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Theorem stirlinglem5 37209
Description: If  T is between  0 and  1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.2  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
stirlinglem5.3  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.4  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
stirlinglem5.6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
stirlinglem5.7  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, j    T, j
Allowed substitution hints:    D( j)    E( j)    F( j)    G( j)    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables  i 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11161 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10935 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) ) ) )
5 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
65negcld 9953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
7 nnm1nn0 10877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
87adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
96, 8expcld 12352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  e.  CC )
10 nncn 10583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
1110adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
12 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
1312rpred 11303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1413recnd 9651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
16 nnnn0 10842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
1815, 17expcld 12352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  e.  CC )
19 nnne0 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
2019adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
219, 11, 18, 20div32d 10383 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
225, 15pncan2d 9968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  T )  -  1 )  =  T )
2322eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  =  ( ( 1  +  T )  -  1 ) )
2423oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  =  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) )
2524oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2621, 25eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2726mpteq2dva 4480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) ) ) )
284, 27eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( ( ( 1  +  T
)  -  1 ) ^ j ) ) ) )
2928seqeq3d 12157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  D )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) ) )
30 1cnd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3130, 14addcld 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  CC )
32 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 21568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T
)  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs  o.  -  )
( 1  +  T
) )  =  ( abs `  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) ) )
3430, 31, 33syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  =  ( abs `  ( 1  -  (
1  +  T ) ) ) )
35 1m1e0 10644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
3736oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 0  -  T ) )
3830, 30, 14subsub4d 9997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) )
39 df-neg 9843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u T  =  ( 0  -  T )
4039eqcomi 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  T )  = 
-u T
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  -  T
)  =  -u T
)
4237, 38, 413eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  +  T ) )  =  -u T
)
4342fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  =  ( abs `  -u T ) )
4414absnegd 13427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  =  ( abs `  T ) )
45 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
4644, 45eqbrtrd 4414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  <  1 )
4743, 46eqbrtrd 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  <  1 )
4834, 47eqbrtrd 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  <  1 )
49 cnxmet 21570 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
5049a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
51 1red 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5251rexrd 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
53 elbl2 21183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5450, 52, 30, 31, 53syl22anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5548, 54mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
56 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
5756logtayl2 23335 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  / 
j )  x.  (
( ( 1  +  T )  -  1 ) ^ j ) ) ) )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
5855, 57syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) )  ~~>  ( log `  (
1  +  T ) ) )
5929, 58eqbrtrd 4414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  D )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
60 seqex 12151 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  _V
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
62 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  /  j ) ) )
6463seqeq3d 12157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  E )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
65 logtayl 23333 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( abs `  T )  <  1 )  ->  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
6614, 45, 65syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  T ) ) )
6764, 66eqbrtrd 4414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  E )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
68 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
6968, 1syl6eleq 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
703a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
71 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
7271oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
73 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  ( T ^ j )  =  ( T ^ n
) )
74 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  j  =  n )
7573, 74oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
7672, 75oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
7776adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
78 elfznn 11766 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
7978adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
80 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8180negcld 9953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
82 nnm1nn0 10877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8381, 82expcld 12352 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8479, 83syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  T  e.  CC )
8679nnnn0d 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN0 )
8785, 86expcld 12352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
8879nncnd 10591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  CC )
8979nnne0d 10620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  =/=  0 )
9087, 88, 89divcld 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
9184, 90mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
9270, 77, 79, 91fvmptd 5937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
9392, 91eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  e.  CC )
94 addcl 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9594adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
n  e.  CC  /\  i  e.  CC )
)  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9669, 93, 95seqcl 12169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  D ) `  k
)  e.  CC )
9762a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
9875adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( T ^ j )  / 
j )  =  ( ( T ^ n
)  /  n ) )
9997, 98, 79, 90fvmptd 5937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
10099, 90eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  e.  CC )
10169, 100, 95seqcl 12169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  E ) `  k
)  e.  CC )
102 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
103 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
10576, 75oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
106105adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
107 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
10883adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
10914adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
110107nnnn0d 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
111109, 110expcld 12352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
112107nncnd 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
113107nnne0d 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
114111, 112, 113divcld 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  e.  CC )
115108, 114mulcld 9645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
116115, 114addcld 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
117104, 106, 107, 116fvmptd 5937 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
1183a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
11976adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
120118, 119, 107, 115fvmptd 5937 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
121120eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( D `  n ) )
12262a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
12375adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
124122, 123, 107, 114fvmptd 5937 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( ( T ^
n )  /  n
) )
125124eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  =  ( E `  n
) )
126121, 125oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
127117, 126eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( D `  n )  +  ( E `  n ) ) )
128102, 79, 127syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
12969, 93, 100, 128seradd 12191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq 1 (  +  ,  D ) `  k )  +  (  seq 1 (  +  ,  E ) `  k ) ) )
1301, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129climadd 13601 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  +  -u ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
131 1rp 11268 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
132131a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
133132, 12rpaddcld 11318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  RR+ )
134133rpne0d 11308 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  =/=  0 )
13531, 134logcld 23248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  +  T ) )  e.  CC )
13630, 14subcld 9966 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
13713, 51absltd 13408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
)  <  1  <->  ( -u 1  <  T  /\  T  <  1 ) ) )
13845, 137mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
T  /\  T  <  1 ) )
139138simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  <  1 )
14013, 139gtned 9751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =/=  T )
14130, 14, 140subne0d 9975 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  =/=  0 )
142136, 141logcld 23248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  -  T ) )  e.  CC )
143135, 142negsubd 9972 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
144130, 143breqtrd 4418 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
145 nn0uz 11160 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
146 0zd 10916 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
147 stirlinglem5.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
148 2nn0 10852 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
149148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
150 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e. 
