Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stirlinglem5 38052
 Description: If is between and , then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1
stirlinglem5.2
stirlinglem5.3
stirlinglem5.4
stirlinglem5.5
stirlinglem5.6
stirlinglem5.7
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11218 . . . . 5
2 1zzd 10992 . . . . 5
3 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9
43a1i 11 . . . . . . . 8
5 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13
65negcld 9992 . . . . . . . . . . . 12
7 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . 13
87adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
96, 8expcld 12454 . . . . . . . . . . 11
10 nncn 10639 . . . . . . . . . . . 12
1110adantl 473 . . . . . . . . . . 11
12 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . 14
1413recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
16 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . 13
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
1815, 17expcld 12454 . . . . . . . . . . 11
19 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . 12
2019adantl 473 . . . . . . . . . . 11
219, 11, 18, 20div32d 10428 . . . . . . . . . 10
225, 15pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . . 13
2322eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
2423oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
2524oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
2621, 25eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9
2726mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
284, 27eqtrd 2505 . . . . . . 7
2928seqeq3d 12259 . . . . . 6
30 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
3130, 14addcld 9680 . . . . . . . . . 10
32 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
3332cnmetdval 21869 . . . . . . . . . 10
3430, 31, 33syl2anc 673 . . . . . . . . 9
35 1m1e0 10700 . . . . . . . . . . . . . 14
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3736oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
3830, 30, 14subsub4d 10036 . . . . . . . . . . . 12
39 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . . 14
4039eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4237, 38, 413eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11
4342fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
4414absnegd 13588 . . . . . . . . . . 11
45 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11
4644, 45eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10
4743, 46eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
4834, 47eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8
49 cnxmet 21871 . . . . . . . . . 10
5049a1i 11 . . . . . . . . 9
51 1red 9676 . . . . . . . . . 10
5251rexrd 9708 . . . . . . . . 9
53 elbl2 21483 . . . . . . . . 9
5450, 52, 30, 31, 53syl22anc 1293 . . . . . . . 8
5548, 54mpbird 240 . . . . . . 7
56 eqid 2471 . . . . . . . 8
5756logtayl2 23686 . . . . . . 7
5855, 57syl 17 . . . . . 6
5929, 58eqbrtrd 4416 . . . . 5
60 seqex 12253 . . . . . 6
6160a1i 11 . . . . 5
62 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8
6362a1i 11 . . . . . . 7
6463seqeq3d 12259 . . . . . 6
65 logtayl 23684 . . . . . . 7
6614, 45, 65syl2anc 673 . . . . . 6
6764, 66eqbrtrd 4416 . . . . 5
68 simpr 468 . . . . . . 7
6968, 1syl6eleq 2559 . . . . . 6
703a1i 11 . . . . . . . 8
71 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
7271oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
74 id 22 . . . . . . . . . . 11
7573, 74oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
7672, 75oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
7776adantl 473 . . . . . . . 8
78 elfznn 11854 . . . . . . . . 9
7978adantl 473 . . . . . . . 8
80 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12
8180negcld 9992 . . . . . . . . . . 11
82 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . 11
8381, 82expcld 12454 . . . . . . . . . 10
8479, 83syl 17 . . . . . . . . 9
8514ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
8679nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11
8785, 86expcld 12454 . . . . . . . . . 10
8879nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
8979nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10
9087, 88, 89divcld 10405 . . . . . . . . 9
9184, 90mulcld 9681 . . . . . . . 8
9270, 77, 79, 91fvmptd 5969 . . . . . . 7
9392, 91eqeltrd 2549 . . . . . 6
94 addcl 9639 . . . . . . 7
9594adantl 473 . . . . . 6
9669, 93, 95seqcl 12271 . . . . 5
9762a1i 11 . . . . . . . 8
9875adantl 473 . . . . . . . 8
9997, 98, 79, 90fvmptd 5969 . . . . . . 7
10099, 90eqeltrd 2549 . . . . . 6
10169, 100, 95seqcl 12271 . . . . 5
102 simpll 768 . . . . . . 7
103 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10
104103a1i 11 . . . . . . . . 9
10576, 75oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
106105adantl 473 . . . . . . . . 9
107 simpr 468 . . . . . . . . 9
