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Theorem stirlinglem15 30024
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 30025 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1  |-  F/ n ph
stirlinglem15.2  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem15.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem15.5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.6  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem15.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem15.8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem15.9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem15.10  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Distinct variable group:    C, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    D( n)    S( n)    E( n)    F( n)    H( n)    V( n)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 nnnn0 10690 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 2cnd 10498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5 pire 22047 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
65recni 9502 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
84, 7mulcld 9510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
9 nncn 10434 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
109adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
118, 10mulcld 9510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  CC )
1211sqrcld 13034 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  e.  CC )
13 ere 13485 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
1413recni 9502 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
16 epos 13600 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
1713, 16gt0ne0ii 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
199, 15, 18divcld 10211 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2019, 2expcld 12118 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2212, 21mulcld 9510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
23 stirlinglem15.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2423fvmpt2 5883 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
253, 22, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2625oveq2d 6209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
277sqrcld 13034 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  e.  CC )
28 2cnd 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
2928, 9mulcld 9510 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
3029sqrcld 13034 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
3130adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  e.  CC )
3227, 31, 21mulassd 9513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
33 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
34 nfmpt1 4482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
3533, 34nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n F
36 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
37 nfmpt1 4482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
3836, 37nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n H
39 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
40 nfmpt1 4482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
4139, 40nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n V
42 nnuz 11000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1z 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
45 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
46 nfmpt1 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4745, 46nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n A
48 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
49 nfmpt1 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
5048, 49nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n D
51 faccl 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
522, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
5352nnrpd 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
54 2rp 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
56 nnrp 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5755, 56rpmulcld 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
5857rpsqrcld 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
59 epr 13601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
6156, 60rpdivcld 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
62 nnz 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6361, 62rpexpcld 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
6458, 63rpmulcld 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
6553, 64rpdivcld 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
6645, 65fmpti 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A : NN
--> RR+
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
68 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 n ) ^
4 ) )
69 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
7066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  A : NN --> RR+ )
71 2nn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
7472, 73nnmulcld 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
7570, 74ffvelrnd 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7648fvmpt2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7775, 76mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7877, 75eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  RR+ )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
80 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
81 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
821, 47, 50, 48, 67, 33, 68, 69, 79, 80, 81stirlinglem8 30017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
83 nnex 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  e.  _V
8483mptex 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
8539, 84eqeltri 2535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
87 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
88 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
89 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
9036, 87, 88, 89stirlinglem1 30010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  / 
2 ) )
9252nncnd 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
9330, 20mulcld 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
9457sqrgt0d 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
9594gt0ne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
96 nnne0 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
979, 15, 96, 18divne0d 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
9819, 97, 62expne0d 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
9930, 20, 95, 98mulne0d 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
10092, 93, 99divcld 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
10145fvmpt2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
102100, 101mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
103102, 100eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
104 4nn0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  NN0
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
106103, 105expcld 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
10778rpcnd 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
108107sqcld 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
10978rpne0d 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
110 2z 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
112107, 109, 111expne0d 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
113106, 108, 112divcld 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11433fvmpt2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
115113, 114mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
116115, 113eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  e.  CC )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
1189sqcld 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
119 ax-1cn 9444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
12129, 120addcld 9509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
1229, 121mulcld 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
12374nnred 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
124 1re 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12674nngt0d 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
127 0lt1 9966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  1
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
129123, 125, 126, 128addgt0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
130129gt0ne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
1319, 121, 96, 130mulne0d 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
132118, 122, 131divcld 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
13336fvmpt2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
134132, 133mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
135134, 132eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  e.  CC )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  e.  CC )
137113, 132mulcld 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
138 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13945, 48, 138, 39stirlinglem3 30012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
140139fvmpt2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
141137, 140mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
142115, 134oveq12d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  x.  ( H `
 n ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
143141, 142eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( V `
 n )  =  ( ( F `  n )  x.  ( H `  n )
) )
1451, 35, 38, 41, 42, 44, 82, 86, 91, 117, 136, 144climmulf 29918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
14639wallispi2 30009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
147 climuni 13141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /\  V  ~~>  ( pi  /  2
) )  ->  (
( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
148145, 146, 147sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
149148oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( pi  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
15080rpcnd 11133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
151150sqcld 12116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
152119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
153152halfcld 10673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
154 2cnd 10498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
155 2pos 10517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
157156gt0ne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