NN0 )
151149, 150nn0mulcld 10897 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e. 
NN0 )
152 nn0p1nn 10875 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  j )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
153151, 152syl 17 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
154147, 153fmpti 6031 . . . . 5  |-  G : NN0
--> NN
155154a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN0 --> NN )
156 2re 10645 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
157156a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
158 nn0re 10844 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
159157, 158remulcld 9653 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
160 1red 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
161158, 160readdcld 9652 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
162157, 161remulcld 9653 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
163 2rp 11269 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
164163a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR+ )
165158ltp1d 10515 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  < 
( k  +  1 ) )
166158, 161, 164, 165ltmul2dd 11355 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  < 
( 2  x.  (
k  +  1 ) ) )
167159, 162, 160, 166ltadd1dd 10202 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
168147a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
169 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  j  =  k )
170169oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
171170oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
172 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
173 2cnd 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
174 nn0cn 10845 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
175173, 174mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
176 1cnd 9641 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
177175, 176addcld 9644 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
178168, 171, 172, 177fvmptd 5937 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
179 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  j  =  ( k  +  1 ) )
180179oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
181180oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  (
k  +  1 ) )  +  1 ) )
182 peano2nn0 10876 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
183174, 176addcld 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
184173, 183mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
185184, 176addcld 9644 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
186168, 181, 182, 185fvmptd 5937 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
187167, 178, 1863brtr4d 4424 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
188187adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
189 eldifi 3564 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  NN )
190189adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN )
191 1cnd 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  1  e.  CC )
192191negcld 9953 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u 1  e.  CC )
193189, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
194192, 193expcld 12352 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
195194adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
19614adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  T  e.  CC )
197190nnnn0d 10892 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN0 )
198196, 197expcld 12352 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
199190nncnd 10591 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  CC )
200190nnne0d 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  =/=  0 )
201198, 199, 200divcld 10360 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
202195, 201mulcld 9645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
203202, 201addcld 9644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  e.  CC )
204105, 103fvmptg 5929 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) ) )
205190, 203, 204syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
206 eldifn 3565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  e.  ran  G )
207 0nn0 10850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
208 1nn0 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
209148, 208num0h 11028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )
210 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  0  ->  (
2  x.  j )  =  ( 2  x.  0 ) )
211210oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  0  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
212211eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  0  ->  (
1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
213212rspcev 3159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  =  ( (
2  x.  0 )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  1  =  ( (
2  x.  j )  +  1 ) )
214207, 209, 213mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 )
215 ax-1cn 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
216147elrnmpt 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
218214, 217mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ran  G
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ran  G )
220 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ran  G  <->  1  e.  ran  G ) )
221219, 220mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ran  G )
222206, 221nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  =  1 )
223 nn1m1nn 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
224189, 223syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
225224ord 375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  n  =  1  ->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
226222, 225mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN )
227 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j NN
228 nfmpt1 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ j
( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
229147, 228nfcxfr 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j G
230229nfrn 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j ran  G
231227, 230nfdif 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( NN  \  ran  G )
232231nfcri 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  n  e.  ( NN 
\  ran  G )
233147elrnmpt 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
234206, 233mtbid 298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
235 ralnex 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
236234, 235sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
237236r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
238237neqned 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  n  =/=  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )
239238necomd 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
240239adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
241 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
242 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
243189ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
244156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
245 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
246245zred 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  RR )
247244, 246remulcld 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
248 0red 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
249 1red 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
250 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
251246recnd 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  CC )
252250, 251mulcomd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( j  x.  2 ) )
253 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
254 elnn0z 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( j  e.  NN0  <->  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
255253, 254sylnib 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
256 nan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )  <->  ( (
( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j ) )
257255, 256mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j )
258257anabss1 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  0  <_  j )
259246, 248ltnled 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  <  0  <->  -.  0  <_  j ) )
260258, 259mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  <  0
)
261163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
262261rpregt0d 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
263 mulltgt0 36757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( j  e.  RR  /\  j  <  0 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( j  x.  2 )  <  0 )
264246, 260, 262, 263syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  x.  2 )  <  0
)
265252, 264eqbrtrd 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  <  0
)
266247, 248, 249, 265ltadd1dd 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  (
0  +  1 ) )
267 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
268267addid2d 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
269266, 268breqtrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1
)
270247, 249readdcld 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
271270, 249ltnled 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ) )
272269, 271mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
273 nnge1 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
274272, 273nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
275274adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
276 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
277 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  n  e.  NN )
278276, 277eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
279278adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
280275, 279mtand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
281280neqned 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
282241, 242, 243, 281syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
283240, 282pm2.61dan 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
284283neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
285284ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