10883adantl 473 . . . . . . . . . . 11
10914adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
110107nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13
111109, 110expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12
112107nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12
113107nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12
114111, 112, 113divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
115108, 114mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
116115, 114addcld 9680 . . . . . . . . 9
117104, 106, 107, 116fvmptd 5969 . . . . . . . 8
1183a1i 11 . . . . . . . . . . 11
11976adantl 473 . . . . . . . . . . 11
120118, 119, 107, 115fvmptd 5969 . . . . . . . . . 10
121120eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
12262a1i 11 . . . . . . . . . . 11
12375adantl 473 . . . . . . . . . . 11
124122, 123, 107, 114fvmptd 5969 . . . . . . . . . 10
125124eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
126121, 125oveq12d 6326 . . . . . . . 8
127117, 126eqtrd 2505 . . . . . . 7
128102, 79, 127syl2anc 673 . . . . . 6
12969, 93, 100, 128seradd 12293 . . . . 5
1301, 2, 59, 61, 67, 96, 101, 129climadd 13772 . . . 4
131 1rp 11329 . . . . . . . . 9
132131a1i 11 . . . . . . . 8
133132, 12rpaddcld 11379 . . . . . . 7
134133rpne0d 11369 . . . . . 6
13531, 134logcld 23599 . . . . 5
13630, 14subcld 10005 . . . . . 6
13713, 51absltd 13568 . . . . . . . . . 10
13845, 137mpbid 215 . . . . . . . . 9
139138simprd 470 . . . . . . . 8
14013, 139gtned 9787 . . . . . . 7
14130, 14, 140subne0d 10014 . . . . . 6
142136, 141logcld 23599 . . . . 5
143135, 142negsubd 10011 . . . 4
144130, 143breqtrd 4420 . . 3
145 nn0uz 11217 . . . 4
146 0zd 10973 . . . 4
147 stirlinglem5.5 . . . . . 6
148 2nn0 10910 . . . . . . . . 9
149148a1i 11 . . . . . . . 8
150 id 22 . . . . . . . 8
151149, 150nn0mulcld 10954 . . . . . . 7
152 nn0p1nn 10933 . . . . . . 7
153151, 152syl 17 . . . . . 6
154147, 153fmpti 6060 . . . . 5
155154a1i 11 . . . 4
156 2re 10701 . . . . . . . . 9
157156a1i 11 . . . . . . . 8
158 nn0re 10902 . . . . . . . 8
159157, 158remulcld 9689 . . . . . . 7
160 1red 9676 . . . . . . . . 9
161158, 160readdcld 9688 . . . . . . . 8
162157, 161remulcld 9689 . . . . . . 7
163 2rp 11330 . . . . . . . . 9
164163a1i 11 . . . . . . . 8
165158ltp1d 10559 . . . . . . . 8
166158, 161, 164, 165ltmul2dd 11417 . . . . . . 7
167159, 162, 160, 166ltadd1dd 10245 . . . . . 6
168147a1i 11 . . . . . . 7
169 simpr 468 . . . . . . . . 9
170169oveq2d 6324 . . . . . . . 8
171170oveq1d 6323 . . . . . . 7
172 id 22 . . . . . . 7
173 2cnd 10704 . . . . . . . . 9
174 nn0cn 10903 . . . . . . . . 9
175173, 174mulcld 9681 . . . . . . . 8
176 1cnd 9677 . . . . . . . 8
177175, 176addcld 9680 . . . . . . 7
178168, 171, 172, 177fvmptd 5969 . . . . . 6
179 simpr 468 . . . . . . . . 9
180179oveq2d 6324 . . . . . . . 8
181180oveq1d 6323 . . . . . . 7
182 peano2nn0 10934 . . . . . . 7
183174, 176addcld 9680 . . . . . . . . 9
184173, 183mulcld 9681 . . . . . . . 8
185184, 176addcld 9680 . . . . . . 7
186168, 181, 182, 185fvmptd 5969 . . . . . 6
187167, 178, 1863brtr4d 4426 . . . . 5
188187adantl 473 . . . 4
189 eldifi 3544 . . . . . . 7
190189adantl 473 . . . . . 6
191 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11
192191negcld 9992 . . . . . . . . . 10
193189, 82syl 17 . . . . . . . . . 10
194192, 193expcld 12454 . . . . . . . . 9
195194adantl 473 . . . . . . . 8
19614adantr 472 . . . . . . . . . 10
197190nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10
198196, 197expcld 12454 . . . . . . . . 9
199190nncnd 10647 . . . . . . . . 9
200190nnne0d 10676 . . . . . . . . 9
201198, 199, 200divcld 10405 . . . . . . . 8
202195, 201mulcld 9681 . . . . . . 7
203202, 201addcld 9680 . . . . . 6
204105, 103fvmptg 5961 . . . . . 6
205190, 203, 204syl2anc 673 . . . . 5
206 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . 12
207 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
208 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
209148, 208num0h 11084 . . . . . . . . . . . . . . . 16
210 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
211210oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
212211eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213212rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
214207, 209, 213mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15
215 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216147elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
218214, 217mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . 14
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
220 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
221219, 220mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12
222206, 221nsyl 125 . . . . . . . . . . 11
223 nn1m1nn 10651 . . . . . . . . . . . . 13
224189, 223syl 17 . . . . . . . . . . . 12
225224ord 384 . . . . . . . . . . 11
