Theorem stirlinglem5 29878

Description: If T is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	|- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.2	|- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
stirlinglem5.3	|- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.4	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5	|- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
stirlinglem5.6	|- ( ph -> T e. RR+ )
stirlinglem5.7	|- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, j   T, j

Allowed substitution hints:   D( j)   E( j)   F( j)   G( j)   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables i k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10901	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10681	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 |- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
6		ax-1cn 9345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
8	7	negcld 9711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -u 1 e. CC )
9		nnm1nn0 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
11	8, 10	expcld 12013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) e. CC )
12		nncn 10335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. CC )
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
14		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR+ )
15	14	rpred 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. RR )
16	15	recnd 9417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. CC )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T e. CC )
18		nnnn0 10591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
20	17, 19	expcld 12013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) e. CC )
21		nnne0 10359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
23	11, 13, 20, 22	div32d 10135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
24	7, 17	pncan2d 9726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 1 + T ) - 1 ) = T )
25	24	eqcomd 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T = ( ( 1 + T ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) = ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) )
27	26	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
28	23, 27	eqtr3d 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
29	28	mpteq2dva 4383	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
30	5, 29	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
31	30	seqeq3d 11819	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) )
32	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
33	32, 16	addcld 9410	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. CC )
34		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
35	34	cnmetdval 20355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
37		1m1e0 10395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 0 - T ) )
40	32, 32, 16	subsub4d 9755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 1 - ( 1 + T ) ) )
41		df-neg 9603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u T = ( 0 - T )
42	41	eqcomi 2447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 - T ) = -u T
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - T ) = -u T )
44	39, 40, 43	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 + T ) ) = -u T )
45	44	fveq2d 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) = ( abs ` -u T ) )
46	16	absnegd 12940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) = ( abs ` T ) )
47		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )
48	46, 47	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) < 1 )
49	45, 48	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) < 1 )
50	36, 49	eqbrtrd 4317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 )
51		cnxmet 20357	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
53		1re 9390	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
55	54	rexrd 9438	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR* )
56		elbl2 19970	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) ) -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
57	52, 55, 32, 33, 56	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
58	50, 57	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
59		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) = ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 )
60	59	logtayl2 22112	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
61	58, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
62	31, 61	eqbrtrd 4317	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
63		seqex 11813	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
65		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 |- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
67	66	seqeq3d 11819	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
68		logtayl 22110	. . . . . . 7 |- ( ( T e. CC /\ ( abs ` T ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
69	16, 47, 68	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
70	67, 69	eqbrtrd 4317	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
71		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
72	71, 1	syl6eleq 2533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
74		oveq1 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j - 1 ) = ( n - 1 ) )
75	74	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) )
76		oveq2 6104	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( T ^ j ) = ( T ^ n ) )
77		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> j = n )
78	76, 77	oveq12d 6114	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
79	75, 78	oveq12d 6114	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
80	79	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
81		elfznn 11483	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
82	81	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
84	83	negcld 9711	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> -u 1 e. CC )
85		nnm1nn0 10626	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
86	84, 85	expcld 12013	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
88	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> T e. CC )
89	82	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN0 )
90	88, 89	expcld 12013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
91	82	nncnd 10343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. CC )
92	82	nnne0d 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcld 10112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
94	87, 93	mulcld 9411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
95	73, 80, 82, 94	fvmptd 5784	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
96	95, 94	eqeltrd 2517	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) e. CC )
97		addcl 9369	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ i e. CC ) -> ( n + i ) e. CC )
98	97	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( n e. CC /\ i e. CC ) ) -> ( n + i ) e. CC )
99	72, 96, 98	seqcl 11831	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , D ) ` k ) e. CC )
100	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
101	78	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
102	100, 101, 82, 93	fvmptd 5784	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
103	102, 93	eqeltrd 2517	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
104	72, 103, 98	seqcl 11831	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , E ) ` k ) e. CC )
105		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
106		stirlinglem5.3	. . . . . . . . . 10 |- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
108	79, 78	oveq12d 6114	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
109	108	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
110		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
111	86	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
112	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> T e. CC )
