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Theorem stirlinglem15 29836
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 29837 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1  |-  F/ n ph
stirlinglem15.2  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem15.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem15.5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.6  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem15.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem15.8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem15.9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem15.10  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Distinct variable group:    C, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    D( n)    S( n)    E( n)    F( n)    H( n)    V( n)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 nnnn0 10578 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 2cnd 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5 pire 21896 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
65recni 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
84, 7mulcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
9 nncn 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
109adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
118, 10mulcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  CC )
1211sqrcld 12915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  e.  CC )
13 ere 13366 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
1413recni 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
16 epos 13481 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
1713, 16gt0ne0ii 9868 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
199, 15, 18divcld 10099 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2019, 2expcld 12000 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2212, 21mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
23 stirlinglem15.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2423fvmpt2 5776 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
253, 22, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2625oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
277sqrcld 12915 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  e.  CC )
28 2cnd 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
2928, 9mulcld 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
3029sqrcld 12915 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
3130adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  e.  CC )
3227, 31, 21mulassd 9401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
33 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
34 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
3533, 34nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n F
36 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
37 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
3836, 37nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n H
39 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
40 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
4139, 40nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n V
42 nnuz 10888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1z 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
45 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
46 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4745, 46nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n A
48 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
49 nfmpt1 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
5048, 49nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n D
51 faccl 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
522, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
5352nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
54 2rp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
56 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5755, 56rpmulcld 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
5857rpsqrcld 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
59 epr 13482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR+
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
6156, 60rpdivcld 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
62 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6361, 62rpexpcld 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
6458, 63rpmulcld 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
6553, 64rpdivcld 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
6645, 65fmpti 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A : NN
--> RR+
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 n ) ^
4 ) )
69 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
7066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  A : NN --> RR+ )
71 2nn 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
7472, 73nnmulcld 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
7570, 74ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7648fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7775, 76mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7877, 75eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  RR+ )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
80 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
81 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
821, 47, 50, 48, 67, 33, 68, 69, 79, 80, 81stirlinglem8 29829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
83 nnex 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  e.  _V
8483mptex 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
8539, 84eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
87 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
88 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
89 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
9036, 87, 88, 89stirlinglem1 29822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  / 
2 ) )
9252nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
9330, 20mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
9457sqrgt0d 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
9594gt0ne0d 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
96 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
979, 15, 96, 18divne0d 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
9819, 97, 62expne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
9930, 20, 95, 98mulne0d 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
10092, 93, 99divcld 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
10145fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
102100, 101mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
103102, 100eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
104 4nn0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  NN0
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
106103, 105expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
10778rpcnd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
108107sqcld 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
10978rpne0d 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
110 2z 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
112107, 109, 111expne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
113106, 108, 112divcld 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11433fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
115113, 114mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
116115, 113eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  e.  CC )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
1189sqcld 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
119 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
12129, 120addcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
1229, 121mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
12374nnred 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
124 1re 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12674nngt0d 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
127 0lt1 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  1
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
129123, 125, 126, 128addgt0d 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
130129gt0ne0d 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
1319, 121, 96, 130mulne0d 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
132118, 122, 131divcld 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
13336fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
134132, 133mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
135134, 132eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  e.  CC )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  e.  CC )
137113, 132mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
138 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13945, 48, 138, 39stirlinglem3 29824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
140139fvmpt2 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
141137, 140mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
142115, 134oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  x.  ( H `
 n ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
143141, 142eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( V `
 n )  =  ( ( F `  n )  x.  ( H `  n )
) )
1451, 35, 38, 41, 42, 44, 82, 86, 91, 117, 136, 144climmulf 29730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
14639wallispi2 29821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
147 climuni 13022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /\  V  ~~>  ( pi  /  2
) )  ->  (
( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
148145, 146, 147sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
149148oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( pi  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
15080rpcnd 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
151150sqcld 11998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
152119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
153152halfcld 10561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
154 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
155 2pos 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
157156gt0ne0d 9896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