226222, 225mpd 15 . . . . . . . . . 10
227 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
228 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
229147, 228nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
230229nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
231227, 230nfdif 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
232231nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16
233147elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
234206, 233mtbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
235 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
236234, 235sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
237236r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
238237neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
239238necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
240239adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
241 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
242 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
243189ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
244156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
245 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
246245zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
247244, 246remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
248 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
249 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
250 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
251246recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
252250, 251mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
253 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
254 elnn0z 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
255253, 254sylnib 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
256 nan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
257255, 256mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
258257anabss1 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
259246, 248ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
260258, 259mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
261163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
262261rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
263 mulltgt0 37406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
264246, 260, 262, 263syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
265252, 264eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
266247, 248, 249, 265ltadd1dd 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
267 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
268267addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
269266, 268breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
270247, 249readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
271270, 249ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
272269, 271mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
273 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
274272, 273nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
275274adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
276 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
277 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
278276, 277eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
279278adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
280275, 279mtand 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
281280neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
282241, 242, 243, 281syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
283240, 282pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
284283neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
285284ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
286232, 285ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15
287 ralnex 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15
288286, 287sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
289189nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . 15
290 odd2np1 14443 . . . . . . . . . . . . . . 15
291289, 290syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
292288, 291mtbird 308 . . . . . . . . . . . . 13
293292notnotrd 117 . . . . . . . . . . . 12
294189nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
295294, 191npcand 10009 . . . . . . . . . . . 12
296293, 295breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . 11
297193nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12
298 oddp1even 14445 . . . . . . . . . . . 12
299297, 298syl 17 . . . . . . . . . . 11
300296, 299mpbird 240 . . . . . . . . . 10
301 oexpneg 14446 . . . . . . . . . 10
302191, 226, 300, 301syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
303 1exp 12339 . . . . . . . . . . 11
304297, 303syl 17 . . . . . . . . . 10
305304negeqd 9889 . . . . . . . . 9