113	110	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
114	112, 113	expcld 12013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ^ n ) e. CC )
115	110	nncnd 10343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
116	110	nnne0d 10371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
117	114, 115, 116	divcld 10112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
119	118, 117	addcld 9410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
120	107, 109, 110, 119	fvmptd 5784	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
121	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
122	79	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
123	121, 122, 110, 118	fvmptd 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
124	123	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( D ` n ) )
125	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
126	78	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
127	125, 126, 110, 117	fvmptd 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
128	127	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) = ( E ` n ) )
129	124, 128	oveq12d 6114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
130	120, 129	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
131	105, 82, 130	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
132	72, 96, 103, 131	seradd 11853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( ( seq 1 ( + , D ) ` k ) + ( seq 1 ( + , E ) ` k ) ) )
133	1, 3, 62, 64, 70, 99, 104, 132	climadd 13114	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
134		1rp 11000	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
136	135, 14	rpaddcld 11047	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. RR+ )
137	136	rpne0d 11037	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + T ) =/= 0 )
138	33, 137	logcld 22027	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 + T ) ) e. CC )
139	32, 16	subcld 9724	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
140	15, 54	absltd 12921	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` T ) < 1 <-> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) ) )
141	47, 140	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) )
142	141	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T < 1 )
143	15, 142	gtned 9514	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 =/= T )
144	32, 16, 143	subne0d 9733	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
145	139, 144	logcld 22027	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 - T ) ) e. CC )
146	138, 145	negsubd 9730	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
147	133, 146	breqtrd 4321	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
148		nn0uz 10900	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
149		0zd 10663	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
150		stirlinglem5.5	. . . . . 6 |- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
151		2nn0 10601	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
152	151	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> 2 e. NN0 )
153		id 22	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> j e. NN0 )
154	152, 153	nn0mulcld 10646	. . . . . . 7 |- ( j e. NN0 -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
155		nn0p1nn 10624	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. j ) e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
156	154, 155	syl 16	. . . . . 6 |- ( j e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
157	150, 156	fmpti 5871	. . . . 5 |- G : NN0 --> NN
158	157	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G : NN0 --> NN )
159		2re 10396	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
160	159	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR )
161		nn0re 10593	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
162	160, 161	remulcld 9419	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. RR )
163	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. RR )
164	161, 163	readdcld 9418	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
165	160, 164	remulcld 9419	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. RR )
166		2rp 11001	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
167	166	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR+ )
168	161	ltp1d 10268	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k < ( k + 1 ) )
169	161, 164, 167, 168	ltmul2dd 11084	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) < ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
170	162, 165, 163, 169	ltadd1dd 9955	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
171	150	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
172		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> j = k )
173	172	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
174	173	oveq1d 6111	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
175		id 22	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
176		2cnd 10399	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 2 e. CC )
177		nn0cn 10594	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
178	176, 177	mulcld 9411	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. CC )
179	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 1 e. CC )
180	178, 179	addcld 9410	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
181	171, 174, 175, 180	fvmptd 5784	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
182		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> j = ( k + 1 ) )
183	182	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
184	183	oveq1d 6111	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
185		peano2nn0 10625	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
186	177, 179	addcld 9410	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
187	176, 186	mulcld 9411	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. CC )
188	187, 179	addcld 9410	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. CC )
189	171, 184, 185, 188	fvmptd 5784	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
190	170, 181, 189	3brtr4d 4327	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
191	190	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
192		eldifi 3483	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. NN )
193	192	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN )
194	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 1 e. CC )
195	194	negcld 9711	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u 1 e. CC )
196	192, 85	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
197	195, 196	expcld 12013	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
198	197	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
199	16	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> T e. CC )
200	193	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN0 )
201	199, 200	expcld 12013	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
202	193	nncnd 10343	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. CC )
203	193	nnne0d 10371	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n =/= 0 )
204	201, 202, 203	divcld 10112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
205	198, 204	mulcld 9411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
206	205, 204	addcld 9410	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
207	108, 106	fvmptg 5777	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
208	193, 206, 207	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
209		eldifn 3484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n e. ran G )
210		0nn0 10599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
211		1nn0 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN0
212	151, 211	num0h 10770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 )
213		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = 0 -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. 0 ) )
