390	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
392	351, 364	reccld 9739	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
393	392, 346	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
394	347, 393	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
395	384, 391, 332, 394	fvmptd 5769	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
396	213	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. NN0 )
397	339, 396	nn0addcld 10234	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
398	172, 175, 176, 397	fvmptd 5769	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
399	398	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
400	399	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
401	382, 395, 400	3eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
402	148, 1, 150, 3, 159, 193, 321, 322, 401	isercoll2 12417	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) <-> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) ) )
403	147, 402	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
404	54, 15	resubcld 9421	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
405	16	subidd 9355	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T - T ) = 0 )
406	405	eqcomd 2409	. . . . 5 |- ( ph -> 0 = ( T - T ) )
407	15, 54, 15, 142	ltsub1dd 9594	. . . . 5 |- ( ph -> ( T - T ) < ( 1 - T ) )
408	406, 407	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
409	404, 408	elrpd 10602	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR+ )
410	136, 409	relogdivd 20474	. 2 |- ( ph -> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
411	403, 410	breqtrrd 4198	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994   ~~> cli 12233   || cdivides 12807   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   logclog 20405

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  27695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407