158154, 157recne0d 10205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
159151, 153, 158divcan4d 10217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
1606a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
161127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
162161gt0ne0d 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
163160, 152, 154, 162, 157divcan7d 10239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  1 ) )
164160div1d 10203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  1
)  =  pi )
165163, 164eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  pi )
166149, 159, 1653eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  pi )
167166fveq2d 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  ( sqr `  pi ) )
16880rprege0d 11138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
169 sqrsq 12870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
171167, 170eqtr3d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
172171adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
173172oveq1d 6208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
174150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
17593adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
176174, 175mulcomd 9511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
17732, 173, 1763eqtrd 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
178177oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) ) )
179 2re 10495 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
1815a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
182180, 181remulcld 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
183 0le2 10516 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
184183a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
2 )
185 0re 9490 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
186 pipos 22049 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
187185, 5, 186ltleii 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  pi )
189180, 181, 184, 188mulge0d 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 2  x.  pi ) )
1903nn0red 10741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1913nn0ge0d 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  n )
192182, 189, 190, 191sqrmuld 13022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
193180, 184, 181, 188sqrmuld 13022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) ) )
194193oveq1d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) ) )
1954sqrcld 13034 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
19610sqrcld 13034 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
197195, 27, 196mulassd 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
198195, 27, 196mul12d 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
199180, 184, 190, 191sqrmuld 13022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  n ) ) )
200199eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )
201200oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
202198, 201eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
203194, 197, 2023eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
204192, 203eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
205204oveq1d 6208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
206205oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
20792adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `
 n )  e.  CC )
20895adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =/=  0
)
20914a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  e.  CC )
21017a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  =/=  0 )
21110, 209, 210divcld 10211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  e.  CC )
21296adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
21310, 209, 212, 210divne0d 10227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  =/=  0 )
21462adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
215211, 213, 214expne0d 12124 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
21631, 21, 208, 215mulne0d 10092 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =/=  0 )
21780rpne0d 11136 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
218217adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
219207, 175, 174, 216, 218divdiv1d 10242 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) ) )
220178, 206, 2193eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C ) )
221100ancli 551 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
222221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC ) )
223222, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
224223eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( A `
 n ) )
225224oveq1d 6208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
22626, 220, 2253eqtrd 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
2271, 226mpteq2da 4478 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n
)  /  C ) ) )
228103adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
229228, 174, 218divrec2d 10215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  /  C )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )
2301, 229mpteq2da 4478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) )
231150, 217reccld 10204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
23283mptex 6050 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  e.  _V
233232a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  e.  _V )
23445a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
235 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
236235fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
237235oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
238237fveq2d 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
239235oveq1d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
240239, 235oveq12d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
241238, 240oveq12d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
242236, 241oveq12d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
243 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
244 nnnn0 10690 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
245 faccl 12171 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
246 nncn 10434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
247244, 245, 2463syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
248 2cnd 10498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
249 nncn 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
250248, 249mulcld 9510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
251250sqrcld 13034 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
25214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
25317a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
254249, 252, 253divcld 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
255254, 244expcld 12118 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
256251, 255mulcld 9510 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
25754a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
258 nnrp 11104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
259257, 258rpmulcld 11147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
260259sqrgt0d 13010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
261260gt0ne0d 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
262 nnne0 10458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
263249, 252, 262, 253divne0d 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
264 nnz 10772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
265254, 263, 264expne0d 12124 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
266251, 255, 261, 265mulne0d 10092 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
267247, 256, 266divcld 10211 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
268234, 242, 243, 267fvmptd 5881 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
269268, 267eqeltrd 2539 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
270269adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
271 nfcv 2613 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
)
272 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
273 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  /
274 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n C
275272, 273, 274nfov 6216 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1  /  C
)
276 nfcv 2613 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
277 nfcv 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
k
27847, 277nffv 5799 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
279275, 276, 278nfov 6216 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)
280 fveq2 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
281280oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
282271, 279, 281cbvmpt 4483 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
283282a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) ) )
284283fveq1d 5794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k ) )
285 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
286150adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
287217adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
288286, 287reccld 10204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  C )  e.  CC )
289288, 270mulcld 9510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) )  e.  CC )
290 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
291290fvmpt2 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
) )
292285, 289, 291syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
293284, 292eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
29442, 44, 81, 231, 233, 270, 293climmulc2 13225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  ( ( 1  /  C )  x.  C ) )
295150, 217recid2d 10207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  C )  x.  C
)  =  1 )
296294, 295breqtrd 4417 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  1 )
297230, 296eqbrtrd 4413 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  ~~>  1 )
298227, 297eqbrtrd 4413 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   2c2 10475   4c4 10477   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   RR+crp 11095   ^cexp 11975   !cfa 12161   sqrcsqr 12833    ~~> cli 13073   _eceu 13459   picpi 13463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cc 8708  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-e 13465  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226  df-itg2 21227  df-ibl 21228  df-itg 21229  df-0p 21274  df-limc 21467  df-dv 21468
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