306302, 305eqtrd 2505 . . . . . . . 8
307306adantl 473 . . . . . . 7
308307oveq1d 6323 . . . . . 6
309308oveq1d 6323 . . . . 5
310201mulm1d 10091 . . . . . . 7
311310oveq1d 6323 . . . . . 6
312201negcld 9992 . . . . . . 7
313312, 201addcomd 9853 . . . . . 6
314201negidd 9995 . . . . . 6
315311, 313, 3143eqtrd 2509 . . . . 5
316205, 309, 3153eqtrd 2509 . . . 4
317117, 116eqeltrd 2549 . . . 4
318103a1i 11 . . . . . . 7
319 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
320319oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
321320oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
322319oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
323322, 319oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
324321, 323oveq12d 6326 . . . . . . . 8
325324, 323oveq12d 6326 . . . . . . 7
326148a1i 11 . . . . . . . . 9
327 simpr 468 . . . . . . . . 9
328326, 327nn0mulcld 10954 . . . . . . . 8
329 nn0p1nn 10933 . . . . . . . 8
330328, 329syl 17 . . . . . . 7
331176negcld 9992 . . . . . . . . . . 11
332175, 176pncand 10006 . . . . . . . . . . . 12
333148a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
334333, 172nn0mulcld 10954 . . . . . . . . . . . 12
335332, 334eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11
336331, 335expcld 12454 . . . . . . . . . 10
337336adantl 473 . . . . . . . . 9
33814adantr 472 . . . . . . . . . . 11
339208a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
340328, 339nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . 11
341338, 340expcld 12454 . . . . . . . . . 10
342 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . 12
343174adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
344342, 343mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
345 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11
346344, 345addcld 9680 . . . . . . . . . 10
347 0red 9662 . . . . . . . . . . 11
348156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
349158adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
350348, 349remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12
351 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12
352 0le2 10722 . . . . . . . . . . . . . 14
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
354327nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . 13
355348, 349, 353, 354mulge0d 10211 . . . . . . . . . . . 12
356 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . 13
357356a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
358350, 351, 355, 357addgegt0d 10208 . . . . . . . . . . 11
359347, 358gtned 9787 . . . . . . . . . 10
360341, 346, 359divcld 10405 . . . . . . . . 9
361337, 360mulcld 9681 . . . . . . . 8
362361, 360addcld 9680 . . . . . . 7
363318, 325, 330, 362fvmptd 5969 . . . . . 6
364332adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
365364oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
366 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . 13
367 m1expeven 12357 . . . . . . . . . . . . 13
368366, 367syl 17 . . . . . . . . . . . 12
369368adantl 473 . . . . . . . . . . 11
370365, 369eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
371370oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
372360mulid2d 9679 . . . . . . . . 9
373371, 372eqtrd 2505 . . . . . . . 8
374373oveq1d 6323 . . . . . . 7
3753602timesd 10878 . . . . . . 7
376341, 346, 359divrec2d 10409 . . . . . . . 8
377376oveq2d 6324 . . . . . . 7
378374, 375, 3773eqtr2d 2511 . . . . . 6
379363, 378eqtr2d 2506 . . . . 5
380 stirlinglem5.4 . . . . . . 7
381380a1i 11 . . . . . 6
382 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
383382oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
384383oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
385384oveq2d 6324 . . . . . . . 8
386384oveq2d 6324 . . . . . . . 8
387385, 386oveq12d 6326 . . . . . . 7
388387oveq2d 6324 . . . . . 6
389346, 359reccld 10398 . . . . . . . 8
390389, 341mulcld 9681 . . . . . . 7
391342, 390mulcld 9681 . . . . . 6
392381, 388, 327, 391fvmptd 5969 . . . . 5
393208a1i 11 . . . . . . . . 9
394334, 393nn0addcld 10953 . . . . . . . 8
395168, 171, 172, 394fvmptd 5969 . . . . . . 7
396395adantl 473 . . . . . 6
397396fveq2d 5883 . . . . 5
398379, 392, 3973eqtr4d 2515 . . . 4
399145, 1, 146, 2, 155, 188, 316, 317, 398isercoll2 13809 . . 3
400144, 399mpbird 240 . 2
40151, 13resubcld 10068 . . . 4
40214subidd 9993 . . . . . 6
403402eqcomd 2477 . . . . 5
40413, 51, 13, 139ltsub1dd 10246 . . . . 5
405403, 404eqbrtrd 4416 . . . 4
406401, 405elrpd 11361 . . 3
407133, 406relogdivd 23654 . 2
408400, 407breqtrrd 4422 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cseq 12251  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625   cdvds 14382  cxmt 19032  cbl 19034  clog 23583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ulm 23411  df-log 23585 This theorem is referenced by:  stirlinglem6  38053
 Copyright terms: Public domain W3C validator