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Theorem stirlinglem5 29878
Description: If  T is between  0 and  1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.2  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
stirlinglem5.3  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.4  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
stirlinglem5.6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
stirlinglem5.7  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, j    T, j
Allowed substitution hints:    D( j)    E( j)    F( j)    G( j)    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables  i 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10901 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10681 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) ) ) )
6 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
87negcld 9711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
9 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
118, 10expcld 12013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  e.  CC )
12 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
14 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
1514rpred 11032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1615recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
18 nnnn0 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
2017, 19expcld 12013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  e.  CC )
21 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
2311, 13, 20, 22div32d 10135 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
247, 17pncan2d 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  T )  -  1 )  =  T )
2524eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  =  ( ( 1  +  T )  -  1 ) )
2625oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  =  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) )
2726oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2823, 27eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
2928mpteq2dva 4383 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) ) ) )
305, 29eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( ( ( 1  +  T
)  -  1 ) ^ j ) ) ) )
3130seqeq3d 11819 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  D )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) ) )
326a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3332, 16addcld 9410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  CC )
34 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3534cnmetdval 20355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T
)  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs  o.  -  )
( 1  +  T
) )  =  ( abs `  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) ) )
3632, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  =  ( abs `  ( 1  -  (
1  +  T ) ) ) )
37 1m1e0 10395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
3938oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 0  -  T ) )
4032, 32, 16subsub4d 9755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) )
41 df-neg 9603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u T  =  ( 0  -  T )
4241eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  T )  = 
-u T
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  -  T
)  =  -u T
)
4439, 40, 433eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  +  T ) )  =  -u T
)
4544fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  =  ( abs `  -u T ) )
4616absnegd 12940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  =  ( abs `  T ) )
47 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
4846, 47eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  <  1 )
4945, 48eqbrtrd 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  <  1 )
5036, 49eqbrtrd 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  <  1 )
51 cnxmet 20357 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
53 1re 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5554rexrd 9438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
56 elbl2 19970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5752, 55, 32, 33, 56syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
5850, 57mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
59 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
6059logtayl2 22112 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  / 
j )  x.  (
( ( 1  +  T )  -  1 ) ^ j ) ) ) )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
6158, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) )  ~~>  ( log `  (
1  +  T ) ) )
6231, 61eqbrtrd 4317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  D )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
63 seqex 11813 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  _V
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
65 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  /  j ) ) )
6766seqeq3d 11819 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  E )  =  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
68 logtayl 22110 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( abs `  T )  <  1 )  ->  seq 1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
6916, 47, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  T ) ) )
7067, 69eqbrtrd 4317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  E )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
71 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
7271, 1syl6eleq 2533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
734a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
74 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
7574oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
76 oveq2 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  ( T ^ j )  =  ( T ^ n
) )
77 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  j  =  n )
7876, 77oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
7975, 78oveq12d 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
8079adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
81 elfznn 11483 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
8281adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
836a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8483negcld 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
85 nnm1nn0 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8684, 85expcld 12013 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8816ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  T  e.  CC )
8982nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN0 )
9088, 89expcld 12013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
9182nncnd 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  CC )
9282nnne0d 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92divcld 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
9487, 93mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
9573, 80, 82, 94fvmptd 5784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
9695, 94eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  e.  CC )
97 addcl 9369 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9897adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
n  e.  CC  /\  i  e.  CC )
)  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
9972, 96, 98seqcl 11831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  D ) `  k
)  e.  CC )
10065a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
10178adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( T ^ j )  / 
j )  =  ( ( T ^ n
)  /  n ) )
102100, 101, 82, 93fvmptd 5784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
103102, 93eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  e.  CC )
10472, 103, 98seqcl 11831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  E ) `  k
)  e.  CC )
105 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
106 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
107106a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
10879, 78oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
109108adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
110 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
11186adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
11216adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
113110nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
114112, 113expcld 12013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
115110nncnd 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
116110nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
117114, 115, 116divcld 10112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  e.  CC )
118111, 117mulcld 9411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
119118, 117addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
120107, 109, 110, 119fvmptd 5784 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
1214a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
12279adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
123121, 122, 110, 118fvmptd 5784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
124123eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( D `  n ) )
12565a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
12678adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
127125, 126, 110, 117fvmptd 5784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( ( T ^
n )  /  n
) )
128127eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  =  ( E `  n
) )
129124, 128oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
130120, 129eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( D `  n )  +  ( E `  n ) ) )
131105, 82, 130syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
13272, 96, 103, 131seradd 11853 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq 1 (  +  ,  D ) `  k )  +  (  seq 1 (  +  ,  E ) `  k ) ) )
1331, 3, 62, 64, 70, 99, 104, 132climadd 13114 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  +  -u ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
134 1rp 11000 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
136135, 14rpaddcld 11047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  RR+ )
137136rpne0d 11037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  =/=  0 )
13833, 137logcld 22027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  +  T ) )  e.  CC )
13932, 16subcld 9724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
14015, 54absltd 12921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
)  <  1  <->  ( -u 1  <  T  /\  T  <  1 ) ) )
14147, 140mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
T  /\  T  <  1 ) )
142141simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  <  1 )
14315, 142gtned 9514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =/=  T )
14432, 16, 143subne0d 9733 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  =/=  0 )
145139, 144logcld 22027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  -  T ) )  e.  CC )
146138, 145negsubd 9730 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
147133, 146breqtrd 4321 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
148 nn0uz 10900 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
149 0zd 10663 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
150 stirlinglem5.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
151 2nn0 10601 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
152151a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
153 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e. 
