Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem4 31405
 Description: Algebraic manipulation of n ) - ( B . It will be used in other theorems to show that is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1
stirlinglem4.2
stirlinglem4.3
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10543 . . . . . . . 8
2 nnnn0 10802 . . . . . . . . 9
32nn0ge0d 10855 . . . . . . . 8
41, 3ge0p1rpd 11282 . . . . . . 7
5 nnrp 11229 . . . . . . 7
64, 5rpdivcld 11273 . . . . . 6
76rpsqrtcld 13206 . . . . 5
8 nnz 10886 . . . . . 6
96, 8rpexpcld 12301 . . . . 5
107, 9rpmulcld 11272 . . . 4
11 epr 13802 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
1310, 12relogdivd 22767 . . 3
147, 9relogmuld 22766 . . . . . 6
15 logsqrt 22841 . . . . . . . 8
166, 15syl 16 . . . . . . 7
17 relogexp 22736 . . . . . . . 8
186, 8, 17syl2anc 661 . . . . . . 7
1916, 18oveq12d 6302 . . . . . 6
2014, 19eqtrd 2508 . . . . 5
21 peano2nn 10548 . . . . . . . . . 10
2221nncnd 10552 . . . . . . . . 9
23 nncn 10544 . . . . . . . . 9
24 nnne0 10568 . . . . . . . . 9
2522, 23, 24divcld 10320 . . . . . . . 8
2621nnne0d 10580 . . . . . . . . 9
2722, 23, 26, 24divne0d 10336 . . . . . . . 8
2825, 27logcld 22714 . . . . . . 7
29 2cnd 10608 . . . . . . 7
30 2rp 11225 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
3231rpne0d 11261 . . . . . . 7
3328, 29, 32divrec2d 10324 . . . . . 6
3433oveq1d 6299 . . . . 5
35 ax-1cn 9550 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
3736halfcld 10783 . . . . . . 7
3837, 23, 28adddird 9621 . . . . . 6
3923, 29, 32divcan4d 10326 . . . . . . . . . 10
4023, 29mulcomd 9617 . . . . . . . . . . 11
4140oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10
4239, 41eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9
4342oveq2d 6300 . . . . . . . 8
4429, 23mulcld 9616 . . . . . . . . 9
4536, 44, 29, 32divdird 10358 . . . . . . . 8
4643, 45eqtr4d 2511 . . . . . . 7
4746oveq1d 6299 . . . . . 6
4838, 47eqtr3d 2510 . . . . 5
4920, 34, 483eqtrd 2512 . . . 4
50 loge 22727 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4
5249, 51oveq12d 6302 . . 3
5313, 52eqtrd 2508 . 2
54 stirlinglem4.1 . . . . . . 7
5554stirlinglem2 31403 . . . . . 6
5655relogcld 22764 . . . . 5
57 nfcv 2629 . . . . . 6
58 nfcv 2629 . . . . . . 7
59 nfmpt1 4536 . . . . . . . . 9
6054, 59nfcxfr 2627 . . . . . . . 8
6160, 57nffv 5873 . . . . . . 7
6258, 61nffv 5873 . . . . . 6
63 fveq2 5866 . . . . . . 7
6463fveq2d 5870 . . . . . 6
65 stirlinglem4.2 . . . . . 6
6657, 62, 64, 65fvmptf 5966 . . . . 5
6756, 66mpdan 668 . . . 4
68 nfcv 2629 . . . . . . . 8
69 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
7060, 69nffv 5873 . . . . . . . . 9
7158, 70nffv 5873 . . . . . . . 8
72 fveq2 5866 . . . . . . . . 9
7372fveq2d 5870 . . . . . . . 8
7468, 71, 73cbvmpt 4537 . . . . . . 7
7565, 74eqtri 2496 . . . . . 6
7675a1i 11 . . . . 5
77 simpr 461 . . . . . . 7
7877fveq2d 5870 . . . . . 6
7978fveq2d 5870 . . . . 5
8054stirlinglem2 31403 . . . . . . 7
8121, 80syl 16 . . . . . 6
8281relogcld 22764 . . . . 5
8376, 79, 21, 82fvmptd 5955 . . . 4
8467, 83oveq12d 6302 . . 3
8555, 81relogdivd 22767 . . 3
86 faccl 12331 . . . . . . . . 9
87 nnrp 11229 . . . . . . . . 9
882, 86, 873syl 20 . . . . . . . 8
8931, 5rpmulcld 11272 . . . . . . . . . 10
9089rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . 9
915, 12rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10
9291, 8rpexpcld 12301 . . . . . . . . 9
9390, 92rpmulcld 11272 . . . . . . . 8
9488, 93rpdivcld 11273 . . . . . . 7
9554a1i 11 . . . . . . . 8
96 simpr 461 . . . . . . . . . 10
9796fveq2d 5870 . . . . . . . . 9
9896oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11
9998fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10
10096oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11
101100, 96oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10
10299, 101oveq12d 6302 . . . . . . . . 9
10397, 102oveq12d 6302 . . . . . . . 8
104 simpl 457 . . . . . . . 8
10588rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10
106105adantr 465 . . . . . . . . 9
107 2cnd 10608 . . . . . . . . . . . 12
108104nncnd 10552 . . . . . . . . . . . 12
109107, 108mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11
110109sqrtcld 13231 . . . . . . . . . 10
111 ere 13686 . . . . . . . . . . . . . 14
112111recni 9608 . . . . . . . . . . . . 13
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
114 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14
115 epos 13801 . . . . . . . . . . . . . 14
116114, 115gtneii 9696 . . . . . . . . . . . . 13
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
118108, 113, 117divcld 10320 . . . . . . . . . . 11
119104nnnn0d 10852 . . . . . . . . . . 11
120118, 119expcld 12278 . . . . . . . . . 10
121110, 120mulcld 9616 . . . . . . . . 9
12290rpne0d 11261 . . . . . . . . . . 11
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10
124104nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . 12
125108, 113, 124, 117divne0d 10336 . . . . . . . . . . 11
