Theorem stirlinglem5 29716

Description: If T is between 0 and 1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem5.1	|- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.2	|- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
stirlinglem5.3	|- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
stirlinglem5.4	|- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5	|- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
stirlinglem5.6	|- ( ph -> T e. RR+ )
stirlinglem5.7	|- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem5	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, j   T, j

Allowed substitution hints:   D( j)   E( j)   F( j)   G( j)   H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5

Dummy variables i k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10883	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1z 10663	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		stirlinglem5.1	. . . . . . . . 9 |- D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
6		ax-1cn 9327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
8	7	negcld 9693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> -u 1 e. CC )
9		nnm1nn0 10608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j - 1 ) e. NN0 )
10	9	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j - 1 ) e. NN0 )
11	8, 10	expcld 11991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) e. CC )
12		nncn 10317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. CC )
13	12	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
14		stirlinglem5.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR+ )
15	14	rpred 11014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. RR )
16	15	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. CC )
17	16	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T e. CC )
18		nnnn0 10573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
19	18	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
20	17, 19	expcld 11991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) e. CC )
21		nnne0 10341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
22	21	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
23	11, 13, 20, 22	div32d 10117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) )
24	7, 17	pncan2d 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 1 + T ) - 1 ) = T )
25	24	eqcomd 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> T = ( ( 1 + T ) - 1 ) )
26	25	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( T ^ j ) = ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) )
27	26	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( T ^ j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
28	23, 27	eqtr3d 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) )
29	28	mpteq2dva 4366	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
30	5, 29	eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) )
31	30	seqeq3d 11797	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) )
32	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
33	32, 16	addcld 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. CC )
34		eqid 2433	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
35	34	cnmetdval 20191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 654	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) = ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) )
37		1m1e0 10377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
39	38	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 0 - T ) )
40	32, 32, 16	subsub4d 9737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) - T ) = ( 1 - ( 1 + T ) ) )
41		df-neg 9585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u T = ( 0 - T )
42	41	eqcomi 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 - T ) = -u T
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 - T ) = -u T )
44	39, 40, 43	3eqtr3d 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 + T ) ) = -u T )
45	44	fveq2d 5683	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) = ( abs ` -u T ) )
46	16	absnegd 12918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) = ( abs ` T ) )
47		stirlinglem5.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` T ) < 1 )
48	46, 47	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` -u T ) < 1 )
49	45, 48	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( 1 + T ) ) ) < 1 )
50	36, 49	eqbrtrd 4300	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 )
51		cnxmet 20193	. . . . . . . . . 10 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
53		1re 9372	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
55	54	rexrd 9420	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR* )
56		elbl2 19806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 1 e. CC /\ ( 1 + T ) e. CC ) ) -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
57	52, 55, 32, 33, 56	syl22anc 1212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( 1 ( abs o. - ) ( 1 + T ) ) < 1 ) )
58	50, 57	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
59		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) = ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 )
60	59	logtayl2 21991	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + T ) e. ( 1 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
61	58, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) / j ) x. ( ( ( 1 + T ) - 1 ) ^ j ) ) ) ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
62	31, 61	eqbrtrd 4300	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , D ) ~~> ( log ` ( 1 + T ) ) )
63		seqex 11791	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , F ) e. _V
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) e. _V )
65		stirlinglem5.2	. . . . . . . 8 |- E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
67	66	seqeq3d 11797	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) = seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
68		logtayl 21989	. . . . . . 7 |- ( ( T e. CC /\ ( abs ` T ) < 1 ) -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
69	16, 47, 68	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
70	67, 69	eqbrtrd 4300	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , E ) ~~> -u ( log ` ( 1 - T ) ) )
71		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
72	71, 1	syl6eleq 2523	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
73	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
74		oveq1 6087	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( j - 1 ) = ( n - 1 ) )
75	74	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) )
76		oveq2 6088	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( T ^ j ) = ( T ^ n ) )
77		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> j = n )
78	76, 77	oveq12d 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
79	75, 78	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
80	79	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
81		elfznn 11464	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
82	81	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
83	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. CC )
84	83	negcld 9693	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> -u 1 e. CC )
