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Theorem stirlinglem4 27693
Description: Algebraic manipulation of  ( ( B n ) - ( B  ( n  +  1 ) ) ). It will be used in other theorems to show that  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem4.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem4.3  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    J( n)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 9963 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnnn0 10184 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
32nn0ge0d 10233 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
41, 3ge0p1rpd 10630 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
5 nnrp 10577 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
64, 5rpdivcld 10621 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
76rpsqrcld 12169 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR+ )
8 nnz 10259 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
96, 8rpexpcld 11501 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  e.  RR+ )
107, 9rpmulcld 10620 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  e.  RR+ )
11 epr 12762 . . . . 5  |-  _e  e.  RR+
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
1310, 12relogdivd 20474 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) ) )
147, 9relogmuld 20473 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) ) )
15 logsqr 20548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
166, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
17 relogexp 20443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
186, 8, 17syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
2014, 19eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
21 peano2nn 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2221nncnd 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
23 nncn 9964 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 nnne0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2522, 23, 24divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
2621nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
2722, 23, 26, 24divne0d 9762 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =/=  0 )
2825, 27logcld 20421 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
29 2cn 10026 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
31 2rp 10573 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
3332rpne0d 10609 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
3428, 30, 33divrec2d 9750 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
3534oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
36 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3837halfcld 10168 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3938, 23, 28adddird 9069 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
4023, 30, 33divcan4d 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  N )
4123, 30mulcomd 9065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
4241oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4340, 42eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4443oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4530, 23mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
4637, 45, 30, 33divdird 9784 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4744, 46eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
4847oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4939, 48eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
5020, 35, 493eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
51 loge 20434 . . . . 5  |-  ( log `  _e )  =  1
5251a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  _e )  =  1 )
5350, 52oveq12d 6058 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
5413, 53eqtrd 2436 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
55 stirlinglem4.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5655stirlinglem2 27691 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
5756relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
58 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ n N
59 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
60 nfmpt1 4258 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6155, 60nfcxfr 2537 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
6261, 58nffv 5694 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  N
)
6359, 62nffv 5694 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
64 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
6564fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
66 stirlinglem4.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
6758, 63, 65, 66fvmptf 5780 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
6857, 67mpdan 650 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
69 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( log `  ( A `  n )
)
70 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
7161, 70nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  k
)
7259, 71nffv 5694 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
73 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
7473fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
7569, 72, 74cbvmpt 4259 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7666, 75eqtri 2424 . . . . . 6  |-  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7776a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  k )
) ) )
78 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
7978fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
8079fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8155stirlinglem2 27691 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8221, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8382relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
8477, 80, 21, 83fvmptd 5769 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8568, 84oveq12d 6058 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N
) )  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) ) ) )
8656, 82relogdivd 20474 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N )
)  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
87 faccl 11531 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
88 nnrp 10577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
892, 87, 883syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
9032, 5rpmulcld 10620 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
9190rpsqrcld 12169 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR+ )
925, 12rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  _e )  e.  RR+ )
9392, 8rpexpcld 11501 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  RR+ )
9491, 93rpmulcld 10620 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  RR+ )
9589, 94rpdivcld 10621 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )
9655a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
97 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  n  =  N )
9897fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  N ) )
9997oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
10099fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
10197oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( n  /  _e )  =  ( N  /  _e ) )
102101, 97oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( (
n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )
103100, 102oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
10498, 103oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
105 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN )
10689rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
107106adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
10829a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
109105nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  CC )
110108, 109mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
111110sqrcld 12194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
112 ere 12646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _e  e.  RR
113112recni 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  e.  CC )
115 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
116 epos 12761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
117115, 116gtneii 9141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  =/=  0 )
119109, 114, 118divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  e.  CC )
120105nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
121119, 120expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
122111, 121mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
12391rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =/=  0 )
124123adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  =/=  0 )
125105nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  =/=  0 )
126109, 114, 125, 118divne0d 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  =/=  0 )
127105nnzd 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
128119, 126, 127expne0d 11484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
129111, 121, 124, 128mulne0d 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
130107, 122, 129divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  CC )
13196, 104, 105, 130fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( A `  N
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
13295, 131mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
133 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
134 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )
135 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
136 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
137136fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
138 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
139 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
140138, 139oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )
141137, 140oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
142135, 141oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
143133, 134, 142cbvmpt 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) ) )
14455, 143eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
145144a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) ) )
14678fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( N  +  1 ) ) )
14778oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
148147fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  k ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14978oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( k  /  _e )  =  (
( N  +  1 )  /  _e ) )
150149, 78oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( k  /  _e ) ^
k )  =  ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
151148, 150oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
152146, 151oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
15321nnnn0d 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
154 faccl 11531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
155 nnrp 10577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
156153, 154, 1553syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
15732, 4rpmulcld 10620 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
158157rpsqrcld 12169 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
1594, 12rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
1608peano2zd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
161159, 160rpexpcld 11501 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR+ )
162158, 161rpmulcld 10620 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