NN0 )
154152, 153nn0mulcld 10646 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e. 
NN0 )
155 nn0p1nn 10624 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  j )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
156154, 155syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
157150, 156fmpti 5871 . . . . 5  |-  G : NN0
--> NN
158157a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN0 --> NN )
159 2re 10396 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
160159a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
161 nn0re 10593 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
162160, 161remulcld 9419 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
16353a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
164161, 163readdcld 9418 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
165160, 164remulcld 9419 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
166 2rp 11001 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
167166a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR+ )
168161ltp1d 10268 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  < 
( k  +  1 ) )
169161, 164, 167, 168ltmul2dd 11084 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  < 
( 2  x.  (
k  +  1 ) ) )
170162, 165, 163, 169ltadd1dd 9955 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
171150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
172 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  j  =  k )
173172oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
174173oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
175 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
176 2cnd 10399 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
177 nn0cn 10594 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
178176, 177mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
1796a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
180178, 179addcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
181171, 174, 175, 180fvmptd 5784 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
182 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  j  =  ( k  +  1 ) )
183182oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
184183oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  (
k  +  1 ) )  +  1 ) )
185 peano2nn0 10625 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
186177, 179addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
187176, 186mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
188187, 179addcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
189171, 184, 185, 188fvmptd 5784 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
190170, 181, 1893brtr4d 4327 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
191190adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
192 eldifi 3483 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  NN )
193192adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN )
1946a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  1  e.  CC )
195194negcld 9711 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u 1  e.  CC )
196192, 85syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
197195, 196expcld 12013 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
198197adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
19916adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  T  e.  CC )
200193nnnn0d 10641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN0 )
201199, 200expcld 12013 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
202193nncnd 10343 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  CC )
203193nnne0d 10371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  =/=  0 )
204201, 202, 203divcld 10112 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
205198, 204mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
206205, 204addcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  e.  CC )
207108, 106fvmptg 5777 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) ) )
208193, 206, 207syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
209 eldifn 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  e.  ran  G )
210 0nn0 10599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
211 1nn0 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
212151, 211num0h 10770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )
213 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  0  ->  (
2  x.  j )  =  ( 2  x.  0 ) )
214213oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  0  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
215214eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  0  ->  (
1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
216215rspcev 3078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  =  ( (
2  x.  0 )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  1  =  ( (
2  x.  j )  +  1 ) )
217210, 212, 216mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 )
218150elrnmpt 5091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
2196, 218ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
220217, 219mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ran  G
221220a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ran  G )
222 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ran  G  <->  1  e.  ran  G ) )
223221, 222mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ran  G )
224209, 223nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  =  1 )
225 nn1m1nn 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
226192, 225syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
227226ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  n  =  1  ->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
228224, 227mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN )
229 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j NN
230 nfmpt1 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ j
( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
231150, 230nfcxfr 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j G
232231nfrn 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j ran  G
233229, 232nfdif 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ j
( NN  \  ran  G )
234233nfcri 2578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  n  e.  ( NN 
\  ran  G )
235150elrnmpt 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
236209, 235mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
237 ralnex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
238236, 237sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
239238r19.21bi 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
240239neneqad 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  n  =/=  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )
241240necomd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
242241adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
243 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
244 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
245192ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
246159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
247 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
248247zred 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  RR )
249246, 248remulcld 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
250 0re 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  e.  RR
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
25253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
253 2cnd 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
254248recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  CC )
255253, 254mulcomd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( j  x.  2 ) )
256 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
257 elnn0z 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( j  e.  NN0  <->  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
258256, 257sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
259 nan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )  <->  ( (
( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j ) )
260258, 259mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j )
261260anabss1 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  0  <_  j )
262248, 251ltnled 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  <  0  <->  -.  0  <_  j ) )
263261, 262mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  <  0
)
264166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
265264rpregt0d 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
266 mulltgt0 29749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( j  e.  RR  /\  j  <  0 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( j  x.  2 )  <  0 )
267248, 263, 265, 266syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  x.  2 )  <  0
)
268255, 267eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  <  0
)
269249, 251, 252, 268ltadd1dd 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  (
0  +  1 ) )
2706a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
271270addid2d 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
272269, 271breqtrd 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1
)
273249, 252readdcld 9418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
274273, 252ltnled 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ) )
275272, 274mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
276 nnge1 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
277275, 276nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
278277adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
279 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
280 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  n  e.  NN )
281279, 280eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
282281adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
283278, 282mtand 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
284283neneqad 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
285243, 244, 245, 284syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