286232, 285ralrimi 2803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
287 ralnex 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n  <->  -.  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
288286, 287sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )
289189nnzd 11006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  ZZ )
290 odd2np1 14253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
291289, 290syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
292288, 291mtbird 299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  -.  2  ||  n )
293292notnotrd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  n )
294189nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  CC )
295294, 191npcand 9970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
296293, 295breqtrrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )
297193nn0zd 11005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
298 oddp1even 14255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
299297, 298syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
300296, 299mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  2  ||  ( n  - 
1 ) )
301 oexpneg 14256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( n  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
302191, 226, 300, 301syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
303 1exp 12237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
304297, 303syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
305304negeqd 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
306302, 305eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
307306adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
308307oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
309308oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  =  ( (
-u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
310201mulm1d 10048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  -u ( ( T ^ n )  /  n ) )
311310oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u (
( T ^ n
)  /  n )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
312201negcld 9953 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  -u (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
313312, 201addcomd 9815 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u ( ( T ^
n )  /  n
)  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( T ^ n )  /  n )  + 
-u ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
314201negidd 9956 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( T ^
n )  /  n
)  +  -u (
( T ^ n
)  /  n ) )  =  0 )
315311, 313, 3143eqtrd 2447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  0 )
316205, 309, 3153eqtrd 2447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
317117, 116eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
318103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
319 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
320319oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( j  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )
321320oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) ) )
322319oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( T ^ j
)  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
323322, 319oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( T ^
j )  /  j
)  =  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
324321, 323oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
325324, 323oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
326148a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN0 )
327 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
328326, 327nn0mulcld 10897 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
329 nn0p1nn 10875 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
330328, 329syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
331176negcld 9953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
332175, 176pncand 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
333148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
334333, 172nn0mulcld 10897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
335332, 334eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
336331, 335expcld 12352 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
337336adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  e.  CC )
33814adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  T  e.  CC )
339208a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN0 )
340328, 339nn0addcld 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
341338, 340expcld 12352 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
342 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
343174adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
344342, 343mulcld 9645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
345 1cnd 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
346344, 345addcld 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
347 0red 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
348156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
349158adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
350348, 349remulcld 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
351 1red 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
352 0le2 10666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  2 )
354327nn0ge0d 10895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  k )
355348, 349, 353, 354mulge0d 10168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2  x.  k ) )
356 0lt1 10114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
357356a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  1 )
358350, 351, 355, 357addgegt0d 10165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
359347, 358gtned 9751 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
360341, 346, 359divcld 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
361337, 360mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
362361, 360addcld 9644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
363318, 325, 330, 362fvmptd 5937 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
364332adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
365364oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k
) ) )
366 nn0z 10927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
367 m1expeven 12255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
368366, 367syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
369368adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
370365, 369eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  1 )
371370oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
372360mulid2d 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
373371, 372eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
374373oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
3753602timesd 10821 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
376341, 346, 359divrec2d 10364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
377376oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
378374, 375, 3773eqtr2d 2449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
379363, 378eqtr2d 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
380 stirlinglem5.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
381380a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) ) )
382 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
j  =  k )
383382oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
384383oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
385384oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
386384oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( T ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
387385, 386oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
388387oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
389346, 359reccld 10353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
390389, 341mulcld 9645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
391342, 390mulcld 9645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
392381, 388, 327, 391fvmptd 5937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
393208a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e. 
NN0 )
394334, 393nn0addcld 10896 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
395168, 171, 172, 394fvmptd 5937 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
396395adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
397396fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
398379, 392, 3973eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
399145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 398isercoll2 13638 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  <->  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) ) )
400144, 399mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
40151, 13resubcld 10027 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
40214subidd 9954 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  =  0 )
403402eqcomd 2410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( T  -  T ) )
40413, 51, 13, 139ltsub1dd 10203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  <  ( 1  -  T ) )
405403, 404eqbrtrd 4414 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  T ) )
406401, 405elrpd 11300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR+ )
407133, 406relogdivd 23303 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( 1  +  T
)  /  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
408400, 407breqtrrd 4420 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    \ cdif 3410   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ran crn 4823    o. ccom 4826   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841    / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   RR+crp 11264   ...cfz 11724    seqcseq 12149   ^cexp 12208   abscabs 13214    ~~> cli 13454    || cdvds 14193   *Metcxmt 18721   ballcbl 18723   logclog 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-tan 14014  df-pi 14015  df-dvds 14194  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-ulm 23062  df-log 23234
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  37210
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