Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stirlinglem4 38051
 Description: Algebraic manipulation of n ) - ( B . It will be used in other theorems to show that is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1
stirlinglem4.2
stirlinglem4.3
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10638 . . . . . . . 8
2 nnnn0 10900 . . . . . . . . 9
32nn0ge0d 10952 . . . . . . . 8
41, 3ge0p1rpd 11391 . . . . . . 7
5 nnrp 11334 . . . . . . 7
64, 5rpdivcld 11381 . . . . . 6
76rpsqrtcld 13550 . . . . 5
8 nnz 10983 . . . . . 6
96, 8rpexpcld 12477 . . . . 5
107, 9rpmulcld 11380 . . . 4
11 epr 14337 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
1310, 12relogdivd 23654 . . 3
147, 9relogmuld 23653 . . . . . 6
15 logsqrt 23728 . . . . . . . 8
166, 15syl 17 . . . . . . 7
17 relogexp 23624 . . . . . . . 8
186, 8, 17syl2anc 673 . . . . . . 7
1916, 18oveq12d 6326 . . . . . 6
2014, 19eqtrd 2505 . . . . 5
21 peano2nn 10643 . . . . . . . . . 10
2221nncnd 10647 . . . . . . . . 9
23 nncn 10639 . . . . . . . . 9
24 nnne0 10664 . . . . . . . . 9
2522, 23, 24divcld 10405 . . . . . . . 8
2621nnne0d 10676 . . . . . . . . 9
2722, 23, 26, 24divne0d 10421 . . . . . . . 8
2825, 27logcld 23599 . . . . . . 7
29 2cnd 10704 . . . . . . 7
30 2rp 11330 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
3231rpne0d 11369 . . . . . . 7
3328, 29, 32divrec2d 10409 . . . . . 6
3433oveq1d 6323 . . . . 5
35 1cnd 9677 . . . . . . . 8
3635halfcld 10880 . . . . . . 7
3736, 23, 28adddird 9686 . . . . . 6
3823, 29, 32divcan4d 10411 . . . . . . . . . 10
3923, 29mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11
4039oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
4138, 40eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9
4241oveq2d 6324 . . . . . . . 8
4329, 23mulcld 9681 . . . . . . . . 9
4435, 43, 29, 32divdird 10443 . . . . . . . 8
4542, 44eqtr4d 2508 . . . . . . 7
4645oveq1d 6323 . . . . . 6
4737, 46eqtr3d 2507 . . . . 5
4820, 34, 473eqtrd 2509 . . . 4
49 loge 23615 . . . . 5
5049a1i 11 . . . 4
5148, 50oveq12d 6326 . . 3
5213, 51eqtrd 2505 . 2
53 stirlinglem4.1 . . . . . . 7
5453stirlinglem2 38049 . . . . . 6
5554relogcld 23651 . . . . 5
56 nfcv 2612 . . . . . 6
57 nfcv 2612 . . . . . . 7
58 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9
5953, 58nfcxfr 2610 . . . . . . . 8
6059, 56nffv 5886 . . . . . . 7
6157, 60nffv 5886 . . . . . 6
62 fveq2 5879 . . . . . . 7
6362fveq2d 5883 . . . . . 6
64 stirlinglem4.2 . . . . . 6
6556, 61, 63, 64fvmptf 5981 . . . . 5
6655, 65mpdan 681 . . . 4
67 nfcv 2612 . . . . . . . 8
68 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
6959, 68nffv 5886 . . . . . . . . 9
7057, 69nffv 5886 . . . . . . . 8
71 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
7271fveq2d 5883 . . . . . . . 8
7367, 70, 72cbvmpt 4487 . . . . . . 7
7464, 73eqtri 2493 . . . . . 6
7574a1i 11 . . . . 5
76 simpr 468 . . . . . . 7
7776fveq2d 5883 . . . . . 6
7877fveq2d 5883 . . . . 5
7953stirlinglem2 38049 . . . . . . 7
8021, 79syl 17 . . . . . 6
8180relogcld 23651 . . . . 5
8275, 78, 21, 81fvmptd 5969 . . . 4
8366, 82oveq12d 6326 . . 3
8454, 80relogdivd 23654 . . 3
85 faccl 12507 . . . . . . . . 9
86 nnrp 11334 . . . . . . . . 9
872, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8
8831, 5rpmulcld 11380 . . . . . . . . . 10
8988rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . 9
905, 12rpdivcld 11381 . . . . . . . . . 10
9190, 8rpexpcld 12477 . . . . . . . . 9
9289, 91rpmulcld 11380 . . . . . . . 8
9387, 92rpdivcld 11381 . . . . . . 7
9453a1i 11 . . . . . . . 8
95 simpr 468 . . . . . . . . . 10
9695fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
9795oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
9897fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
9995oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
10099, 95oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
10198, 100oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
10296, 101oveq12d 6326 . . . . . . . 8
103 simpl 464 . . . . . . . 8
10487rpcnd 11366 . . . . . . . . . 10
105104adantr 472 . . . . . . . . 9
106 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . 12
107103nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12
108106, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
109108sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10
110 ere 14220 . . . . . . . . . . . . . 14
111110recni 9673 . . . . . . . . . . . . 13
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
113 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . 14
114 epos 14336 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 114gtneii 9764 . . . . . . . . . . . . 13
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
117107, 112, 116divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
118103nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11
119117, 118expcld 12454 . . . . . . . . . 10
120109, 119mulcld 9681 . . . . . . . . 9
12189rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11
122121adantr 472 . . . . . . . . . 10