214	213	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = 0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) )
215	214	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 0 -> ( 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) )
216	215	rspcev 3078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) -> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
217	210, 212, 216	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 )
218	150	elrnmpt 5091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. CC -> ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
219	6, 218	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
220	217, 219	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ran G
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> 1 e. ran G )
222		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n e. ran G <-> 1 e. ran G ) )
223	221, 222	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n e. ran G )
224	209, 223	nsyl 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n = 1 )
225		nn1m1nn 10347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
226	192, 225	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
227	226	ord 377	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. n = 1 -> ( n - 1 ) e. NN ) )
228	224, 227	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN )
229		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j NN
230		nfmpt1 4386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
231	150, 230	nfcxfr 2581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j G
232	231	nfrn 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j ran G
233	229, 232	nfdif 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( NN \ ran G )
234	233	nfcri 2578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j n e. ( NN \ ran G )
235	150	elrnmpt 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n e. ran G <-> E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
236	209, 235	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
237		ralnex 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
238	236, 237	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
239	238	r19.21bi 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
240	239	neneqad 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> n =/= ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
241	240	necomd 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
242	241	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
243		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
244		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
245	192	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> n e. NN )
246	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR )
247		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
248	247	zred 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. RR )
249	246, 248	remulcld 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
250		0re 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 e. RR
251	250	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 0 e. RR )
252	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. RR )
253		2cnd 10399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. CC )
254	248	recnd 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. CC )
255	253, 254	mulcomd 9412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) = ( j x. 2 ) )
256		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
257		elnn0z 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( j e. NN0 <-> ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
258	256, 257	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
259		nan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) ) <-> ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j ) )
260	258, 259	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j )
261	260	anabss1 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 0 <_ j )
262	248, 251	ltnled 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j < 0 <-> -. 0 <_ j ) )
263	261, 262	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j < 0 )
264	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
265	264	rpregt0d 11038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
266		mulltgt0 29749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( j e. RR /\ j < 0 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
267	248, 263, 265, 266	syl21anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
268	255, 267	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) < 0 )
269	249, 251, 252, 268	ltadd1dd 9955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < ( 0 + 1 ) )
270	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. CC )
271	270	addid2d 9575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 0 + 1 ) = 1 )
272	269, 271	breqtrd 4321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 )
273	249, 252	readdcld 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
274	273, 252	ltnled 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
275	272, 274	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
276		nnge1 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
277	275, 276	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
278	277	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
279		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
280		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> n e. NN )
281	279, 280	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
282	281	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
283	278, 282	mtand 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
284	283	neneqad 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
285	243, 244, 245, 284	syl21anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
286	242, 285	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
287	286	neneqd 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
288	287	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( j e. ZZ -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
289	234, 288	ralrimi 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
290		ralnex 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n <-> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
291	289, 290	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
292	192	nnzd 10751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. ZZ )
293		odd2np1 13597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
294	292, 293	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
295	291, 294	mtbird 301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. -. 2 || n )
296	295	notnotrd 113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || n )
297	192	nncnd 10343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. CC )
298	297, 194	npcand 9728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
299	296, 298	breqtrrd 4323	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) )
300	196	nn0zd 10750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
301		oddp1even 13599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
302	300, 301	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
303	299, 302	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. 2 || ( n - 1 ) )
304		oexpneg 13600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( n - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( n - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
305	194, 228, 303, 304	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
306		1exp 11898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
307	300, 306	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
308	307	negeqd 9609	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
309	305, 308	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
310	309	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
311	310	oveq1d 6111	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
312	311	oveq1d 6111	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