85		nnm1nn0 10608	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
86	84, 85	expcld 11991	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
88	16	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> T e. CC )
89	82	nnnn0d 10623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN0 )
90	88, 89	expcld 11991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
91	82	nncnd 10325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. CC )
92	82	nnne0d 10353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcld 10094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
94	87, 93	mulcld 9393	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
95	73, 80, 82, 94	fvmptd 5767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
96	95, 94	eqeltrd 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( D ` n ) e. CC )
97		addcl 9351	. . . . . . 7 |- ( ( n e. CC /\ i e. CC ) -> ( n + i ) e. CC )
98	97	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( n e. CC /\ i e. CC ) ) -> ( n + i ) e. CC )
99	72, 96, 98	seqcl 11809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , D ) ` k ) e. CC )
100	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
101	78	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
102	100, 101, 82, 93	fvmptd 5767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
103	102, 93	eqeltrd 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
104	72, 103, 98	seqcl 11809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , E ) ` k ) e. CC )
105		simpll 746	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
106		stirlinglem5.3	. . . . . . . . . 10 |- F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
108	79, 78	oveq12d 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
109	108	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
110		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
111	86	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
112	16	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> T e. CC )
113	110	nnnn0d 10623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
114	112, 113	expcld 11991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ^ n ) e. CC )
115	110	nncnd 10325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
116	110	nnne0d 10353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n =/= 0 )
117	114, 115, 116	divcld 10094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
119	118, 117	addcld 9392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
120	107, 109, 110, 119	fvmptd 5767	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
121	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( j e. NN |-> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
122	79	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
123	121, 122, 110, 118	fvmptd 5767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
124	123	eqcomd 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( D ` n ) )
125	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E = ( j e. NN |-> ( ( T ^ j ) / j ) ) )
126	78	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ j = n ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
127	125, 126, 110, 117	fvmptd 5767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( T ^ n ) / n ) )
128	127	eqcomd 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( T ^ n ) / n ) = ( E ` n ) )
129	124, 128	oveq12d 6098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
130	120, 129	eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
131	105, 82, 130	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) = ( ( D ` n ) + ( E ` n ) ) )
132	72, 96, 103, 131	seradd 11831	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) = ( ( seq 1 ( + , D ) ` k ) + ( seq 1 ( + , E ) ` k ) ) )
133	1, 3, 62, 64, 70, 99, 104, 132	climadd 13092	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
134		1rp 10982	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
136	135, 14	rpaddcld 11029	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + T ) e. RR+ )
137	136	rpne0d 11019	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + T ) =/= 0 )
138	33, 137	logcld 21906	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 + T ) ) e. CC )
139	32, 16	subcld 9706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. CC )
140	15, 54	absltd 12899	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` T ) < 1 <-> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) ) )
141	47, 140	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u 1 < T /\ T < 1 ) )
142	141	simprd 460	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T < 1 )
143	15, 142	gtned 9496	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 =/= T )
144	32, 16, 143	subne0d 9715	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - T ) =/= 0 )
145	139, 144	logcld 21906	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( 1 - T ) ) e. CC )
146	138, 145	negsubd 9712	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` ( 1 + T ) ) + -u ( log ` ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
147	133, 146	breqtrd 4304	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
148		nn0uz 10882	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
149		0zd 10645	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
150		stirlinglem5.5	. . . . . 6 |- G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
151		2nn0 10583	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
152	151	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> 2 e. NN0 )
153		id 22	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> j e. NN0 )
154	152, 153	nn0mulcld 10628	. . . . . . 7 |- ( j e. NN0 -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
155		nn0p1nn 10606	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. j ) e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
156	154, 155	syl 16	. . . . . 6 |- ( j e. NN0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
157	150, 156	fmpti 5854	. . . . 5 |- G : NN0 --> NN
158	157	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G : NN0 --> NN )
159		2re 10378	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
160	159	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR )
161		nn0re 10575	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
162	160, 161	remulcld 9401	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. RR )
163	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. RR )
164	161, 163	readdcld 9400	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
165	160, 164	remulcld 9401	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. RR )
166		2rp 10983	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
167	166	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 2 e. RR+ )
168	161	ltp1d 10250	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k < ( k + 1 ) )
169	161, 164, 167, 168	ltmul2dd 11066	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) < ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
170	162, 165, 163, 169	ltadd1dd 9937	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) < ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
171	150	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> G = ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