158154, 157recne0d 10093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
159151, 153, 158divcan4d 10105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
1606a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
161127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
162161gt0ne0d 9896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
163160, 152, 154, 162, 157divcan7d 10127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  1 ) )
164160div1d 10091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  1
)  =  pi )
165163, 164eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  pi )
166149, 159, 1653eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  pi )
167166fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  ( sqr `  pi ) )
16880rprege0d 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
169 sqrsq 12751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
171167, 170eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
172171adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
173172oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
174150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
17593adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
176174, 175mulcomd 9399 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
17732, 173, 1763eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
178177oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) ) )
179 2re 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
1815a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
182180, 181remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
183 0le2 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
184183a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
2 )
185 0re 9378 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
186 pipos 21898 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
187185, 5, 186ltleii 9489 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
188187a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  pi )
189180, 181, 184, 188mulge0d 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 2  x.  pi ) )
1903nn0red 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1913nn0ge0d 10631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  n )
192182, 189, 190, 191sqrmuld 12903 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
193180, 184, 181, 188sqrmuld 12903 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) ) )
194193oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) ) )
1954sqrcld 12915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
19610sqrcld 12915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
197195, 27, 196mulassd 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
198195, 27, 196mul12d 9570 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
199180, 184, 190, 191sqrmuld 12903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  n ) ) )
200199eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )
201200oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
202198, 201eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
203194, 197, 2023eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
204192, 203eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
205204oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
206205oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
20792adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `
 n )  e.  CC )
20895adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =/=  0
)
20914a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  e.  CC )
21017a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  =/=  0 )
21110, 209, 210divcld 10099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  e.  CC )
21296adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
21310, 209, 212, 210divne0d 10115 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  =/=  0 )
21462adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
215211, 213, 214expne0d 12006 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
21631, 21, 208, 215mulne0d 9980 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =/=  0 )
21780rpne0d 11024 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
218217adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
219207, 175, 174, 216, 218divdiv1d 10130 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) ) )
220178, 206, 2193eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C ) )
221100ancli 551 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
222221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC ) )
223222, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
224223eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( A `
 n ) )
225224oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
22626, 220, 2253eqtrd 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
2271, 226mpteq2da 4372 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n
)  /  C ) ) )
228103adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
229228, 174, 218divrec2d 10103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  /  C )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )
2301, 229mpteq2da 4372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) )
231150, 217reccld 10092 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
23283mptex 5943 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  e.  _V
233232a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  e.  _V )
23445a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
235 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
236235fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
237235oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
238237fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
239235oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
240239, 235oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
241238, 240oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
242236, 241oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
243 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
244 nnnn0 10578 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
245 faccl 12053 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
246 nncn 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
247244, 245, 2463syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
248 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
249 nncn 10322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
250248, 249mulcld 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
251250sqrcld 12915 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
25214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
25317a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
254249, 252, 253divcld 10099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
255254, 244expcld 12000 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
256251, 255mulcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
25754a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
258 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
259257, 258rpmulcld 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
260259sqrgt0d 12891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
261260gt0ne0d 9896 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
262 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
263249, 252, 262, 253divne0d 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
264 nnz 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
265254, 263, 264expne0d 12006 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
266251, 255, 261, 265mulne0d 9980 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
267247, 256, 266divcld 10099 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
268234, 242, 243, 267fvmptd 5774 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
269268, 267eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
270269adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
271 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
)
272 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
273 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  /
274 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n C
275272, 273, 274nfov 6109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1  /  C
)
276 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
277 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
k
27847, 277nffv 5693 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
279275, 276, 278nfov 6109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)
280 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
281280oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
282271, 279, 281cbvmpt 4377 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
283282a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) ) )
284283fveq1d 5688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k ) )
285 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
286150adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
287217adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
288286, 287reccld 10092 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  C )  e.  CC )
289288, 270mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) )  e.  CC )
290 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
291290fvmpt2 5776 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
) )
292285, 289, 291syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
293284, 292eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
29442, 44, 81, 231, 233, 270, 293climmulc2 13106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  ( ( 1  /  C )  x.  C ) )
295150, 217recid2d 10095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  C )  x.  C
)  =  1 )
296294, 295breqtrd 4311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  1 )
297230, 296eqbrtrd 4307 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  ~~>  1 )
298227, 297eqbrtrd 4307 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   4c4 10365   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   RR+crp 10983   ^cexp 11857   !cfa 12043   sqrcsqr 12714    ~~> cli 12954   _eceu 13340   picpi 13344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-ovol 20923  df-vol 20924  df-mbf 21074  df-itg1 21075  df-itg2 21076  df-ibl 21077  df-itg 21078  df-0p 21123  df-limc 21316  df-dv 21317
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