126104nnzd 10965 . . . . . . . . . . 11
127118, 125, 126expne0d 12284 . . . . . . . . . 10
128110, 120, 123, 127mulne0d 10201 . . . . . . . . 9
129106, 121, 128divcld 10320 . . . . . . . 8
13095, 103, 104, 129fvmptd 5955 . . . . . . 7
13194, 130mpdan 668 . . . . . 6
132 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
133 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
134 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11
135 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13
136135fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12
137 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . 13
138 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
139137, 138oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . 12
140136, 139oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11
141134, 140oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10
142132, 133, 141cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9
14354, 142eqtri 2496 . . . . . . . 8
144143a1i 11 . . . . . . 7
14577fveq2d 5870 . . . . . . . 8
14677oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10
147146fveq2d 5870 . . . . . . . . 9
14877oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10
149148, 77oveq12d 6302 . . . . . . . . 9
150147, 149oveq12d 6302 . . . . . . . 8
151145, 150oveq12d 6302 . . . . . . 7
15221nnnn0d 10852 . . . . . . . . 9
153 faccl 12331 . . . . . . . . 9
154 nnrp 11229 . . . . . . . . 9
155152, 153, 1543syl 20 . . . . . . . 8
15631, 4rpmulcld 11272 . . . . . . . . . 10
157156rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . 9
1584, 12rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10
1598peano2zd 10969 . . . . . . . . . 10
160158, 159rpexpcld 12301 . . . . . . . . 9
161157, 160rpmulcld 11272 . . . . . . . 8
162155, 161rpdivcld 11273 . . . . . . 7
163144, 151, 21, 162fvmptd 5955 . . . . . 6
164131, 163oveq12d 6302 . . . . 5
165 facp1 12326 . . . . . . . . . 10
1662, 165syl 16 . . . . . . . . 9
167166oveq1d 6299 . . . . . . . 8
168161rpcnd 11258 . . . . . . . . 9
169161rpne0d 11261 . . . . . . . . 9
170105, 22, 168, 169divassd 10355 . . . . . . . 8
171167, 170eqtrd 2508 . . . . . . 7
172171oveq2d 6300 . . . . . 6
17393rpcnd 11258 . . . . . . 7
17422, 168, 169divcld 10320 . . . . . . . 8
175105, 174mulcld 9616 . . . . . . 7
17693rpne0d 11261 . . . . . . 7
17788rpne0d 11261 . . . . . . . 8
17822, 168, 26, 169divne0d 10336 . . . . . . . 8
179105, 174, 177, 178mulne0d 10201 . . . . . . 7
180105, 173, 175, 176, 179divdiv32d 10345 . . . . . 6
181105, 105, 174, 177, 178divdiv1d 10351 . . . . . . . . 9
182181eqcomd 2475 . . . . . . . 8
183182oveq1d 6299 . . . . . . 7
184105, 177dividd 10318 . . . . . . . . 9
185184oveq1d 6299 . . . . . . . 8
186185oveq1d 6299 . . . . . . 7
18722, 168, 26, 169recdivd 10337 . . . . . . . . 9
188187oveq1d 6299 . . . . . . . 8
189168, 22, 26divcld 10320 . . . . . . . . . 10
19090rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10
19192rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10
19292rpne0d 11261 . . . . . . . . . 10
193189, 190, 191, 122, 192divdiv1d 10351 . . . . . . . . 9
194168, 22, 190, 26, 122divdiv32d 10345 . . . . . . . . . . 11
195157rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14
196160rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14
197195, 196, 190, 122div23d 10357 . . . . . . . . . . . . 13
19831rpred 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19931rpge0d 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20021nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
201152nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202198, 199, 200, 201sqrtmuld 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203198, 199, 1, 3sqrtmuld 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204202, 203oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15
20529sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20622sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20723sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20831rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
209208rpne0d 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2105rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211210rpne0d 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212205, 205, 206, 207, 209, 211divmuldivd 10361 . . . . . . . . . . . . . . 15
213205, 209dividd 10318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
214200, 201, 5sqrtdivd 13218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215214eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216213, 215oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15
217204, 212, 2163eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
218217oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13
21925sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . 15
220219mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . . . 14
221220oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13