172		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> j = k )
173	172	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
174	173	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
175		id 22	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
176		2cnd 10381	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 2 e. CC )
177		nn0cn 10576	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
178	176, 177	mulcld 9393	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. CC )
179	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 1 e. CC )
180	178, 179	addcld 9392	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
181	171, 174, 175, 180	fvmptd 5767	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
182		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> j = ( k + 1 ) )
183	182	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
184	183	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ j = ( k + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
185		peano2nn0 10607	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
186	177, 179	addcld 9392	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
187	176, 186	mulcld 9393	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) e. CC )
188	187, 179	addcld 9392	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) e. CC )
189	171, 184, 185, 188	fvmptd 5767	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( k + 1 ) ) + 1 ) )
190	170, 181, 189	3brtr4d 4310	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
191	190	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
192		eldifi 3466	. . . . . . 7 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. NN )
193	192	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN )
194	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 1 e. CC )
195	194	negcld 9693	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u 1 e. CC )
196	192, 85	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
197	195, 196	expcld 11991	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
198	197	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
199	16	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> T e. CC )
200	193	nnnn0d 10623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. NN0 )
201	199, 200	expcld 11991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( T ^ n ) e. CC )
202	193	nncnd 10325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n e. CC )
203	193	nnne0d 10353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> n =/= 0 )
204	201, 202, 203	divcld 10094	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
205	198, 204	mulcld 9393	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
206	205, 204	addcld 9392	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC )
207	108, 106	fvmptg 5760	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) e. CC ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
208	193, 206, 207	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
209		eldifn 3467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n e. ran G )
210		0nn0 10581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
211		1nn0 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN0
212	151, 211	num0h 10752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 )
213		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = 0 -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. 0 ) )
214	213	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = 0 -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) )
215	214	eqeq2d 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 0 -> ( 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) )
216	215	rspcev 3062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 = ( ( 2 x. 0 ) + 1 ) ) -> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
217	210, 212, 216	mp2an 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 )
218	150	elrnmpt 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. CC -> ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
219	6, 218	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ran G <-> E. j e. NN0 1 = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
220	217, 219	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ran G
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> 1 e. ran G )
222		eleq1 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n e. ran G <-> 1 e. ran G ) )
223	221, 222	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n e. ran G )
224	209, 223	nsyl 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. n = 1 )
225		nn1m1nn 10329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
226	192, 225	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n = 1 \/ ( n - 1 ) e. NN ) )
227	226	ord 377	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. n = 1 -> ( n - 1 ) e. NN ) )
228	224, 227	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. NN )
229		nfcv 2569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j NN
230		nfmpt1 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j ( j e. NN0 |-> ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
231	150, 230	nfcxfr 2566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j G
232	231	nfrn 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j ran G
233	229, 232	nfdif 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( NN \ ran G )
234	233	nfcri 2563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j n e. ( NN \ ran G )
235	150	elrnmpt 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n e. ran G <-> E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
236	209, 235	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
237		ralnex 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) <-> -. E. j e. NN0 n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
238	236, 237	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. NN0 -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
239	238	r19.21bi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> -. n = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
240	239	neneqad 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> n =/= ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
241	240	necomd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
242	241	adantlr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
243		simplr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
244		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
245	192	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> n e. NN )
246	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR )
247		simpl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
248	247	zred 10734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. RR )
249	246, 248	remulcld 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
250		0re 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 e. RR
251	250	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 0 e. RR )
252	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. RR )
253		2cnd 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. CC )
254	248	recnd 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j e. CC )
255	253, 254	mulcomd 9394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) = ( j x. 2 ) )
