Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem4 29825
Description: Algebraic manipulation of  ( ( B n ) - ( B  ( n  +  1 ) ) ). It will be used in other theorems to show that  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem4.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem4.3  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    J( n)

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10321 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnnn0 10578 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
32nn0ge0d 10631 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
41, 3ge0p1rpd 11045 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
5 nnrp 10992 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
64, 5rpdivcld 11036 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
76rpsqrcld 12890 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR+ )
8 nnz 10660 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
96, 8rpexpcld 12023 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  e.  RR+ )
107, 9rpmulcld 11035 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  e.  RR+ )
11 epr 13482 . . . . 5  |-  _e  e.  RR+
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
1310, 12relogdivd 22050 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) ) )
147, 9relogmuld 22049 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) ) )
15 logsqr 22124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
166, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 ) )
17 relogexp 22019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
186, 8, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  =  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( log `  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
2014, 19eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
21 peano2nn 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2221nncnd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
23 nncn 10322 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 nnne0 10346 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2522, 23, 24divcld 10099 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
2621nnne0d 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
2722, 23, 26, 24divne0d 10115 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =/=  0 )
2825, 27logcld 21997 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
29 2cnd 10386 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
30 2rp 10988 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
3231rpne0d 11024 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
3328, 29, 32divrec2d 10103 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
3433oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  2 )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
35 ax-1cn 9332 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3736halfcld 10561 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
3837, 23, 28adddird 9403 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) ) )
3923, 29, 32divcan4d 10105 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  N )
4023, 29mulcomd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
4140oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  2 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4239, 41eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( 2  x.  N )  / 
2 ) )
4342oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4429, 23mulcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
4536, 44, 29, 32divdird 10137 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) ) )
4643, 45eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  +  N )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 ) )
4746oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  +  N
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4838, 47eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  +  ( N  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
4920, 34, 483eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
50 loge 22010 . . . . 5  |-  ( log `  _e )  =  1
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  _e )  =  1 )
5249, 51oveq12d 6104 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )  -  ( log `  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
5313, 52eqtrd 2470 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
54 stirlinglem4.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5554stirlinglem2 29823 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
5655relogcld 22047 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
57 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ n N
58 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
59 nfmpt1 4376 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6054, 59nfcxfr 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
6160, 57nffv 5693 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  N
)
6258, 61nffv 5693 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
63 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
6463fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
65 stirlinglem4.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
6657, 62, 64, 65fvmptf 5785 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
6756, 66mpdan 668 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
68 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( log `  ( A `  n )
)
69 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
7060, 69nffv 5693 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  k
)
7158, 70nffv 5693 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
72 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
7372fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
7468, 71, 73cbvmpt 4377 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7565, 74eqtri 2458 . . . . . 6  |-  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 k ) ) )
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  B  =  ( k  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  k )
) ) )
77 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  k  =  ( N  +  1 ) )
7877fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
7978fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8054stirlinglem2 29823 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8121, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8281relogcld 22047 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
8376, 79, 21, 82fvmptd 5774 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8467, 83oveq12d 6104 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N
) )  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) ) ) )
8555, 81relogdivd 22050 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( log `  ( A `  N )
)  -  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
86 faccl 12053 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
87 nnrp 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
882, 86, 873syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
8931, 5rpmulcld 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
9089rpsqrcld 12890 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR+ )
915, 12rpdivcld 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  _e )  e.  RR+ )
9291, 8rpexpcld 12023 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  RR+ )
9390, 92rpmulcld 11035 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  RR+ )
9488, 93rpdivcld 11036 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )
9554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
96 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  n  =  N )
9796fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  N ) )
9896oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
9998fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
10096oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( n  /  _e )  =  ( N  /  _e ) )
101100, 96oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( (
n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )
10299, 101oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
10397, 102oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  /\  n  =  N
)  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
104 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN )
10588rpcnd 11021 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
106105adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ! `  N
)  e.  CC )
107 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
108104nncnd 10330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  CC )
109107, 108mulcld 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
110109sqrcld 12915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
111 ere 13366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _e  e.  RR
112111recni 9390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  e.  CC )
114 0re 9378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
115 epos 13481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