123103nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12
124107, 112, 123, 116divne0d 10421 . . . . . . . . . . 11
125103nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11
126117, 124, 125expne0d 12460 . . . . . . . . . 10
127109, 119, 122, 126mulne0d 10286 . . . . . . . . 9
128105, 120, 127divcld 10405 . . . . . . . 8
12994, 102, 103, 128fvmptd 5969 . . . . . . 7
13093, 129mpdan 681 . . . . . 6
131 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
132 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
133 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
134 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
135134fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
136 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13
137 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
138136, 137oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
139135, 138oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
140133, 139oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
141131, 132, 140cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9
14253, 141eqtri 2493 . . . . . . . 8
143142a1i 11 . . . . . . 7
14476fveq2d 5883 . . . . . . . 8
14576oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
146145fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
14776oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
148147, 76oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
149146, 148oveq12d 6326 . . . . . . . 8
150144, 149oveq12d 6326 . . . . . . 7
15121nnnn0d 10949 . . . . . . . . 9
152 faccl 12507 . . . . . . . . 9
153 nnrp 11334 . . . . . . . . 9
154151, 152, 1533syl 18 . . . . . . . 8
15531, 4rpmulcld 11380 . . . . . . . . . 10
156155rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . 9
1574, 12rpdivcld 11381 . . . . . . . . . 10
1588peano2zd 11066 . . . . . . . . . 10
159157, 158rpexpcld 12477 . . . . . . . . 9
160156, 159rpmulcld 11380 . . . . . . . 8
161154, 160rpdivcld 11381 . . . . . . 7
162143, 150, 21, 161fvmptd 5969 . . . . . 6
163130, 162oveq12d 6326 . . . . 5
164 facp1 12502 . . . . . . . . . 10
1652, 164syl 17 . . . . . . . . 9
166165oveq1d 6323 . . . . . . . 8
167160rpcnd 11366 . . . . . . . . 9
168160rpne0d 11369 . . . . . . . . 9
169104, 22, 167, 168divassd 10440 . . . . . . . 8
170166, 169eqtrd 2505 . . . . . . 7
171170oveq2d 6324 . . . . . 6
17292rpcnd 11366 . . . . . . 7
17322, 167, 168divcld 10405 . . . . . . . 8
174104, 173mulcld 9681 . . . . . . 7
17592rpne0d 11369 . . . . . . 7
17687rpne0d 11369 . . . . . . . 8
17722, 167, 26, 168divne0d 10421 . . . . . . . 8
178104, 173, 176, 177mulne0d 10286 . . . . . . 7
179104, 172, 174, 175, 178divdiv32d 10430 . . . . . 6
180104, 104, 173, 176, 177divdiv1d 10436 . . . . . . . . 9
181180eqcomd 2477 . . . . . . . 8
182181oveq1d 6323 . . . . . . 7
183104, 176dividd 10403 . . . . . . . . 9
184183oveq1d 6323 . . . . . . . 8
185184oveq1d 6323 . . . . . . 7
18622, 167, 26, 168recdivd 10422 . . . . . . . . 9
187186oveq1d 6323 . . . . . . . 8
188167, 22, 26divcld 10405 . . . . . . . . . 10
18989rpcnd 11366 . . . . . . . . . 10
19091rpcnd 11366 . . . . . . . . . 10
19191rpne0d 11369 . . . . . . . . . 10
192188, 189, 190, 121, 191divdiv1d 10436 . . . . . . . . 9
193167, 22, 189, 26, 121divdiv32d 10430 . . . . . . . . . . 11
194156rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . 14
195159rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . 14
196194, 195, 189, 121div23d 10442 . . . . . . . . . . . . 13
19731rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19831rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19921nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
200151nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
201197, 198, 199, 200sqrtmuld 13563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
202197, 198, 1, 3sqrtmuld 13563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203201, 202oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
20429sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20522sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20623sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20731rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208207rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2095rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
210209rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211204, 204, 205, 206, 208, 210divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . . . . . 15
212204, 208dividd 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16
213199, 200, 5sqrtdivd 13562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214213eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215212, 214oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
216203, 211, 2153eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . . . . 14
217216oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
21825sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . . . 15
219218mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . 14