256		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. j e. NN0 )
257		elnn0z 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( j e. NN0 <-> ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
258	256, 257	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) )
259		nan 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( j e. ZZ /\ 0 <_ j ) ) <-> ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j ) )
260	258, 259	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ j e. ZZ ) -> -. 0 <_ j )
261	260	anabss1 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 0 <_ j )
262	248, 251	ltnled 9508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j < 0 <-> -. 0 <_ j ) )
263	261, 262	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> j < 0 )
264	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
265	264	rpregt0d 11020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
266		mulltgt0 29586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( j e. RR /\ j < 0 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
267	248, 263, 265, 266	syl21anc 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( j x. 2 ) < 0 )
268	255, 267	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 2 x. j ) < 0 )
269	249, 251, 252, 268	ltadd1dd 9937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < ( 0 + 1 ) )
270	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> 1 e. CC )
271	270	addid2d 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( 0 + 1 ) = 1 )
272	269, 271	breqtrd 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 )
273	249, 252	readdcld 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
274	273, 252	ltnled 9508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
275	272, 274	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
276		nnge1 10335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
277	275, 276	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
278	277	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
279		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
280		simpl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> n e. NN )
281	279, 280	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
282	281	adantll 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. NN )
283	278, 282	mtand 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
284	283	neneqad 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ZZ /\ -. j e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
285	243, 244, 245, 284	syl21anc 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) /\ -. j e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
286	242, 285	pm2.61dan 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= n )
287	286	neneqd 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( NN \ ran G ) /\ j e. ZZ ) -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
288	287	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( j e. ZZ -> -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
289	234, 288	ralrimi 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
290		ralnex 2715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. j e. ZZ -. ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n <-> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
291	289, 290	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n )
292	192	nnzd 10733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. ZZ )
293		odd2np1 13574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
294	292, 293	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || n <-> E. j e. ZZ ( ( 2 x. j ) + 1 ) = n ) )
295	291, 294	mtbird 301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. -. 2 || n )
296	295	notnotrd 113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || n )
297	192	nncnd 10325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> n e. CC )
298	297, 194	npcand 9710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
299	296, 298	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) )
300	196	nn0zd 10732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
301		oddp1even 13576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
302	300, 301	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -. 2 || ( n - 1 ) <-> 2 || ( ( n - 1 ) + 1 ) ) )
303	299, 302	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -. 2 || ( n - 1 ) )
304		oexpneg 13577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ ( n - 1 ) e. NN /\ -. 2 || ( n - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
305	194, 228, 303, 304	syl3anc 1211	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) )
306		1exp 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
307	300, 306	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = 1 )
308	307	negeqd 9591	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> -u ( 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
309	305, 308	eqtrd 2465	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( NN \ ran G ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
310	309	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) = -u 1 )
311	310	oveq1d 6095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) )
312	311	oveq1d 6095	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( n - 1 ) ) x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
313	204	mulm1d 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) = -u ( ( T ^ n ) / n ) )
314	313	oveq1d 6095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) )
315	204	negcld 9693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> -u ( ( T ^ n ) / n ) e. CC )
316	315, 204	addcomd 9558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( -u ( ( T ^ n ) / n ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) )
317	204	negidd 9696	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( ( T ^ n ) / n ) + -u ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
318	314, 316, 317	3eqtrd 2469	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( ( -u 1 x. ( ( T ^ n ) / n ) ) + ( ( T ^ n ) / n ) ) = 0 )
319	208, 312, 318	3eqtrd 2469	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN \ ran G ) ) -> ( F ` n ) = 0 )
320	120, 119	eqeltrd 2507	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. CC )
321	106	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> F = ( j e. NN |-> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) ) )
322		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
323	322	oveq1d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( j - 1 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) )
324	323	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) )
325	322	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( T ^ j ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
326	325, 322	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( T ^ j ) / j ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
327	324, 326	oveq12d 6098	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
328	327, 326	oveq12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( j - 1 ) ) x. ( ( T ^ j ) / j ) ) + ( ( T ^ j ) / j ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
329	151	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. NN0 )
