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Theorem stirlinglem4 37759
Description: Algebraic manipulation of  ( ( B n ) - ( B  ( n  +  1 ) ) ). It will be used in other theorems to show that  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem4.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem4.3  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    J( n)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10617 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnnn0 10877 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
32nn0ge0d 10929 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
41, 3ge0p1rpd 11369 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
5 nnrp 11312 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
64, 5rpdivcld 11359 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
76rpsqrtcld 13462 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR+ )
8 nnz 10960 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
96, 8rpexpcld 12439 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  e.  RR+ )
107, 9rpmulcld 11358 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  e.  RR+ )
11 epr 14248 . . . . 5  |-  _e  e.  RR+
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
1310, 12relogdivd 23562 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) ) )
147, 9relogmuld 23561 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) ) )
15 logsqrt 23636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
166, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
17 relogexp 23532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
186, 8, 17syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6320 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
2014, 19eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
21 peano2nn 10622 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2221nncnd 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
23 nncn 10618 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 nnne0 10643 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2522, 23, 24divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
2621nnne0d 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
2722, 23, 26, 24divne0d 10400 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =/=  0 )
2825, 27logcld 23507 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
29 2cnd 10683 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
30 2rp 11308 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
3231rpne0d 11347 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
3328, 29, 32divrec2d 10388 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
3433oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
35 1cnd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3635halfcld 10858 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3736, 23, 28adddird 9669 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
3823, 29, 32divcan4d 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  N )
3923, 29mulcomd 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
4039oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4138, 40eqtr3d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4241oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4329, 23mulcld 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
4435, 43, 29, 32divdird 10422 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4542, 44eqtr4d 2466 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
4645oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4737, 46eqtr3d 2465 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
4820, 34, 473eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
49 loge 23523 . . . . 5  |-  ( log `  _e )  =  1
5049a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  _e )  =  1 )
5148, 50oveq12d 6320 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
5213, 51eqtrd 2463 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
53 stirlinglem4.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5453stirlinglem2 37757 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
5554relogcld 23559 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
56 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ n N
57 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
58 nfmpt1 4510 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5953, 58nfcxfr 2582 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
6059, 56nffv 5885 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  N
)
6157, 60nffv 5885 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
62 fveq2 5878 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
6362fveq2d 5882 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
64 stirlinglem4.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
6556, 61, 63, 64fvmptf 5979 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
6655, 65mpdan 672 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
67 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( log `  ( A `  n )
)
68 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
6959, 68nffv 5885 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  k
)
7057, 69nffv 5885 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
71 fveq2 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
7271fveq2d 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
7367, 70, 72cbvmpt 4512 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7464, 73eqtri 2451 . . . . . 6  |-  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  k )
) ) )
76 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
7776fveq2d 5882 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
7877fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
7953stirlinglem2 37757 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8021, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8180relogcld 23559 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
8275, 78, 21, 81fvmptd 5967 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8366, 82oveq12d 6320 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N
) )  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) ) ) )
8454, 80relogdivd 23562 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N )
)  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
85 faccl 12469 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
86 nnrp 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
872, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
8831, 5rpmulcld 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
8988rpsqrtcld 13462 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR+ )
905, 12rpdivcld 11359 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  _e )  e.  RR+ )
9190, 8rpexpcld 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  RR+ )
9289, 91rpmulcld 11358 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  RR+ )
9387, 92rpdivcld 11359 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )
9453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
95 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  n  =  N )
9695fveq2d 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  N ) )
9795oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
9897fveq2d 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
9995oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( n  /  _e )  =  ( N  /  _e ) )
10099, 95oveq12d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( (
n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )
10198, 100oveq12d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
10296, 101oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
103 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN )
10487rpcnd 11344 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
105104adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
106 2cnd 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
107103nncnd 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  CC )
108106, 107mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
109108sqrtcld 13487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
110 ere 14131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _e  e.  RR
111110recni 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  e.  CC )
113 0re 9644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
114 epos 14247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
115113, 114gtneii 9747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  =/=  0 )
117107, 112, 116divcld 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  e.  CC )
118103nnnn0d 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
119117, 118expcld 12416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
120109, 119mulcld 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
12189rpne0d 11347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =/=  0 )
122121adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  =/=  0 )
123103nnne0d 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  =/=  0 )
124107, 112, 123, 116divne0d 10400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  =/=  0 )
125103nnzd 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
126117, 124, 125expne0d 12422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
127109, 119, 122, 126mulne0d 10265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
128105, 120, 127divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  CC )
12994, 102, 103, 128fvmptd 5967 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( A `  N
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
13093, 129mpdan 672 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
131 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
132 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )
133 fveq2 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
134 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
135134fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
136 oveq1 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
137 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
138136, 137oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )
139135, 138oveq12d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
140133, 139oveq12d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
141131, 132, 140cbvmpt 4512 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) ) )
14253, 141eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
143142a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) ) )
14476fveq2d 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( N  +  1 ) ) )
14576oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
146145fveq2d 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  k ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14776oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( k  /  _e )  =  (
( N  +  1 )  /  _e ) )
148147, 76oveq12d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( k  /  _e ) ^
k )  =  ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
149146, 148oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
150144, 149oveq12d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
15121nnnn0d 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
152 faccl 12469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
153 nnrp 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
15531, 4rpmulcld 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
156155rpsqrtcld 13462 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
1574, 12rpdivcld 11359 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
1588peano2zd 11044 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
159157, 158rpexpcld 12439 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR+ )
160156, 159rpmulcld 11358 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
161154, 160rpdivcld 11359 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
