Theorem stirlinglem5 37804

Description: If T is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	|- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.2	|- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
stirlinglem5.3	|- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.4	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5	|- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
stirlinglem5.6	|- ( ph -> T e. RR+ )
stirlinglem5.7	|- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, j   T, j

Allowed substitution hints:   D( j)   E( j)   F( j)   G( j)   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables i k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11196	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10970	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 |- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
5		1cnd 9661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
6	5	negcld 9975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -u 1 e. CC )
7		nnm1nn0 10913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
8	7	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
9	6, 8	expcld 12417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) e. CC )
10		nncn 10619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. CC )
11	10	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
12		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR+ )
13	12	rpred 11343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. RR )
14	13	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. CC )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T e. CC )
16		nnnn0 10878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
17	16	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
18	15, 17	expcld 12417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) e. CC )
19		nnne0 10644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
20	19	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
21	9, 11, 18, 20	div32d 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
22	5, 15	pncan2d 9990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 1 + T ) - 1 ) = T )
23	22	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T = ( ( 1 + T ) - 1 ) )
24	23	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) = ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) )
25	24	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
26	21, 25	eqtr3d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
27	26	mpteq2dva 4508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
28	4, 27	eqtrd 2464	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
29	28	seqeq3d 12222	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) )
30		1cnd 9661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
31	30, 14	addcld 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. CC )
32		eqid 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 21783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
34	30, 31, 33	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
35		1m1e0 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
37	36	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 0 - T ) )
38	30, 30, 14	subsub4d 10019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 1 - ( 1 + T ) ) )
39		df-neg 9865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u T = ( 0 - T )
40	39	eqcomi 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 - T ) = -u T
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - T ) = -u T )
42	37, 38, 41	3eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 + T ) ) = -u T )
43	42	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) = ( abs ` -u T ) )
44	14	absnegd 13504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) = ( abs ` T ) )
45		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )
46	44, 45	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) < 1 )
47	43, 46	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) < 1 )
48	34, 47	eqbrtrd 4442	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 )
49		cnxmet 21785	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
51		1red 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
52	51	rexrd 9692	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR* )
53		elbl2 21397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) ) -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
54	50, 52, 30, 31, 53	syl22anc 1266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
55	48, 54	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
56		eqid 2423	. . . . . . . 8 |- ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) = ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 )
57	56	logtayl2 23599	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
58	55, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
59	29, 58	eqbrtrd 4442	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
60		seqex 12216	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
62		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 |- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
64	63	seqeq3d 12222	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
65		logtayl 23597	. . . . . . 7 |- ( ( T e. CC /\ ( abs ` T ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
66	14, 45, 65	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
67	64, 66	eqbrtrd 4442	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
68		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
69	68, 1	syl6eleq 2521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
70	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
71		oveq1 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j - 1 ) = ( n - 1 ) )
72	71	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) )
73		oveq2 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( T ^ j ) = ( T ^ n ) )
74		id 23	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> j = n )
75	73, 74	oveq12d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
76	72, 75	oveq12d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
77	76	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
78		elfznn 11830	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
79	78	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
80		1cnd 9661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
81	80	negcld 9975	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> -u 1 e. CC )
82		nnm1nn0 10913	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
83	81, 82	expcld 12417	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
84	79, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
85	14	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> T e. CC )
86	79	nnnn0d 10927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN0 )
87	85, 86	expcld 12417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
88	79	nncnd 10627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. CC )
89	79	nnne0d 10656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n =/= 0 )
90	87, 88, 89	divcld 10385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
91	84, 90	mulcld 9665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
92	70, 77, 79, 91	fvmptd 5968	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
93	92, 91	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) e. CC )
94		addcl 9623	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ i e. CC ) -> ( n + i ) e. CC )
95	94	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( n e. CC /\ i e. CC ) ) -> ( n + i ) e. CC )
96	69, 93, 95	seqcl 12234	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , D ) ` k ) e. CC )
97	62	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
98	75	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
99	97, 98, 79, 90	fvmptd 5968	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
100	99, 90	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
101	69, 100, 95	seqcl 12234	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , E ) ` k ) e. CC )
102		simpll 759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
103		stirlinglem5.3	. . . . . . . . . 10 |- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
105	76, 75	oveq12d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