330		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
331	329, 330	nn0mulcld 10628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
332		nn0p1nn 10606	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. k ) e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
333	331, 332	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
334	179	negcld 9693	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> -u 1 e. CC )
335	178, 179	pncand 9707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
336	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> 2 e. NN0 )
337	336, 175	nn0mulcld 10628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. NN0 )
338	335, 337	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
339	334, 338	expcld 11991	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
340	339	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
341	16	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> T e. CC )
342	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
343	331, 342	nn0addcld 10627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
344	341, 343	expcld 11991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
345		2cnd 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
346	177	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
347	345, 346	mulcld 9393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
348	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. CC )
349	347, 348	addcld 9392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
350	250	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. RR )
351	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 2 e. RR )
352	161	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
353	351, 352	remulcld 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. k ) e. RR )
354	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 1 e. RR )
355		0le2 10399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
356	355	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ 2 )
357	330	nn0ge0d 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ k )
358	351, 352, 356, 357	mulge0d 9903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 2 x. k ) )
359		0lt1 9849	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
360	359	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < 1 )
361	353, 354, 358, 360	addgegt0d 9900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
362	350, 361	gtned 9496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) =/= 0 )
363	344, 349, 362	divcld 10094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
364	340, 363	mulcld 9393	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
365	364, 363	addcld 9392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
366	321, 328, 333, 365	fvmptd 5767	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
367	335	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. k ) )
368	367	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) )
369		m1expeven 29615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
370	369	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. k ) ) = 1 )
371	368, 370	eqtrd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) = 1 )
372	371	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
373	363	mulid2d 9391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
374	372, 373	eqtrd 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
375	374	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
376	363	2timesd 10554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
377	344, 349, 362	divrec2d 10098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
378	377	oveq2d 6096	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
379	375, 376, 378	3eqtr2d 2471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) - 1 ) ) x. ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) + ( ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
380	366, 379	eqtr2d 2466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
381		stirlinglem5.4	. . . . . . 7 |- H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) )
382	381	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> H = ( j e. NN0 |-> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) ) )
383		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
384	383	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. j ) = ( 2 x. k ) )
385	384	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
386	385	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
387	385	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) = ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
388	386, 387	oveq12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
389	388	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
390	349, 362	reccld 10087	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
391	390, 344	mulcld 9393	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) e. CC )
392	345, 391	mulcld 9393	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
393	382, 389, 330, 392	fvmptd 5767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( T ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) ) )
394	211	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> 1 e. NN0 )
395	337, 394	nn0addcld 10627	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
396	171, 174, 175, 395	fvmptd 5767	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
397	396	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
398	397	fveq2d 5683	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
399	380, 393, 398	3eqtr4d 2475	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
400	148, 1, 149, 3, 158, 191, 319, 320, 399	isercoll2 13129	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) <-> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) ) )
401	147, 400	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
402	54, 15	resubcld 9763	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR )
403	16	subidd 9694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T - T ) = 0 )
404	403	eqcomd 2438	. . . . 5 |- ( ph -> 0 = ( T - T ) )
405	15, 54, 15, 142	ltsub1dd 9938	. . . . 5 |- ( ph -> ( T - T ) < ( 1 - T ) )
406	404, 405	eqbrtrd 4300	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( 1 - T ) )
407	402, 406	elrpd 11012	. . 3 |- ( ph -> ( 1 - T ) e. RR+ )
408	136, 407	relogdivd 21959	. 2 |- ( ph -> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) = ( ( log ` ( 1 + T ) ) - ( log ` ( 1 - T ) ) ) )
409	401, 408	breqtrrd 4306	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( log ` ( ( 1 + T ) / ( 1 - T ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ran crn 4828   o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   RR*cxr 9404   < clt 9405   <_ cle 9406   - cmin 9582   -ucneg 9583   / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   ...cfz 11423   seqcseq 11789   ^cexp 11848   abscabs 12706   ~~> cli 12945   || cdivides 13517   *Metcxmt 17644   ballcbl 17646   logclog 21890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-tan 13339  df-pi 13340  df-dvds 13518  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-ulm 21726  df-log 21892

This theorem is referenced by:  stirlinglem6  29717