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Theorem stirlinglem4 31405
Description: Algebraic manipulation of  ( ( B n ) - ( B  ( n  +  1 ) ) ). It will be used in other theorems to show that  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem4.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem4.3  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    J( n)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10543 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnnn0 10802 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
32nn0ge0d 10855 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
41, 3ge0p1rpd 11282 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
5 nnrp 11229 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
64, 5rpdivcld 11273 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
76rpsqrtcld 13206 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR+ )
8 nnz 10886 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
96, 8rpexpcld 12301 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  e.  RR+ )
107, 9rpmulcld 11272 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  e.  RR+ )
11 epr 13802 . . . . 5  |-  _e  e.  RR+
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
1310, 12relogdivd 22767 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) ) )
147, 9relogmuld 22766 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) ) )
15 logsqrt 22841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
166, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
17 relogexp 22736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
186, 8, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
2014, 19eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
21 peano2nn 10548 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2221nncnd 10552 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
23 nncn 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 nnne0 10568 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2522, 23, 24divcld 10320 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
2621nnne0d 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
2722, 23, 26, 24divne0d 10336 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =/=  0 )
2825, 27logcld 22714 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
29 2cnd 10608 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
30 2rp 11225 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
3231rpne0d 11261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
3328, 29, 32divrec2d 10324 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
3433oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
35 ax-1cn 9550 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3736halfcld 10783 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3837, 23, 28adddird 9621 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
3923, 29, 32divcan4d 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  N )
4023, 29mulcomd 9617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
4140oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4239, 41eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4342oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4429, 23mulcld 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
4536, 44, 29, 32divdird 10358 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4643, 45eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
4746oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4838, 47eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
4920, 34, 483eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
50 loge 22727 . . . . 5  |-  ( log `  _e )  =  1
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  _e )  =  1 )
5249, 51oveq12d 6302 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
5313, 52eqtrd 2508 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
54 stirlinglem4.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5554stirlinglem2 31403 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
5655relogcld 22764 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
57 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ n N
58 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
59 nfmpt1 4536 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6054, 59nfcxfr 2627 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
6160, 57nffv 5873 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  N
)
6258, 61nffv 5873 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
63 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
6463fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
65 stirlinglem4.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
6657, 62, 64, 65fvmptf 5966 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
6756, 66mpdan 668 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
68 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( log `  ( A `  n )
)
69 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
7060, 69nffv 5873 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  k
)
7158, 70nffv 5873 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
72 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
7372fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
7468, 71, 73cbvmpt 4537 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7565, 74eqtri 2496 . . . . . 6  |-  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  k )
) ) )
77 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
7877fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
7978fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8054stirlinglem2 31403 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8121, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8281relogcld 22764 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
8376, 79, 21, 82fvmptd 5955 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8467, 83oveq12d 6302 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N
) )  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) ) ) )
8555, 81relogdivd 22767 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N )
)  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
86 faccl 12331 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
87 nnrp 11229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
882, 86, 873syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
8931, 5rpmulcld 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
9089rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR+ )
915, 12rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  _e )  e.  RR+ )
9291, 8rpexpcld 12301 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  RR+ )
9390, 92rpmulcld 11272 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  RR+ )
9488, 93rpdivcld 11273 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )
9554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
96 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  n  =  N )
9796fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  N ) )
9896oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
9998fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
10096oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( n  /  _e )  =  ( N  /  _e ) )
101100, 96oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( (
n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )
10299, 101oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
10397, 102oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
104 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN )
10588rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
106105adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
107 2cnd 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
108104nncnd 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  CC )
109107, 108mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
110109sqrtcld 13231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
111 ere 13686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _e  e.  RR
112111recni 9608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  e.  CC )
114 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
115 epos 13801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
116114, 115gtneii 9696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  =/=  0 )
118108, 113, 117divcld 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  e.  CC )
119104nnnn0d 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
120118, 119expcld 12278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
121110, 120mulcld 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
12290rpne0d 11261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =/=  0 )
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  =/=  0 )
124104nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  =/=  0 )
125108, 113, 124, 117divne0d 10336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  =/=  0 )
126104nnzd 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
127118, 125, 126expne0d 12284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
128110, 120, 123, 127mulne0d 10201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
129106, 121, 128divcld 10320 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  CC )
13095, 103, 104, 129fvmptd 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( A `  N
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
13194, 130mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
132 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
133 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )
134 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
135 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
136135fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
137 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
138 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
139137, 138oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )
140136, 139oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
141134, 140oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
142132, 133, 141cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) ) )
14354, 142eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) ) )
14577fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( N  +  1 ) ) )
14677oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
147146fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  k ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14877oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( k  /  _e )  =  (
( N  +  1 )  /  _e ) )
149148, 77oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( k  /  _e ) ^
k )  =  ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
150147, 149oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
151145, 150oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
15221nnnn0d 10852 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
153 faccl 12331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
154 nnrp 11229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
155152, 153, 1543syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
15631, 4rpmulcld 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
157156rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
1584, 12rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
1598peano2zd 10969 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
160158, 159rpexpcld 12301 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR+ )
161157, 160rpmulcld 11272 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
