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Theorem stirlinglem15 38062
 Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 38063 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1
stirlinglem15.2
stirlinglem15.3
stirlinglem15.4
stirlinglem15.5
stirlinglem15.6
stirlinglem15.7
stirlinglem15.8
stirlinglem15.9
stirlinglem15.10
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3
2 nnnn0 10900 . . . . . . 7
32adantl 473 . . . . . 6
4 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10
5 picn 23493 . . . . . . . . . . 11
65a1i 11 . . . . . . . . . 10
74, 6mulcld 9681 . . . . . . . . 9
8 nncn 10639 . . . . . . . . . 10
98adantl 473 . . . . . . . . 9
107, 9mulcld 9681 . . . . . . . 8
1110sqrtcld 13576 . . . . . . 7
12 ere 14220 . . . . . . . . . . . 12
1312recni 9673 . . . . . . . . . . 11
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10
15 epos 14336 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15gt0ne0ii 10171 . . . . . . . . . . 11
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10
188, 14, 17divcld 10405 . . . . . . . . 9
1918, 2expcld 12454 . . . . . . . 8
2019adantl 473 . . . . . . 7
2111, 20mulcld 9681 . . . . . 6
22 stirlinglem15.2 . . . . . . 7
2322fvmpt2 5972 . . . . . 6
243, 21, 23syl2anc 673 . . . . 5
2524oveq2d 6324 . . . 4
266sqrtcld 13576 . . . . . . . 8
27 2cnd 10704 . . . . . . . . . . 11
2827, 8mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
2928sqrtcld 13576 . . . . . . . . 9
3029adantl 473 . . . . . . . 8
3126, 30, 20mulassd 9684 . . . . . . 7
32 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3735, 36nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4543, 44nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4846, 47nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
502, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5150nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5553, 54rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5655rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57 epr 14337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5954, 58rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6159, 60rpexpcld 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6256, 61rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6351, 62rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6443, 63fmpti 6060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6864a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7270, 71nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7368, 72ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7446fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7573, 74mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675, 73eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
801, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79stirlinglem8 38055 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8338, 82eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8835, 85, 86, 87stirlinglem1 38048 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
9050nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9129, 19mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9255sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9392gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
94 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
958, 14, 94, 17divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9618, 95, 60expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9729, 19, 93, 96mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9890, 91, 97divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9943fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10098, 99mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100, 98eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 4nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104101, 103expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10576rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106105sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10776rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110105, 107, 109expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111104, 106, 110divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11232fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113111, 112mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113, 111eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
1168sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11828, 117addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1198, 118mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12072nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
121 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12272nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
123 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125120, 121, 122, 124addgt0d 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126125gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1278, 118, 94, 126mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128116, 119, 127divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12935fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130128, 129mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131130, 128eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
133111, 128mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13543, 46, 134, 38stirlinglem3 38050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136135fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137133, 136mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138113, 130oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139137, 138eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
1411, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140climmulf 37779 . . . . . . . . . . . . . 14
14238wallispi2 38047 . . . . . . . . . . . . . 14
143 climuni 13693 . . . . . . . . . . . . . 14
144141, 142, 143sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
145144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
14678rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . 14
147146sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13
148 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14
149148halfcld 10880 . . . . . . . . . . . . 13
150 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14
151 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
153152gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . 14
154150, 153recne0d 10399 . . . . . . . . . . . . 13
155147, 149, 154divcan4d 10411 . . . . . . . . . . . 12
1565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
157123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . 14
159156, 148, 150, 158, 153divcan7d 10433 . . . . . . . . . . . . 13
160156div1d 10397 . . . . . . . . . . . . 13
161159, 160eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
162145, 155, 1613eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11
163162fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
16478rprege0d 11371 . . . . . . . . . . 11
165 sqrtsq 13410 . . . . . . . . . . 11
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10
167163, 166eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9
168167adantr 472 . . . . . . . 8
169168oveq1d 6323 . . . . . . 7
170146adantr 472 . . . . . . . 8
17191adantl 473 . . . . . . . 8
172170, 171mulcomd 9682 . . . . . . 7
17331, 169, 1723eqtrd 2509 . . . . . 6
174173oveq2d 6324 . . . . 5
175 2re 10701 . . . . . . . . . . 11
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10
177 pire 23492 . . . . . . . . . . 11
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10
179176, 178remulcld 9689 . . . . . . . . 9
180 0le2 10722 . . . . . . . . . . 11
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10
182 0re 9661 . . . . . . . . . . . 12
183 pipos 23494 . . . . . . . . . . . 12
184182, 177, 183ltleii 9775 . . . . . . . . . . 11
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10
186176, 178, 181, 185mulge0d 10211 . . . . . . . . 9
1873nn0red 10950 . . . . . . . . 9
1883nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9
189179, 186, 187, 188sqrtmuld 13563 . . . . . . . 8
190176, 181, 178, 185sqrtmuld 13563 . . . . . . . . . 10
191190oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
1924sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10
1939sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10
194192, 26, 193mulassd 9684 . . . . . . . . 9
195192, 26, 193mul12d 9860 . . . . . . . . . 10
196176, 181, 187, 188sqrtmuld 13563 . . . . . . . . . . . 12
197196eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
198197oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
199195, 198eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
200191, 194, 1993eqtrd 2509 . . . . . . . 8
201189, 200eqtrd 2505 . . . . . . 7
202201oveq1d 6323 . . . . . 6
203202oveq2d 6324 . . . . 5
20490adantl 473 . . . . . 6
20593adantl 473 . . . . . . 7
20613a1i 11 . . . . . . . . 9
20716a1i 11 . . . . . . . . 9
2089, 206, 207divcld 10405 . . . . . . . 8
20994adantl 473 . . . . . . . . 9
2109, 206, 209, 207divne0d 10421 . . . . . . . 8
21160adantl 473 . . . . . . . 8
212208, 210, 211expne0d 12460 . . . . . . 7
21330, 20, 205, 212mulne0d 10286 . . . . . 6
21478rpne0d 11369 . . . . . . 7
215214adantr 472 . . . . . 6
216204, 171, 170, 213, 215divdiv1d 10436 . . . . 5
217174, 203, 2163eqtr4d 2515 . . . 4
21898ancli 560 . . . . . . . 8
219218adantl 473 . . . . . . 7
220219, 99syl 17 . . . . . 6
221220eqcomd 2477 . . . . 5
222221oveq1d 6323 . . . 4
22325, 217, 2223eqtrd 2509 . . 3
2241, 223mpteq2da 4481 . 2
225101adantl 473 . . . . 5
226225, 170, 215divrec2d 10409 . . . 4
2271, 226mpteq2da 4481 . . 3
228146, 214reccld 10398 . . . . 5
22981mptex 6152 . . . . . 6
230229a1i 11 . . . . 5
23143a1i 11 . . . . . . . 8
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