222197, 218, 2213eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
223222oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11
224194, 223eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
225224oveq1d 6299 . . . . . . . . 9
226193, 225eqtr3d 2510 . . . . . . . 8
227219, 196mulcld 9616 . . . . . . . . . 10
228227, 22, 191, 26, 192divdiv32d 10345 . . . . . . . . 9
229219, 196, 191, 192divassd 10355 . . . . . . . . . . 11
23012rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14
23112rpne0d 11261 . . . . . . . . . . . . . 14
23222, 230, 231, 152expdivd 12292 . . . . . . . . . . . . 13
23323, 230, 231, 2expdivd 12292 . . . . . . . . . . . . 13
234232, 233oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . 12
235234oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11
23622, 152expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14
237230, 152expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14
23823, 2expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14
239230, 2expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14
240230, 231, 159expne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14
241230, 231, 8expne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14
24223, 24, 8expne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14
243236, 237, 238, 239, 240, 241, 242divdivdivd 10367 . . . . . . . . . . . . 13
244236, 239mulcomd 9617 . . . . . . . . . . . . . 14
245244oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13
246239, 237, 236, 238, 240, 242divmuldivd 10361 . . . . . . . . . . . . . 14
247230, 2expp1d 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
248247oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16
249239, 239, 230, 241, 231divdiv1d 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16
250239, 241dividd 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
251250oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16
252248, 249, 2513eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
253252oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14
254246, 253eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . 13
255243, 245, 2543eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
256255oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11
257229, 235, 2563eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10
258257oveq1d 6299 . . . . . . . . 9
259236, 238, 242divcld 10320 . . . . . . . . . . . . 13
26036, 230, 259, 231div32d 10343 . . . . . . . . . . . 12
261259, 230, 231divcld 10320 . . . . . . . . . . . . 13
262261mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . 12
263260, 262eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11
264263oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10
265230, 231reccld 10313 . . . . . . . . . . . 12
266265, 259mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11
267219, 266, 22, 26div23d 10357 . . . . . . . . . 10
268219, 22, 26divcld 10320 . . . . . . . . . . 11
269268, 259, 230, 231divassd 10355 . . . . . . . . . 10
270264, 267, 2693eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9
271228, 258, 2703eqtrd 2512 . . . . . . . 8
272188, 226, 2713eqtrd 2512 . . . . . . 7
273183, 186, 2723eqtrd 2512 . . . . . 6
274172, 180, 2733eqtrd 2512 . . . . 5
275219, 22, 259, 26div32d 10343 . . . . . . 7
27622, 2expp1d 12279 . . . . . . . . . . . 12
277276oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11
27822, 2expcld 12278 . . . . . . . . . . . 12
279278, 22, 26divcan4d 10326 . . . . . . . . . . 11
280277, 279eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
281280oveq1d 6299 . . . . . . . . 9
282236, 238, 22, 242, 26divdiv32d 10345 . . . . . . . . 9
28322, 23, 24, 2expdivd 12292 . . . . . . . . 9
284281, 282, 2833eqtr4d 2518 . . . . . . . 8
285284oveq2d 6300 . . . . . . 7
286275, 285eqtrd 2508 . . . . . 6
287286oveq1d 6299 . . . . 5
288164, 274, 2873eqtrd 2512 . . . 4
289288fveq2d 5870 . . 3
29084, 85, 2893eqtr2d 2514 . 2
29136, 44addcld 9615 . . . . . 6
292291halfcld 10783 . . . . 5
293292, 28mulcld 9616 . . . 4
294293, 36subcld 9930 . . 3
295 stirlinglem4.3 . . . . 5
296295a1i 11 . . . 4
297 simpr 461 . . . . . . . . 9
298297oveq2d 6300 . . . . . . . 8
299298oveq2d 6300 . . . . . . 7
300299oveq1d 6299 . . . . . 6
301297oveq1d 6299 . . . . . . . 8
302301, 297oveq12d 6302 . . . . . . 7
303302fveq2d 5870 . . . . . 6
304300, 303oveq12d 6302 . . . . 5
305304oveq1d 6299 . . . 4
306 simpl 457 . . . 4
307 simpr 461 . . . 4
308296, 305, 306, 307fvmptd 5955 . . 3
309294, 308mpdan 668 . 2
31053, 290, 3093eqtr4d 2518 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   cmpt 4505  cfv 5588  (class class class)co 6284  cc 9490  cr 9491  cc0 9492  c1 9493   caddc 9495   cmul 9497   cmin 9805   cdiv 10206  cn 10536  c2 10585  cn0 10795  cz 10864  crp 11220  cexp 12134  cfa 12321  csqrt 13029  ceu 13660  clog 22698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701 This theorem is referenced by:  stirlinglem9  31410
 Copyright terms: Public domain W3C validator