162155, 161rpdivcld 11273 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
163144, 151, 21, 162fvmptd 5955 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
164131, 163oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
165 facp1 12326 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1662, 165syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
167166oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
168161rpcnd 11258 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
169161rpne0d 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
170105, 22, 168, 169divassd 10355 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
171167, 170eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
172171oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
17393rpcnd 11258 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
17422, 168, 169divcld 10320 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
175105, 174mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
17693rpne0d 11261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
17788rpne0d 11261 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
17822, 168, 26, 169divne0d 10336 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =/=  0 )
179105, 174, 177, 178mulne0d 10201 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =/=  0
)
180105, 173, 175, 176, 179divdiv32d 10345 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
181105, 105, 174, 177, 178divdiv1d 10351 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
182181eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )
183182oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
184105, 177dividd 10318 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 N ) )  =  1 )
185184oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
186185oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
18722, 168, 26, 169recdivd 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
188187oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
189168, 22, 26divcld 10320 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
19090rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
19192rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
19292rpne0d 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
193189, 190, 191, 122, 192divdiv1d 10351 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
194168, 22, 190, 26, 122divdiv32d 10345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) ) )
195157rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
196160rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
197195, 196, 190, 122div23d 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
19831rpred 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
19931rpge0d 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
20021nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
201152nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  +  1 ) )
202198, 199, 200, 201sqrtmuld 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) ) )
203198, 199, 1, 3sqrtmuld 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) )
204202, 203oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
20529sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
20622sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
20723sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  CC )
20831rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
209208rpne0d 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
2105rpsqrtcld 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  RR+ )
211210rpne0d 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  =/=  0 )
212205, 205, 206, 207, 209, 211divmuldivd 10361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
213205, 209dividd 10318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  =  1 )
214200, 201, 5sqrtdivd 13218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )
215214eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
216213, 215oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
217204, 212, 2163eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
218217oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
21925sqrtcld 13231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
220219mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
221220oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
222197, 218, 2213eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
223222oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
224194, 223eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
225224oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )
226193, 225eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
227219, 196mulcld 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
228227, 22, 191, 26, 192divdiv32d 10345 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
229219, 196, 191, 192divassd 10355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
23012rpcnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23112rpne0d 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
23222, 230, 231, 152expdivd 12292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) ) )
23323, 230, 231, 2expdivd 12292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =  ( ( N ^ N )  /  (
_e ^ N ) ) )
234232, 233oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( _e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ N
)  /  ( _e
^ N ) ) ) )
235234oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) ) )
23622, 152expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
237230, 152expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
23823, 2expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  e.  CC )
239230, 2expcld 12278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  e.  CC )
240230, 231, 159expne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
241230, 231, 8expne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  =/=  0 )
24223, 24, 8expne0d 12284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  =/=  0 )
243236, 237, 238, 239, 240, 241, 242divdivdivd 10367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e ^ N ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
244236, 239mulcomd 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e
^ N ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
245244oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
_e ^ N ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
246239, 237, 236, 238, 240, 242divmuldivd 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
247230, 2expp1d 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  _e ) )
248247oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
249239, 239, 230, 241, 231divdiv1d 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
250239, 241dividd 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ N ) )  =  1 )
251250oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
252248, 249, 2513eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
253252oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
254246, 253eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
255243, 245, 2543eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
256255oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) ) )
257229, 235, 2563eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
258257oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
259236, 238, 242divcld 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  e.  CC )
26036, 230, 259, 231div32d 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) )  /  _e ) ) )
261259, 230, 231divcld 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e )  e.  CC )
262261mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
263260, 262eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
264263oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
265230, 231reccld 10313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  e.  CC )
266265, 259mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  e.  CC )
267219, 266, 22, 26div23d 10357 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
268219, 22, 26divcld 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
269268, 259, 230, 231divassd 10355 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
270264, 267, 2693eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
271228, 258, 2703eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
272188, 226, 2713eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
273183, 186, 2723eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
274172, 180, 2733eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
275219, 22, 259, 26div32d 10343 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) ) )
27622, 2expp1d 12279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
277276oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
27822, 2expcld 12278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ N )  e.  CC )
279278, 22, 26divcan4d 10326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
280277, 279eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
281280oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
282236, 238, 22, 242, 26divdiv32d 10345 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )
28322, 23, 24, 2expdivd 12292 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
284281, 282, 2833eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N
) )
285284oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )
286275, 285eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )
287286oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) )  /  _e ) )
288164, 274, 2873eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )
289288fveq2d 5870 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29084, 85, 2893eqtr2d 2514 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29136, 44addcld 9615 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
292291halfcld 10783 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  e.  CC )
293292, 28mulcld 9616 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  e.  CC )
294293, 36subcld 9930 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
295 stirlinglem4.3 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
296295a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) ) )
297 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
298297oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
299298oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N ) ) )
300299oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
) )
301297oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( n  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
302301, 297oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
n  +  1 )  /  n )  =  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )
303302fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  =  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )
304300, 303oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
305304oveq1d 6299 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
306 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
307 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
308296, 305, 306, 307fvmptd 5955 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
309294, 308mpdan 668 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
31053, 290, 3093eqtr4d 2518 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220   ^cexp 12134   !cfa 12321   sqrcsqrt 13029   _eceu 13660   logclog 22698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  31410
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