106	105	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
107		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
108	83	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
109	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> T e. CC )
110	107	nnnn0d 10927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
111	109, 110	expcld 12417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ^ n ) e. CC )
112	107	nncnd 10627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
113	107	nnne0d 10656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
114	111, 112, 113	divcld 10385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
115	108, 114	mulcld 9665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
116	115, 114	addcld 9664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
117	104, 106, 107, 116	fvmptd 5968	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
118	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
119	76	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
120	118, 119, 107, 115	fvmptd 5968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
121	120	eqcomd 2431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( D ` n ) )
122	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
123	75	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
124	122, 123, 107, 114	fvmptd 5968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
125	124	eqcomd 2431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) = ( E ` n ) )
126	121, 125	oveq12d 6321	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
127	117, 126	eqtrd 2464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
128	102, 79, 127	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
129	69, 93, 100, 128	seradd 12256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( ( seq 1 ( + , D ) ` k ) + ( seq 1 ( + , E ) ` k ) ) )
130	1, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129	climadd 13688	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
131		1rp 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
132	131	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
133	132, 12	rpaddcld 11358	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. RR+ )
134	133	rpne0d 11348	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + T ) =/= 0 )
135	31, 134	logcld 23512	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 + T ) ) e. CC )
136	30, 14	subcld 9988	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
137	13, 51	absltd 13485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` T ) < 1 <-> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) ) )
138	45, 137	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) )
139	138	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T < 1 )
140	13, 139	gtned 9772	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 =/= T )
141	30, 14, 140	subne0d 9997	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
142	136, 141	logcld 23512	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 - T ) ) e. CC )
143	135, 142	negsubd 9994	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
144	130, 143	breqtrd 4446	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
145		nn0uz 11195	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
146		0zd 10951	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
147		stirlinglem5.5	. . . . . 6 |- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
148		2nn0 10888	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
149	148	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> 2 e. NN0 )
150		id 23	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> j e. NN0 )
151	149, 150	nn0mulcld 10932	. . . . . . 7 |- ( j e. NN0 -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
152		nn0p1nn 10911	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. j ) e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
153	151, 152	syl 17	. . . . . 6 |- ( j e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
154	147, 153	fmpti 6058	. . . . 5 |- G : NN0 --> NN
155	154	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G : NN0 --> NN )
156		2re 10681	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
157	156	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR )
158		nn0re 10880	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
159	157, 158	remulcld 9673	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. RR )
160		1red 9660	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. RR )
161	158, 160	readdcld 9672	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
162	157, 161	remulcld 9673	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. RR )
163		2rp 11309	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
164	163	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR+ )
165	158	ltp1d 10539	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k < ( k + 1 ) )
166	158, 161, 164, 165	ltmul2dd 11396	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) < ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
167	159, 162, 160, 166	ltadd1dd 10226	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
168	147	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
169		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> j = k )
170	169	oveq2d 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
171	170	oveq1d 6318	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
172		id 23	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
173		2cnd 10684	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 2 e. CC )
174		nn0cn 10881	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
175	173, 174	mulcld 9665	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. CC )
176		1cnd 9661	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 1 e. CC )
177	175, 176	addcld 9664	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
178	168, 171, 172, 177	fvmptd 5968	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
179		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> j = ( k + 1 ) )
180	179	oveq2d 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
181	180	oveq1d 6318	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
182		peano2nn0 10912	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
183	174, 176	addcld 9664	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
184	173, 183	mulcld 9665	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. CC )
185	184, 176	addcld 9664	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. CC )
186	168, 181, 182, 185	fvmptd 5968	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
187	167, 178, 186	3brtr4d 4452	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
188	187	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
189		eldifi 3588	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. NN )
190	189	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN )
191		1cnd 9661	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 1 e. CC )
192	191	negcld 9975	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u 1 e. CC )
193	189, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
194	192, 193	expcld 12417	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
195	194	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
196	14	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> T e. CC )
197	190	nnnn0d 10927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN0 )
198	196, 197	expcld 12417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
199	190	nncnd 10627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. CC )
200	190	nnne0d 10656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n =/= 0 )
201	198, 199, 200	divcld 10385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
202	195, 201	mulcld 9665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
203	202, 201	addcld 9664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
204	105, 103	fvmptg 5960	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
205	190, 203, 204	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
206		eldifn 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n e. ran G )
207		0nn0 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
208		1nn0 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN0
209	148, 208	num0h 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 )