313	204	mulm1d 9801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = -u ( ( T ^ n ) / n ) )
314	313	oveq1d 6111	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
315	204	negcld 9711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> -u ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
316	315, 204	addcomd 9576	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) )
317	204	negidd 9714	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
318	314, 316, 317	3eqtrd 2479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
319	208, 312, 318	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
320	120, 119	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. CC )
321	106	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
322		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
323	322	oveq1d 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( j - 1 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) )
324	323	oveq2d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) )
325	322	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( T ^ j ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
326	325, 322	oveq12d 6114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
327	324, 326	oveq12d 6114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
328	327, 326	oveq12d 6114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
329	151	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. NN0 )
330		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
331	329, 330	nn0mulcld 10646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
332		nn0p1nn 10624	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
333	331, 332	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
334	179	negcld 9711	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> -u 1 e. CC )
335	178, 179	pncand 9725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
336	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> 2 e. NN0 )
337	336, 175	nn0mulcld 10646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
338	335, 337	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
339	334, 338	expcld 12013	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
340	339	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
341	16	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> T e. CC )
342	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
343	331, 342	nn0addcld 10645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
344	341, 343	expcld 12013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
345		2cnd 10399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
346	177	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
347	345, 346	mulcld 9411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
348	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
349	347, 348	addcld 9410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
350	250	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. RR )
351	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. RR )
352	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
353	351, 352	remulcld 9419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
354	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. RR )
355		0le2 10417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
356	355	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ 2 )
357	330	nn0ge0d 10644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
358	351, 352, 356, 357	mulge0d 9921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 2 x. k ) )
359		0lt1 9867	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
360	359	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < 1 )
361	353, 354, 358, 360	addgegt0d 9918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
362	350, 361	gtned 9514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
363	344, 349, 362	divcld 10112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
364	340, 363	mulcld 9411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
365	364, 363	addcld 9410	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
366	321, 328, 333, 365	fvmptd 5784	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
367	335	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
368	367	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) )
369		m1expeven 29777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
370	369	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
371	368, 370	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = 1 )
372	371	oveq1d 6111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
373	363	mulid2d 9409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
374	372, 373	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
375	374	oveq1d 6111	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
376	363	2timesd 10572	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
377	344, 349, 362	divrec2d 10116	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
378	377	oveq2d 6112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
379	375, 376, 378	3eqtr2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
380	366, 379	eqtr2d 2476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
381		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
382	381	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) ) )
383		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
384	383	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
385	384	oveq1d 6111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
386	385	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
387	385	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
388	386, 387	oveq12d 6114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
389	388	oveq2d 6112	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
390	349, 362	reccld 10105	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
391	390, 344	mulcld 9411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
392	345, 391	mulcld 9411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
393	382, 389, 330, 392	fvmptd 5784	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
394	211	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. NN0 )
395	337, 394	nn0addcld 10645	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
396	171, 174, 175, 395	fvmptd 5784	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
397	396	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
398	397	fveq2d 5700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
399	380, 393, 398	3eqtr4d 2485	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
400	148, 1, 149, 3, 158, 191, 319, 320, 399	isercoll2 13151	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) <-> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) ) )
401	147, 400	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
402	54, 15	resubcld 9781	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
403	16	subidd 9712	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T - T ) = 0 )
404	403	eqcomd 2448	. . . . 5 |- ( ph -> 0 = ( T - T ) )
405	15, 54, 15, 142	ltsub1dd 9956	. . . . 5 |- ( ph -> ( T - T ) < ( 1 - T ) )
406	404, 405	eqbrtrd 4317	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
407	402, 406	elrpd 11030	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR+ )
408	136, 407	relogdivd 22080	. 2 |- ( ph -> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
409	401, 408	breqtrrd 4323	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   ran crn 4846   o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   RR*cxr 9422   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   -ucneg 9601   / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442   seqcseq 11811   ^cexp 11870   abscabs 12728   ~~> cli 12967   || cdivides 13540   *Metcxmt 17806   ballcbl 17808   logclog 22011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-ulm 21847  df-log 22013

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  29879