116114, 115gtneii 9478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  _e  =/=  0 )
118108, 113, 117divcld 10099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  e.  CC )
119104nnnn0d 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  NN0 )
120118, 119expcld 12000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
121110, 120mulcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
12290rpne0d 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =/=  0 )
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  =/=  0 )
124104nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  =/=  0 )
125108, 113, 124, 117divne0d 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  _e )  =/=  0 )
126104nnzd 10738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  N  e.  ZZ )
127118, 125, 126expne0d 12006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
128110, 120, 123, 127mulne0d 9980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
129106, 121, 128divcld 10099 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  CC )
13095, 103, 104, 129fvmptd 5774 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( A `  N
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
13194, 130mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
132 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
133 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )
134 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
135 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
136135fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
137 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
138 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
139137, 138oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )
140136, 139oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
141134, 140oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
142132, 133, 141cbvmpt 4377 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) ) )
14354, 142eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `  k )  /  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) ) )
14577fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( N  +  1 ) ) )
14677oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
147146fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  k ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14877oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( k  /  _e )  =  (
( N  +  1 )  /  _e ) )
149148, 77oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( k  /  _e ) ^
k )  =  ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
150147, 149oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
151145, 150oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
15221nnnn0d 10628 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
153 faccl 12053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
154 nnrp 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
155152, 153, 1543syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
15631, 4rpmulcld 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
157156rpsqrcld 12890 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
1584, 12rpdivcld 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
1598peano2zd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
160158, 159rpexpcld 12023 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR+ )
161157, 160rpmulcld 11035 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
162155, 161rpdivcld 11036 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
163144, 151, 21, 162fvmptd 5774 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
164131, 163oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
165 facp1 12048 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1662, 165syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
167166oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
168161rpcnd 11021 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
169161rpne0d 11024 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
170105, 22, 168, 169divassd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
171167, 170eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
172171oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
17393rpcnd 11021 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  e.  CC )
17422, 168, 169divcld 10099 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
175105, 174mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
17693rpne0d 11024 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =/=  0 )
17788rpne0d 11024 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
17822, 168, 26, 169divne0d 10115 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) )  =/=  0 )
179105, 174, 177, 178mulne0d 9980 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =/=  0
)
180105, 173, 175, 176, 179divdiv32d 10124 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
181105, 105, 174, 177, 178divdiv1d 10130 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
182181eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) ) )
183182oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
184105, 177dividd 10097 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 N ) )  =  1 )
185184oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  ( ! `  N )
)  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
186185oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  N
) )  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( N  +  1 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
18722, 168, 26, 169recdivd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
188187oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
189168, 22, 26divcld 10099 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
19090rpcnd 11021 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
19192rpcnd 11021 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  e.  CC )
19292rpne0d 11024 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =/=  0 )
193189, 190, 191, 122, 192divdiv1d 10130 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
194168, 22, 190, 26, 122divdiv32d 10124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) ) )
195157rpcnd 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
196160rpcnd 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
197195, 196, 190, 122div23d 10136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
19831rpred 11019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
19931rpge0d 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
20021nnred 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
201152nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  +  1 ) )
202198, 199, 200, 201sqrmuld 12903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) ) )
203198, 199, 1, 3sqrmuld 12903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) )
204202, 203oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
20529sqrcld 12915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
20622sqrcld 12915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
20723sqrcld 12915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  CC )
20831rpsqrcld 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
209208rpne0d 11024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
2105rpsqrcld 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  e.  RR+ )
211210rpne0d 11024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  N )  =/=  0 )
212205, 205, 206, 207, 209, 211divmuldivd 10140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( N  +  1 ) ) )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  N ) ) ) )
213205, 209dividd 10097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  =  1 )
214200, 201, 5sqrdivd 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )
215214eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
216213, 215oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  2
)  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( ( sqr `  ( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
217204, 212, 2163eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
218217oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
21925sqrcld 12915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
220219mulid2d 9396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  =  ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
221220oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
222197, 218, 2213eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
223222oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
224194, 223eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
225224oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  (
( N  /  _e ) ^ N ) ) )
226193, 225eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )
227219, 196mulcld 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
228227, 22, 191, 26, 192divdiv32d 10124 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
229219, 196, 191, 192divassd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) ) )