162143, 150, 21, 161fvmptd 5967 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
163130, 162oveq12d 6320 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
164 facp1 12464 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1652, 164syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
166165oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
167160rpcnd 11344 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
168160rpne0d 11347 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
169104, 22, 167, 168divassd 10419 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
170166, 169eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
171170oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
17292rpcnd 11344 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
17322, 167, 168divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
174104, 173mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
17592rpne0d 11347 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
17687rpne0d 11347 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
17722, 167, 26, 168divne0d 10400 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =/=  0 )
178104, 173, 176, 177mulne0d 10265 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =/=  0
)
179104, 172, 174, 175, 178divdiv32d 10409 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
180104, 104, 173, 176, 177divdiv1d 10415 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
181180eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )
182181oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
183104, 176dividd 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 N ) )  =  1 )
184183oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
185184oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
18622, 167, 26, 168recdivd 10401 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
187186oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
188167, 22, 26divcld 10384 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
18989rpcnd 11344 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
19091rpcnd 11344 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
19191rpne0d 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
192188, 189, 190, 121, 191divdiv1d 10415 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
193167, 22, 189, 26, 121divdiv32d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) ) )
194156rpcnd 11344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
195159rpcnd 11344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
196194, 195, 189, 121div23d 10421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
19731rpred 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
19831rpge0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
19921nnred 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
200151nn0ge0d 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  +  1 ) )
201197, 198, 199, 200sqrtmuld 13475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) ) )
202197, 198, 1, 3sqrtmuld 13475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) )
203201, 202oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
20429sqrtcld 13487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
20522sqrtcld 13487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
20623sqrtcld 13487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  CC )
20731rpsqrtcld 13462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
208207rpne0d 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
2095rpsqrtcld 13462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  RR+ )
210209rpne0d 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  =/=  0 )
211204, 204, 205, 206, 208, 210divmuldivd 10425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
212204, 208dividd 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  =  1 )
213199, 200, 5sqrtdivd 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )
214213eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
215212, 214oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
216203, 211, 2153eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
217216oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
21825sqrtcld 13487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
219218mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
220219oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
221196, 217, 2203eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
222221oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
223193, 222eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
224223oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )
225192, 224eqtr3d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
226218, 195mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
227226, 22, 190, 26, 191divdiv32d 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
228218, 195, 190, 191divassd 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
22912rpcnd 11344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23012rpne0d 11347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
23122, 229, 230, 151expdivd 12430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) ) )
23223, 229, 230, 2expdivd 12430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =  ( ( N ^ N )  /  (
_e ^ N ) ) )
233231, 232oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( _e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ N
)  /  ( _e
^ N ) ) ) )
234233oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) ) )
23522, 151expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
236229, 151expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
23723, 2expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  e.  CC )
238229, 2expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  e.  CC )
239229, 230, 158expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
240229, 230, 8expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  =/=  0 )
24123, 24, 8expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  =/=  0 )
242235, 236, 237, 238, 239, 240, 241divdivdivd 10431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e ^ N ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
243235, 238mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e
^ N ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
244243oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
_e ^ N ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
245238, 236, 235, 237, 239, 241divmuldivd 10425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
246229, 2expp1d 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  _e ) )
247246oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
248238, 238, 229, 240, 230divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
249238, 240dividd 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ N ) )  =  1 )
250249oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
251247, 248, 2503eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
252251oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
253245, 252eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
254242, 244, 2533eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
255254oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) ) )
256228, 234, 2553eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
257256oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
258235, 237, 241divcld 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  e.  CC )
25935, 229, 258, 230div32d 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) )  /  _e ) ) )
260258, 229, 230divcld 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e )  e.  CC )
261260mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
262259, 261eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
263262oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
264229, 230reccld 10377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  e.  CC )
265264, 258mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  e.  CC )
266218, 265, 22, 26div23d 10421 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
267218, 22, 26divcld 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
268267, 258, 229, 230divassd 10419 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
269263, 266, 2683eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
270227, 257, 2693eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
271187, 225, 2703eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
272182, 185, 2713eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
273171, 179, 2723eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
274218, 22, 258, 26div32d 10407 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) ) )
27522, 2expp1d 12417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
276275oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
27722, 2expcld 12416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ N )  e.  CC )
278277, 22, 26divcan4d 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
279276, 278eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
280279oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
281235, 237, 22, 241, 26divdiv32d 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )
28222, 23, 24, 2expdivd 12430 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
283280, 281, 2823eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N
) )
284283oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )
285274, 284eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )
286285oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) )  /  _e ) )
287163, 273, 2863eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )
288287fveq2d 5882 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
28983, 84, 2883eqtr2d 2469 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29035, 43addcld 9663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
291290halfcld 10858 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  e.  CC )
292291, 28mulcld 9664 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  e.  CC )
293292, 35subcld 9987 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
294 stirlinglem4.3 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
295294a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) ) )
296 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
297296oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
298297oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N ) ) )
299298oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
) )
300296oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( n  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
301300, 296oveq12d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
n  +  1 )  /  n )  =  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )
302301fveq2d 5882 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  =  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )
303299, 302oveq12d 6320 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
304303oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
305 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
306 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
307295, 304, 305, 306fvmptd 5967 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
308293, 307mpdan 672 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
30952, 289, 3083eqtr4d 2473 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618    |-> cmpt 4479   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    - cmin 9861    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   RR+crp 11303   ^cexp 12272   !cfa 12459   sqrcsqrt 13285   _eceu 14103   logclog 23491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-e 14110  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-cxp 23494
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