210		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = 0 -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. 0 ) )
211	210	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = 0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) )
212	211	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 0 -> ( 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) )
213	212	rspcev 3183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) -> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
214	207, 209, 213	mp2an 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 )
215		ax-1cn 9599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
216	147	elrnmpt 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. CC -> ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
217	215, 216	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
218	214, 217	mpbir 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ran G
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> 1 e. ran G )
220		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n e. ran G <-> 1 e. ran G ) )
221	219, 220	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n e. ran G )
222	206, 221	nsyl 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n = 1 )
223		nn1m1nn 10631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
224	189, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
225	224	ord 379	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. n = 1 -> ( n - 1 ) e. NN ) )
226	222, 225	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN )
227		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j NN
228		nfmpt1 4511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
229	147, 228	nfcxfr 2583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j G
230	229	nfrn 5094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j ran G
231	227, 230	nfdif 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( NN \ ran G )
232	231	nfcri 2578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j n e. ( NN \ ran G )
233	147	elrnmpt 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n e. ran G <-> E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
234	206, 233	mtbid 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
235		ralnex 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
236	234, 235	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
237	236	r19.21bi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
238	237	neqned 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> n =/= ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
239	238	necomd 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
240	239	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
241		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
242		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
243	189	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> n e. NN )
244	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR )
245		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
246	245	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. RR )
247	244, 246	remulcld 9673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
248		0red 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 0 e. RR )
249		1red 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. RR )
250		2cnd 10684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. CC )
251	246	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. CC )
252	250, 251	mulcomd 9666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) = ( j x. 2 ) )
253		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
254		elnn0z 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( j e. NN0 <-> ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
255	253, 254	sylnib 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
256		nan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) ) <-> ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j ) )
257	255, 256	mpbi 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j )
258	257	anabss1 822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 0 <_ j )
259	246, 248	ltnled 9784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j < 0 <-> -. 0 <_ j ) )
260	258, 259	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j < 0 )
261	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
262	261	rpregt0d 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
263		mulltgt0 37248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( j e. RR /\ j < 0 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
264	246, 260, 262, 263	syl21anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
265	252, 264	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) < 0 )
266	247, 248, 249, 265	ltadd1dd 10226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < ( 0 + 1 ) )
267		1cnd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. CC )
268	267	addid2d 9836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 0 + 1 ) = 1 )
269	266, 268	breqtrd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 )
270	247, 249	readdcld 9672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
271	270, 249	ltnled 9784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
272	269, 271	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
273		nnge1 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
274	272, 273	nsyl 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
275	274	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
276		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
277		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> n e. NN )
278	276, 277	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
279	278	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
280	275, 279	mtand 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
281	280	neqned 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
282	241, 242, 243, 281	syl21anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
283	240, 282	pm2.61dan 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
284	283	neneqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
285	284	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( j e. ZZ -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
286	232, 285	ralrimi 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
287		ralnex 2872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n <-> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
288	286, 287	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
289	189	nnzd 11041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. ZZ )
290		odd2np1 14358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
291	289, 290	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
292	288, 291	mtbird 303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. -. 2 || n )
293	292	notnotrd 117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || n )
294	189	nncnd 10627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. CC )
295	294, 191	npcand 9992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
296	293, 295	breqtrrd 4448	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) )
297	193	nn0zd 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
298		oddp1even 14360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
299	297, 298	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
300	296, 299	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. 2 || ( n - 1 ) )
301		oexpneg 14361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( n - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( n - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
302	191, 226, 300, 301	syl3anc 1265	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
303		1exp 12302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
304	297, 303	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
305	304	negeqd 9871	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
306	302, 305	eqtrd 2464	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
307	306	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
308	307	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
309	308	oveq1d 6318	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