286242, 285pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
287286neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
288287ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
289234, 288ralrimi 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
290 ralnex 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n  <->  -.  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
291289, 290sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )
292192nnzd 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  ZZ )
293 odd2np1 13597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
294292, 293syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
295291, 294mtbird 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  -.  2  ||  n )
296295notnotrd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  n )
297192nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  CC )
298297, 194npcand 9728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
299296, 298breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )
300196nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
301 oddp1even 13599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
302300, 301syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
303299, 302mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  2  ||  ( n  - 
1 ) )
304 oexpneg 13600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( n  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
305194, 228, 303, 304syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
306 1exp 11898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
307300, 306syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
308307negeqd 9609 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
309305, 308eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
310309adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
311310oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
312311oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  =  ( (
-u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
313204mulm1d 9801 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  -u ( ( T ^ n )  /  n ) )
314313oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u (
( T ^ n
)  /  n )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
315204negcld 9711 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  -u (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
316315, 204addcomd 9576 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u ( ( T ^
n )  /  n
)  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( T ^ n )  /  n )  + 
-u ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
317204negidd 9714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( T ^
n )  /  n
)  +  -u (
( T ^ n
)  /  n ) )  =  0 )
318314, 316, 3173eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  0 )
319208, 312, 3183eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
320120, 119eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
321106a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
322 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
323322oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( j  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )
324323oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) ) )
325322oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( T ^ j
)  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
326325, 322oveq12d 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( T ^
j )  /  j
)  =  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
327324, 326oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
328327, 326oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
329151a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN0 )
330 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
331329, 330nn0mulcld 10646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
332 nn0p1nn 10624 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
333331, 332syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
334179negcld 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
335178, 179pncand 9725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
336151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
337336, 175nn0mulcld 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
338335, 337eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
339334, 338expcld 12013 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
340339adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  e.  CC )
34116adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  T  e.  CC )
342211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN0 )
343331, 342nn0addcld 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
344341, 343expcld 12013 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
345 2cnd 10399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
346177adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
347345, 346mulcld 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
3486a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
349347, 348addcld 9410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
350250a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
351159a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
352161adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
353351, 352remulcld 9419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
35453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
355 0le2 10417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
356355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  2 )
357330nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  k )
358351, 352, 356, 357mulge0d 9921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2  x.  k ) )
359 0lt1 9867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
360359a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  1 )
361353, 354, 358, 360addgegt0d 9918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
362350, 361gtned 9514 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
363344, 349, 362divcld 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
364340, 363mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
365364, 363addcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
366321, 328, 333, 365fvmptd 5784 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
367335adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
368367oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k
) ) )
369 m1expeven 29777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
370369adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
371368, 370eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  1 )
372371oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
373363mulid2d 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
374372, 373eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
375374oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
3763632timesd 10572 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
377344, 349, 362divrec2d 10116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
378377oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
379375, 376, 3783eqtr2d 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
380366, 379eqtr2d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
381 stirlinglem5.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
382381a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) ) )
383 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
j  =  k )
384383oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
385384oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
386385oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
387385oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( T ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
388386, 387oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
389388oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
390349, 362reccld 10105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
391390, 344mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
392345, 391mulcld 9411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
393382, 389, 330, 392fvmptd 5784 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
394211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e. 
NN0 )
395337, 394nn0addcld 10645 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
396171, 174, 175, 395fvmptd 5784 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
397396adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
398397fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
399380, 393, 3983eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
400148, 1, 149, 3, 158, 191, 319, 320, 399isercoll2 13151 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  <->  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) ) )
401147, 400mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
40254, 15resubcld 9781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
40316subidd 9712 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  =  0 )
404403eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( T  -  T ) )
40515, 54, 15, 142ltsub1dd 9956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  <  ( 1  -  T ) )
406404, 405eqbrtrd 4317 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  T ) )
407402, 406elrpd 11030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR+ )
408136, 407relogdivd 22080 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( 1  +  T
)  /  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
409401, 408breqtrrd 4323 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ran crn 4846    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442    seqcseq 11811   ^cexp 11870   abscabs 12728    ~~> cli 12967    || cdivides 13540   *Metcxmt 17806   ballcbl 17808   logclog 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-ulm 21847  df-log 22013
This theorem is referenced by:  stirlinglem6  29879
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