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Theorem stirlinglem15 31388
 Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 31389 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1
stirlinglem15.2
stirlinglem15.3
stirlinglem15.4
stirlinglem15.5
stirlinglem15.6
stirlinglem15.7
stirlinglem15.8
stirlinglem15.9
stirlinglem15.10
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3
2 nnnn0 10798 . . . . . . 7
32adantl 466 . . . . . 6
4 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10
5 pire 22585 . . . . . . . . . . . 12
65recni 9604 . . . . . . . . . . 11
76a1i 11 . . . . . . . . . 10
84, 7mulcld 9612 . . . . . . . . 9
9 nncn 10540 . . . . . . . . . 10
109adantl 466 . . . . . . . . 9
118, 10mulcld 9612 . . . . . . . 8
1211sqrtcld 13227 . . . . . . 7
13 ere 13682 . . . . . . . . . . . 12
1413recni 9604 . . . . . . . . . . 11
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10
16 epos 13797 . . . . . . . . . . . 12
1713, 16gt0ne0ii 10085 . . . . . . . . . . 11
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10
199, 15, 18divcld 10316 . . . . . . . . 9
2019, 2expcld 12274 . . . . . . . 8
2120adantl 466 . . . . . . 7
2212, 21mulcld 9612 . . . . . 6
23 stirlinglem15.2 . . . . . . 7
2423fvmpt2 5955 . . . . . 6
253, 22, 24syl2anc 661 . . . . 5
2625oveq2d 6298 . . . 4
277sqrtcld 13227 . . . . . . . 8
28 2cnd 10604 . . . . . . . . . . 11
2928, 9mulcld 9612 . . . . . . . . . 10
3029sqrtcld 13227 . . . . . . . . 9
3130adantl 466 . . . . . . . 8
3227, 31, 21mulassd 9615 . . . . . . 7
33 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3836, 37nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4139, 40nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 1z 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5048, 49nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 faccl 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
522, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 2rp 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
56 nnrp 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5755, 56rpmulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857rpsqrtcld 13202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59 epr 13798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6156, 60rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6361, 62rpexpcld 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6458, 63rpmulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6553, 64rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6645, 65fmpti 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71 2nn 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7472, 73nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7570, 74ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7648fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7775, 76mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877, 75eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
821, 47, 50, 48, 67, 33, 68, 69, 79, 80, 81stirlinglem8 31381 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 nnex 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483mptex 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8539, 84eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
89 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9036, 87, 88, 89stirlinglem1 31374 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
9252nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9330, 20mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9457sqrtgt0d 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9594gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
96 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
979, 15, 96, 18divne0d 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9819, 97, 62expne0d 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9930, 20, 95, 98mulne0d 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10092, 93, 99divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10145fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102100, 101mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103102, 100eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104 4nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106103, 105expcld 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10778rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108107sqcld 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10978rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110 2z 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112107, 109, 111expne0d 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113106, 108, 112divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11433fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115113, 114mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115, 113eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
1189sqcld 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12129, 120addcld 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1229, 121mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12374nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
124 1re 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12674nngt0d 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127 0lt1 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129123, 125, 126, 128addgt0d 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130129gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1319, 121, 96, 130mulne0d 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132118, 122, 131divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13336fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134132, 133mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134, 132eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
137113, 132mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13945, 48, 138, 39stirlinglem3 31376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140139fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141137, 140mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142115, 134oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143141, 142eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
1451, 35, 38, 41, 42, 44, 82, 86, 91, 117, 136, 144climmulf 31146 . . . . . . . . . . . . . 14
14639wallispi2 31373 . . . . . . . . . . . . . 14
147 climuni 13334 . . . . . . . . . . . . . 14
148145, 146, 147sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
149148oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12
15080rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14
151150sqcld 12272 . . . . . . . . . . . . 13
152119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
153152halfcld 10779 . . . . . . . . . . . . 13
154 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . 14
155 2pos 10623 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
157156gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . . 14
158154, 157recne0d 10310 . . . . . . . . . . . . 13
159151, 153, 158divcan4d 10322 . . . . . . . . . . . 12
1606a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
161127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . . 14
163160, 152, 154, 162, 157divcan7d 10344 . . . . . . . . . . . . 13
164160div1d 10308 . . . . . . . . . . . . 13
165163, 164eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
166149, 159, 1653eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . 11
167166fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10
16880rprege0d 11259 . . . . . . . . . . 11
169 sqrtsq 13062 . . . . . . . . . . 11
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10
171167, 170eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9
172171adantr 465 . . . . . . . 8
173172oveq1d 6297 . . . . . . 7
174150adantr 465 . . . . . . . 8
17593adantl 466 . . . . . . . 8
176174, 175mulcomd 9613 . . . . . . 7
17732, 173, 1763eqtrd 2512 . . . . . 6
178177oveq2d 6298 . . . . 5
179 2re 10601 . . . . . . . . . . 11
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10
1815a1i 11 . . . . . . . . . 10
182180, 181remulcld 9620 . . . . . . . . 9
183 0le2 10622 . . . . . . . . . . 11
184183a1i 11 . . . . . . . . . 10
185 0re 9592 . . . . . . . . . . . 12
186 pipos 22587 . . . . . . . . . . . 12
187185, 5, 186ltleii 9703 . . . . . . . . . . 11
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10
189180, 181, 184, 188mulge0d 10125 . . . . . . . . 9
1903nn0red 10849 . . . . . . . . 9
1913nn0ge0d 10851 . . . . . . . . 9
192182, 189, 190, 191sqrtmuld 13215 . . . . . . . 8
193180, 184, 181, 188sqrtmuld 13215 . . . . . . . . . 10
194193oveq1d 6297 . . . . . . . . 9
1954sqrtcld 13227 . . . . . . . . . 10
19610sqrtcld 13227 . . . . . . . . . 10
197195, 27, 196mulassd 9615 . . . . . . . . 9
198195, 27, 196mul12d 9784 . . . . . . . . . 10
199180, 184, 190, 191sqrtmuld 13215 . . . . . . . . . . . 12
200199eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
201200oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10
202198, 201eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
203194, 197, 2023eqtrd 2512 . . . . . . . 8
204192, 203eqtrd 2508 . . . . . . 7
205204oveq1d 6297 . . . . . 6
206205oveq2d 6298 . . . . 5
20792adantl 466 . . . . . 6
20895adantl 466 . . . . . . 7
20914a1i 11 . . . . . . . . 9
21017a1i 11 . . . . . . . . 9
21110, 209, 210divcld 10316 . . . . . . . 8
21296adantl 466 . . . . . . . . 9
21310, 209, 212, 210divne0d 10332 . . . . . . . 8
21462adantl 466 . . . . . . . 8
215211, 213, 214expne0d 12280 . . . . . . 7
21631, 21, 208, 215mulne0d 10197 . . . . . 6
21780rpne0d 11257 . . . . . . 7
218217adantr 465 . . . . . 6
219207, 175, 174, 216, 218divdiv1d 10347 . . . . 5
220178, 206, 2193eqtr4d 2518 . . . 4
221100ancli 551 . . . . . . . 8
222221adantl 466 . . . . . . 7
223222, 101syl 16 . . . . . 6
224223eqcomd 2475 . . . . 5
225224oveq1d 6297 . . . 4
22626, 220, 2253eqtrd 2512 . . 3
2271, 226mpteq2da 4532 . 2
228103adantl 466 . . . . 5
229228, 174, 218divrec2d 10320 . . . 4
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