220219oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
221196, 217, 2203eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12
222221oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
223193, 222eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
224223oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
225192, 224eqtr3d 2507 . . . . . . . 8
226218, 195mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
227226, 22, 190, 26, 191divdiv32d 10430 . . . . . . . . 9
228218, 195, 190, 191divassd 10440 . . . . . . . . . . 11
22912rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . 14
23012rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . 14
23122, 229, 230, 151expdivd 12468 . . . . . . . . . . . . 13
23223, 229, 230, 2expdivd 12468 . . . . . . . . . . . . 13
233231, 232oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
234233oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
23522, 151expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14
236229, 151expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14
23723, 2expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14
238229, 2expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14
239229, 230, 158expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . 14
240229, 230, 8expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . 14
24123, 24, 8expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . 14
242235, 236, 237, 238, 239, 240, 241divdivdivd 10452 . . . . . . . . . . . . 13
243235, 238mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . 14
244243oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
245238, 236, 235, 237, 239, 241divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . . . . 14
246229, 2expp1d 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
247246oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
248238, 238, 229, 240, 230divdiv1d 10436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
249238, 240dividd 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
250249oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
251247, 248, 2503eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15
252251oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
253245, 252eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . 13
254242, 244, 2533eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12
255254oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
256228, 234, 2553eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
257256oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
258235, 237, 241divcld 10405 . . . . . . . . . . . . 13
25935, 229, 258, 230div32d 10428 . . . . . . . . . . . 12
260258, 229, 230divcld 10405 . . . . . . . . . . . . 13
261260mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . 12
262259, 261eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
263262oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
264229, 230reccld 10398 . . . . . . . . . . . 12
265264, 258mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
266218, 265, 22, 26div23d 10442 . . . . . . . . . 10
267218, 22, 26divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
268267, 258, 229, 230divassd 10440 . . . . . . . . . 10
269263, 266, 2683eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9
270227, 257, 2693eqtrd 2509 . . . . . . . 8
271187, 225, 2703eqtrd 2509 . . . . . . 7
272182, 185, 2713eqtrd 2509 . . . . . 6
273171, 179, 2723eqtrd 2509 . . . . 5
274218, 22, 258, 26div32d 10428 . . . . . . 7
27522, 2expp1d 12455 . . . . . . . . . . . 12
276275oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
27722, 2expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12
278277, 22, 26divcan4d 10411 . . . . . . . . . . 11
279276, 278eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
280279oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
281235, 237, 22, 241, 26divdiv32d 10430 . . . . . . . . 9
28222, 23, 24, 2expdivd 12468 . . . . . . . . 9
283280, 281, 2823eqtr4d 2515 . . . . . . . 8
284283oveq2d 6324 . . . . . . 7
285274, 284eqtrd 2505 . . . . . 6
286285oveq1d 6323 . . . . 5
287163, 273, 2863eqtrd 2509 . . . 4
288287fveq2d 5883 . . 3
28983, 84, 2883eqtr2d 2511 . 2
29035, 43addcld 9680 . . . . . 6
291290halfcld 10880 . . . . 5
292291, 28mulcld 9681 . . . 4
293292, 35subcld 10005 . . 3
294 stirlinglem4.3 . . . . 5
295294a1i 11 . . . 4
296 simpr 468 . . . . . . . . 9
297296oveq2d 6324 . . . . . . . 8
298297oveq2d 6324 . . . . . . 7
299298oveq1d 6323 . . . . . 6
300296oveq1d 6323 . . . . . . . 8
301300, 296oveq12d 6326 . . . . . . 7
302301fveq2d 5883 . . . . . 6
303299, 302oveq12d 6326 . . . . 5
304303oveq1d 6323 . . . 4
305 simpl 464 . . . 4
306 simpr 468 . . . 4
307295, 304, 305, 306fvmptd 5969 . . 3
308293, 307mpdan 681 . 2
30952, 289, 3083eqtr4d 2515 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  crp 11325  cexp 12310  cfa 12497  csqrt 13373  ceu 14192  clog 23583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586 This theorem is referenced by:  stirlinglem9  38056
 Copyright terms: Public domain W3C validator