23012rpcnd 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23112rpne0d 11024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
23222, 230, 231, 152expdivd 12014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) ) )
23323, 230, 231, 2expdivd 12014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  _e ) ^ N )  =  ( ( N ^ N )  /  (
_e ^ N ) ) )
234232, 233oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( _e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ N
)  /  ( _e
^ N ) ) ) )
235234oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) ) )
23622, 152expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
237230, 152expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
23823, 2expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  e.  CC )
239230, 2expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  e.  CC )
240230, 231, 159expne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
241230, 231, 8expne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ N )  =/=  0 )
24223, 24, 8expne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ N )  =/=  0 )
243236, 237, 238, 239, 240, 241, 242divdivdivd 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e ^ N ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
244236, 239mulcomd 9399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( _e
^ N ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) ) ) )
245244oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
_e ^ N ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
246239, 237, 236, 238, 240, 242divmuldivd 10140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( _e ^ N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( ( _e ^
( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) ) )
247230, 2expp1d 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
_e ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( _e
^ N )  x.  _e ) )
248247oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
249239, 239, 230, 241, 231divdiv1d 10130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( ( _e
^ N )  / 
( ( _e ^ N )  x.  _e ) ) )
250239, 241dividd 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ N ) )  =  1 )
251250oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ N ) )  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
252248, 249, 2513eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( _e ^ N
)  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
253252oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
254246, 253eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( _e ^ N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( _e ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
255243, 245, 2543eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  (
_e ^ ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  /  ( _e ^ N ) ) )  =  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )
256255oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( _e
^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N ^ N )  / 
( _e ^ N
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) ) )
257229, 235, 2563eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
258257oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( N  /  _e ) ^ N ) )  / 
( N  +  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
259236, 238, 242divcld 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  e.  CC )
26036, 230, 259, 231div32d 10122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) )  /  _e ) ) )
261259, 230, 231divcld 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e )  e.  CC )
262261mulid2d 9396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
263260, 262eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) )
264263oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
265230, 231reccld 10092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  e.  CC )
266265, 259mulcld 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  _e )  x.  ( (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  e.  CC )
267219, 266, 22, 26div23d 10136 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) ) )
268219, 22, 26divcld 10099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
269268, 259, 230, 231divassd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  _e ) ) )
270264, 267, 2693eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( 1  /  _e )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
271228, 258, 2703eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( N  /  _e ) ^ N ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
272188, 226, 2713eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  _e ) ^
( N  +  1 ) ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
273183, 186, 2723eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  /  _e ) )
274172, 180, 2733eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( N  /  _e ) ^ N ) ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  _e ) ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e ) )
275219, 22, 259, 26div32d 10122 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) ) )
27622, 2expp1d 12001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
277276oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) ) )
27822, 2expcld 12000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 ) ^ N )  e.  CC )
279278, 22, 26divcan4d 10105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^ N )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
280277, 279eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 ) ^ N ) )
281280oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
282236, 238, 22, 242, 26divdiv32d 10124 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )
28322, 23, 24, 2expdivd 12014 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ N )  / 
( N ^ N
) ) )
284281, 282, 2833eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 ) ^
( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N
) )
285284oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( ( N  + 
1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) ) )
286275, 285eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ N
) ) )  =  ( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) ) )
287286oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  /  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ N ) ) )  /  _e )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  /  N
) ^ N ) )  /  _e ) )
288164, 274, 2873eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A `  N
)  /  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) )
289288fveq2d 5690 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( A `
 N )  / 
( A `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29084, 85, 2893eqtr2d 2476 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( log `  (
( ( sqr `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  /  N ) ^ N ) )  /  _e ) ) )
29136, 44addcld 9397 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
292291halfcld 10561 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  e.  CC )
293292, 28mulcld 9398 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  e.  CC )
294293, 36subcld 9711 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
295 stirlinglem4.3 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
296295a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) ) )
297 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  n  =  N )
298297oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  N
) )
299298oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( 1  +  ( 2  x.  N ) ) )
300299oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
) )
301297oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( n  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
302301, 297oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
n  +  1 )  /  n )  =  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )
303302fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  =  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )
304300, 303oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) ) )
305304oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  /\  n  =  N )  ->  ( (
( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
306 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
307 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )
308296, 305, 306, 307fvmptd 5774 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
309294, 308mpdan 668 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( J `  N )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  1 ) )
31053, 290, 3093eqtr4d 2480 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( J `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   RR+crp 10983   ^cexp 11857   !cfa 12043   sqrcsqr 12714   _eceu 13340   logclog 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984
This theorem is referenced by:  stirlinglem9  29830
  Copyright terms: Public domain W3C validator