310	201	mulm1d 10072	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = -u ( ( T ^ n ) / n ) )
311	310	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
312	201	negcld 9975	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> -u ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
313	312, 201	addcomd 9837	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) )
314	201	negidd 9978	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
315	311, 313, 314	3eqtrd 2468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
316	205, 309, 315	3eqtrd 2468	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
317	117, 116	eqeltrd 2511	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. CC )
318	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
319		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
320	319	oveq1d 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( j - 1 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) )
321	320	oveq2d 6319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) )
322	319	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( T ^ j ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
323	322, 319	oveq12d 6321	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
324	321, 323	oveq12d 6321	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
325	324, 323	oveq12d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
326	148	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. NN0 )
327		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
328	326, 327	nn0mulcld 10932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
329		nn0p1nn 10911	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
330	328, 329	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
331	176	negcld 9975	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> -u 1 e. CC )
332	175, 176	pncand 9989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
333	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> 2 e. NN0 )
334	333, 172	nn0mulcld 10932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
335	332, 334	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
336	331, 335	expcld 12417	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
337	336	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
338	14	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> T e. CC )
339	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
340	328, 339	nn0addcld 10931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
341	338, 340	expcld 12417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
342		2cnd 10684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
343	174	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
344	342, 343	mulcld 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
345		1cnd 9661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
346	344, 345	addcld 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
347		0red 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. RR )
348	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. RR )
349	158	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
350	348, 349	remulcld 9673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
351		1red 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. RR )
352		0le2 10702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
353	352	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ 2 )
354	327	nn0ge0d 10930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
355	348, 349, 353, 354	mulge0d 10192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 2 x. k ) )
356		0lt1 10138	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
357	356	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < 1 )
358	350, 351, 355, 357	addgegt0d 10189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
359	347, 358	gtned 9772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
360	341, 346, 359	divcld 10385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
361	337, 360	mulcld 9665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
362	361, 360	addcld 9664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
363	318, 325, 330, 362	fvmptd 5968	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
364	332	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
365	364	oveq2d 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) )
366		nn0z 10962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
367		m1expeven 12320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
368	366, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
369	368	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
370	365, 369	eqtrd 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = 1 )
371	370	oveq1d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
372	360	mulid2d 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
373	371, 372	eqtrd 2464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
374	373	oveq1d 6318	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
375	360	2timesd 10857	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
376	341, 346, 359	divrec2d 10389	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
377	376	oveq2d 6319	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
378	374, 375, 377	3eqtr2d 2470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
379	363, 378	eqtr2d 2465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
380		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
381	380	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) ) )
382		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
383	382	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
384	383	oveq1d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
385	384	oveq2d 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
386	384	oveq2d 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
387	385, 386	oveq12d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
388	387	oveq2d 6319	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
389	346, 359	reccld 10378	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
390	389, 341	mulcld 9665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
391	342, 390	mulcld 9665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
392	381, 388, 327, 391	fvmptd 5968	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
393	208	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. NN0 )
394	334, 393	nn0addcld 10931	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
395	168, 171, 172, 394	fvmptd 5968	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
396	395	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
397	396	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
398	379, 392, 397	3eqtr4d 2474	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
399	145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 398	isercoll2 13725	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) <-> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) ) )
400	144, 399	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
401	51, 13	resubcld 10049	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
402	14	subidd 9976	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T - T ) = 0 )
403	402	eqcomd 2431	. . . . 5 |- ( ph -> 0 = ( T - T ) )
404	13, 51, 13, 139	ltsub1dd 10227	. . . . 5 |- ( ph -> ( T - T ) < ( 1 - T ) )
405	403, 404	eqbrtrd 4442	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
406	401, 405	elrpd 11340	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR+ )
407	133, 406	relogdivd 23567	. 2 |- ( ph -> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
408	400, 407	breqtrrd 4448	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   ran crn 4852   o. ccom 4855   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   + caddc 9544   x. cmul 9546   RR*cxr 9676   < clt 9677   <_ cle 9678   - cmin 9862   -ucneg 9863   / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   ...cfz 11786   seqcseq 12214   ^cexp 12273   abscabs 13291   ~~> cli 13541   || cdvds 14298   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   logclog 23496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-cmp 20394  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-ulm 23324  df-log 23498

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  37805