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Theorem stirlinglem15 38062
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 38063 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1  |-  F/ n ph
stirlinglem15.2  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem15.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem15.5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.6  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem15.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem15.8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem15.9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem15.10  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Distinct variable group:    C, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    D( n)    S( n)    E( n)    F( n)    H( n)    V( n)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 nnnn0 10900 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5 picn 23493 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
74, 6mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
8 nncn 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
98adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
107, 9mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  CC )
1110sqrtcld 13576 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  e.  CC )
12 ere 14220 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
1312recni 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
15 epos 14336 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
1612, 15gt0ne0ii 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  =/=  0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
188, 14, 17divcld 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
1918, 2expcld 12454 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2019adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2111, 20mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
22 stirlinglem15.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2322fvmpt2 5972 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
243, 21, 23syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2524oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
266sqrtcld 13576 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  e.  CC )
27 2cnd 10704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
2827, 8mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
2928sqrtcld 13576 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
3029adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  e.  CC )
3126, 30, 20mulassd 9684 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
33 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
3432, 33nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n F
35 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
36 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
3735, 36nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n H
38 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
39 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
4038, 39nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n V
41 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
43 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
44 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4543, 44nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n A
46 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
47 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
4846, 47nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n D
49 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
502, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
5150nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
52 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR+
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
54 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5553, 54rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
5655rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
57 epr 14337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR+
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5954, 58rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
60 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6159, 60rpexpcld 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
6256, 61rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
6351, 62rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
6443, 63fmpti 6060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A : NN
--> RR+
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 n ) ^
4 ) )
67 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
6864a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  A : NN --> RR+ )
69 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
7270, 71nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
7368, 72ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7446fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7573, 74mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7675, 73eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  RR+ )
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
78 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
79 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
801, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79stirlinglem8 38055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
81 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  e.  _V
8281mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
8338, 82eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
87 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
8835, 85, 86, 87stirlinglem1 38048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  / 
2 ) )
9050nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
9129, 19mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
9255sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
9392gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
94 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
958, 14, 94, 17divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
9618, 95, 60expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
9729, 19, 93, 96mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
9890, 91, 97divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
9943fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
10098, 99mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
101100, 98eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
102 4nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  NN0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
104101, 103expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
10576rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
106105sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
10776rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
108 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
110105, 107, 109expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
111104, 106, 110divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11232fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
113111, 112mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
114113, 111eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  e.  CC )
115114adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
1168sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
117 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
11828, 117addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
1198, 118mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
12072nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
121 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12272nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
123 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
125120, 121, 122, 124addgt0d 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
126125gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
1278, 118, 94, 126mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
128116, 119, 127divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
12935fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
130128, 129mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
131130, 128eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  e.  CC )
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  e.  CC )
133111, 128mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
134 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13543, 46, 134, 38stirlinglem3 38050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
136135fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
137133, 136mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
138113, 130oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  x.  ( H `
 n ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
139137, 138eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( V `
 n )  =  ( ( F `  n )  x.  ( H `  n )
) )
1411, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140climmulf 37779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
14238wallispi2 38047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
143 climuni 13693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /\  V  ~~>  ( pi  /  2
) )  ->  (
( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
144141, 142, 143sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
145144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( pi  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
14678rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
147146sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
148 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
149148halfcld 10880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
150 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
151 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
153152gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
154150, 153recne0d 10399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
155147, 149, 154divcan4d 10411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
1565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
157123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
158157gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
159156, 148, 150, 158, 153divcan7d 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  1 ) )
160156div1d 10397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  1
)  =  pi )
161159, 160eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  pi )
162145, 155, 1613eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  pi )
163162fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  ( sqr `  pi ) )
16478rprege0d 11371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
165 sqrtsq 13410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
167163, 166eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
168167adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
169168oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
170146adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
17191adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
172170, 171mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
17331, 169, 1723eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
174173oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) ) )
175 2re 10701 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
177 pire 23492 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
179176, 178remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
180 0le2 10722 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
2 )
182 0re 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
183 pipos 23494 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
184182, 177, 183ltleii 9775 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  pi )
186176, 178, 181, 185mulge0d 10211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 2  x.  pi ) )
1873nn0red 10950 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1883nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  n )
189179, 186, 187, 188sqrtmuld 13563 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
190176, 181, 178, 185sqrtmuld 13563 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) ) )
191190oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) ) )
1924sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
1939sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
194192, 26, 193mulassd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
195192, 26, 193mul12d 9860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
196176, 181, 187, 188sqrtmuld 13563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  n ) ) )
197196eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )
198197oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
199195, 198eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
200191, 194, 1993eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
201189, 200eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
202201oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
203202oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
20490adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `
 n )  e.  CC )
20593adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =/=  0
)
20613a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  e.  CC )
20716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  =/=  0 )
2089, 206, 207divcld 10405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  e.  CC )
20994adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
2109, 206, 209, 207divne0d 10421 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  =/=  0 )
21160adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
212208, 210, 211expne0d 12460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
21330, 20, 205, 212mulne0d 10286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =/=  0 )
21478rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
215214adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
216204, 171, 170, 213, 215divdiv1d 10436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) ) )
217174, 203, 2163eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C ) )
21898ancli 560 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
219218adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC ) )
220219, 99syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
221220eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( A `
 n ) )
222221oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
22325, 217, 2223eqtrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
2241, 223mpteq2da 4481 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n
)  /  C ) ) )
225101adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
226225, 170, 215divrec2d 10409 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  /  C )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )
2271, 226mpteq2da 4481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) )
228146, 214reccld 10398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
22981mptex 6152 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  e.  _V
230229a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  e.  _V )
23143a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
232 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
233232fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
234232oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
235234fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
236232oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
237236, 232oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
238235, 237oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
239233, 238oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
240 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
241 nnnn0 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
242 faccl 12507 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
243 nncn 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
244241, 242, 2433syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
245 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
246 nncn 10639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
247245, 246mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
248247sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
24913a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
25016a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
251246, 249, 250divcld 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
252251, 241expcld 12454 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
253248, 252mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
25452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
255 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
256254, 255rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
257256sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
258257gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
259 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
260246, 249, 259, 250divne0d 10421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
261 nnz 10983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
262251, 260, 261expne0d 12460 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
263248, 252, 258, 262mulne0d 10286 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
264244, 253, 263divcld 10405 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
265231, 239, 240, 264fvmptd 5969 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
266265, 264eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
267266adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
268 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
)
269 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
270 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  /
271 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n C
272269, 270, 271nfov 6334 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1  /  C
)
273 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
274 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
k
27545, 274nffv 5886 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
276272, 273, 275nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)
277 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
278277oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
279268, 276, 278cbvmpt 4487 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
280279a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) ) )
281280fveq1d 5881 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k ) )
282 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
283146adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
284214adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
285283, 284reccld 10398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  C )  e.  CC )
286285, 267mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) )  e.  CC )
287 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
288287fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
) )
289282, 286, 288syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
290281, 289eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
29141, 42, 79, 228, 230, 267, 290climmulc2 13777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  ( ( 1  /  C )  x.  C ) )
292146, 214recid2d 10401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  C )  x.  C
)  =  1 )
293291, 292breqtrd 4420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  1 )
294227, 293eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  ~~>  1 )
295224, 294eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   4c4 10683   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ^cexp 12310   !cfa 12497   sqrcsqrt 13373    ~~> cli 13625   _eceu 14192   picpi 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
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