163156, 162rpdivcld 10621 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
164145, 152, 21, 163fvmptd 5769 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
165132, 164oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
166 facp1 11526 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1672, 166syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
168167oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
169162rpcnd 10606 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
170162rpne0d 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
171106, 22, 169, 170divassd 9781 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
172168, 171eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
173172oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
17494rpcnd 10606 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
17522, 169, 170divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
176106, 175mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
17794rpne0d 10609 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
17889rpne0d 10609 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
17922, 169, 26, 170divne0d 9762 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =/=  0 )
180106, 175, 178, 179mulne0d 9630 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =/=  0
)
181106, 174, 176, 177, 180divdiv32d 9771 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
182106, 106, 175, 178, 179divdiv1d 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
183182eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )
184183oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
185106, 178dividd 9744 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 N ) )  =  1 )
186185oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
187186oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
18822, 169, 26, 170recdivd 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
189188oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
190169, 22, 26divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
19191rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
19293rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
19393rpne0d 10609 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
194190, 191, 192, 123, 193divdiv1d 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
195169, 22, 191, 26, 123divdiv32d 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) ) )
196158rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
197161rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
198196, 197, 191, 123div23d 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
19932rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
20032rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
20121nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
202153nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  +  1 ) )
203199, 200, 201, 202sqrmuld 12182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) ) )
204199, 200, 1, 3sqrmuld 12182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) )
205203, 204oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
20630sqrcld 12194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
20722sqrcld 12194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
20823sqrcld 12194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  CC )
20932rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
210209rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
2115rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  RR+ )
212211rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  =/=  0 )
213206, 206, 207, 208, 210, 212divmuldivd 9787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
214206, 210dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  =  1 )
215201, 202, 5sqrdivd 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )
216215eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
217214, 216oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
218205, 213, 2173eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
219218oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
22025sqrcld 12194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
221220mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
222221oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
223198, 219, 2223eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
224223oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
225195, 224eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
226225oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )
227194, 226eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
228220, 197mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
229228, 22, 192, 26, 193divdiv32d 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
230220, 197, 192, 193divassd 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
23112rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23212rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
23322, 231, 232, 153expdivd 11492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) ) )
23423, 231, 232, 2expdivd 11492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =  ( ( N ^ N )  /  (
_e ^ N ) ) )
235233, 234oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( _e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ N
)  /  ( _e
^ N ) ) ) )
236235oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) ) )
23722, 153expcld 11478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
238231, 153expcld 11478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
23923, 2expcld 11478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  e.  CC )
240231, 2expcld 11478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  e.  CC )
241231, 232, 160expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
242231, 232, 8expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  =/=  0 )
24323, 24, 8expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  =/=  0 )
244237, 238, 239, 240, 241, 242, 243divdivdivd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e ^ N ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
245237, 240mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e
^ N ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
246245oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
_e ^ N ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
247240, 238, 237, 239, 241, 243divmuldivd 9787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
248231, 2expp1d 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  _e ) )
249248oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
250240, 240, 231, 242, 232divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
251240, 242dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ N ) )  =  1 )
252251oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
253249, 250, 2523eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
254253oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
255247, 254eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
256244, 246, 2553eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
257256oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) ) )
258230, 236, 2573eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
259258oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
260237, 239, 243divcld 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  e.  CC )
26137, 231, 260, 232div32d 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) )  /  _e ) ) )
262260, 231, 232divcld 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e )  e.  CC )
263262mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
264261, 263eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
265264oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
266231, 232reccld 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  e.  CC )
267266, 260mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  e.  CC )
268220, 267, 22, 26div23d 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
269220, 22, 26divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
270269, 260, 231, 232divassd 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
271265, 268, 2703eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
272229, 259, 2713eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
273189, 227, 2723eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
274184, 187, 2733eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
275173, 181, 2743eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
276220, 22, 260, 26div32d 9769 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) ) )
27722, 2expp1d 11479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
278277oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
27922, 2expcld 11478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ N )  e.  CC )
280279, 22, 26divcan4d 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
281278, 280eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
282281oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
283237, 239, 22, 243, 26divdiv32d 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )
28422, 23, 24, 2expdivd 11492 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
285282, 283, 2843eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N
) )
286285oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )
287276, 286eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )
288287oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) )  /  _e ) )
289165, 275, 2883eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )
290289fveq2d 5691 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29185, 86, 2903eqtr2d 2442 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29237, 45addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
293292halfcld 10168 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  e.  CC )
294293, 28mulcld 9064 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  e.  CC )
295294, 37subcld 9367 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
296 stirlinglem4.3 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
297296a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) ) )
298 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
299298oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
300299oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N ) ) )
301300oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
) )
302298oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( n  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
303302, 298oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
n  +  1 )  /  n )  =  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )
304303fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  =  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )
305301, 304oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
306305oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
307 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
308 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
309297, 306, 307, 308fvmptd 5769 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
310295, 309mpdan 650 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
31154, 291, 3103eqtr4d 2446 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993   _eceu 12620   logclog 20405
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  27698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
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