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Theorem stirlinglem15 37769
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 37770 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1  |-  F/ n ph
stirlinglem15.2  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem15.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem15.5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.6  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem15.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem15.8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem15.9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem15.10  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Distinct variable group:    C, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    D( n)    S( n)    E( n)    F( n)    H( n)    V( n)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 nnnn0 10876 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5 picn 23400 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
74, 6mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
8 nncn 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
98adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
107, 9mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  CC )
1110sqrtcld 13486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  e.  CC )
12 ere 14130 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
1312recni 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
15 epos 14246 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
1612, 15gt0ne0ii 10150 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  =/=  0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
188, 14, 17divcld 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
1918, 2expcld 12415 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2019adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2111, 20mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
22 stirlinglem15.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2322fvmpt2 5969 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
243, 21, 23syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2524oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
266sqrtcld 13486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  e.  CC )
27 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
2827, 8mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
2928sqrtcld 13486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
3029adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  e.  CC )
3126, 30, 20mulassd 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
33 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
3432, 33nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n F
35 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
36 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
3735, 36nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n H
38 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
39 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
4038, 39nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n V
41 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
43 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
44 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4543, 44nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n A
46 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
47 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
4846, 47nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n D
49 faccl 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
502, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
5150nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
52 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR+
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
54 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5553, 54rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
5655rpsqrtcld 13461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
57 epr 14247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR+
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5954, 58rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
60 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6159, 60rpexpcld 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
6256, 61rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
6351, 62rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
6443, 63fmpti 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A : NN
--> RR+
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
66 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 n ) ^
4 ) )
67 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
6864a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  A : NN --> RR+ )
69 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
71 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
7270, 71nnmulcld 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
7368, 72ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7446fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7573, 74mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7675, 73eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  RR+ )
7776adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
78 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
79 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
801, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79stirlinglem8 37762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
81 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  e.  _V
8281mptex 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
8338, 82eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
85 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
86 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
87 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
8835, 85, 86, 87stirlinglem1 37755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  / 
2 ) )
9050nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
9129, 19mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
9255sqrtgt0d 13462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
9392gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
94 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
958, 14, 94, 17divne0d 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
9618, 95, 60expne0d 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
9729, 19, 93, 96mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
9890, 91, 97divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
9943fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
10098, 99mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
101100, 98eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
102 4nn0 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  NN0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
104101, 103expcld 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
10576rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
106105sqcld 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
10776rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
108 2z 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
110105, 107, 109expne0d 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
111104, 106, 110divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11232fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
113111, 112mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
114113, 111eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  e.  CC )
115114adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
1168sqcld 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
117 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
11828, 117addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
1198, 118mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
12072nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
121 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12272nngt0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
123 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
125120, 121, 122, 124addgt0d 10188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
126125gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
1278, 118, 94, 126mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
128116, 119, 127divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
12935fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
130128, 129mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
131130, 128eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  e.  CC )
132131adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  e.  CC )
133111, 128mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
134 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13543, 46, 134, 38stirlinglem3 37757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
136135fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
137133, 136mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
138113, 130oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  x.  ( H `
 n ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
139137, 138eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
140139adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( V `
 n )  =  ( ( F `  n )  x.  ( H `  n )
) )
1411, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140climmulf 37501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
14238wallispi2 37754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
143 climuni 13603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /\  V  ~~>  ( pi  /  2
) )  ->  (
( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
144141, 142, 143sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
145144oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( pi  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
14678rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
147146sqcld 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
148 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
149148halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
150 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
151 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
153152gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
154150, 153recne0d 10377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
155147, 149, 154divcan4d 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
1565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
157123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
158157gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
159156, 148, 150, 158, 153divcan7d 10411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  1 ) )
160156div1d 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  1
)  =  pi )
161159, 160eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  pi )
162145, 155, 1613eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  pi )
163162fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  ( sqr `  pi ) )
16478rprege0d 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
165 sqrtsq 13321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
167163, 166eqtr3d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
168167adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
169168oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
170146adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
17191adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
172170, 171mulcomd 9664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
17331, 169, 1723eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
174173oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) ) )
175 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
177 pire 23399 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
179176, 178remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
180 0le2 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
2 )
182 0re 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
183 pipos 23401 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
184182, 177, 183ltleii 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  pi )
186176, 178, 181, 185mulge0d 10190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 2  x.  pi ) )
1873nn0red 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1883nn0ge0d 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  n )
189179, 186, 187, 188sqrtmuld 13474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
190176, 181, 178, 185sqrtmuld 13474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) ) )
191190oveq1d 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) ) )
1924sqrtcld 13486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
1939sqrtcld 13486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
194192, 26, 193mulassd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
195192, 26, 193mul12d 9842 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
196176, 181, 187, 188sqrtmuld 13474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  n ) ) )
197196eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )
198197oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
199195, 198eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
200191, 194, 1993eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
201189, 200eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
202201oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
203202oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
20490adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `
 n )  e.  CC )
20593adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =/=  0
)
20613a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  e.  CC )
20716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  =/=  0 )
2089, 206, 207divcld 10383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  e.  CC )
20994adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
2109, 206, 209, 207divne0d 10399 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  =/=  0 )
21160adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
212208, 210, 211expne0d 12421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
21330, 20, 205, 212mulne0d 10264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =/=  0 )
21478rpne0d 11346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
215214adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
216204, 171, 170, 213, 215divdiv1d 10414 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) ) )
217174, 203, 2163eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C ) )
21898ancli 553 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
219218adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC ) )
220219, 99syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
221220eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( A `
 n ) )
222221oveq1d 6316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
22325, 217, 2223eqtrd 2467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
2241, 223mpteq2da 4506 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n
)  /  C ) ) )
225101adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
226225, 170, 215divrec2d 10387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  /  C )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )
2271, 226mpteq2da 4506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) )
228146, 214reccld 10376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
22981mptex 6147 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  e.  _V
230229a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  e.  _V )
23143a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
232 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
233232fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
234232oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
235234fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
236232oveq1d 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
237236, 232oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
238235, 237oveq12d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
239233, 238oveq12d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
240 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
241 nnnn0 10876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
242 faccl 12468 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
243 nncn 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
244241, 242, 2433syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
245 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
246 nncn 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
247245, 246mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
248247sqrtcld 13486 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
24913a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
25016a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
251246, 249, 250divcld 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
252251, 241expcld 12415 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
253248, 252mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
25452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
255 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
256254, 255rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
257256sqrtgt0d 13462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
258257gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
259 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
260246, 249, 259, 250divne0d 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
261 nnz 10959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
262251, 260, 261expne0d 12421 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
263248, 252, 258, 262mulne0d 10264 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
264244, 253, 263divcld 10383 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
265231, 239, 240, 264fvmptd 5966 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
266265, 264eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
267266adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
268 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
)
269 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
270 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  /
271 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n C
272269, 270, 271nfov 6327 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1  /  C
)
273 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
274 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
k
27545, 274nffv 5884 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
276272, 273, 275nfov 6327 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)
277 fveq2 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
278277oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
279268, 276, 278cbvmpt 4512 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
280279a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) ) )
281280fveq1d 5879 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k ) )
282 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
283146adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
284214adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
285283, 284reccld 10376 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  C )  e.  CC )
286285, 267mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) )  e.  CC )
287 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
288287fvmpt2 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
) )
289282, 286, 288syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
290281, 289eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
29141, 42, 79, 228, 230, 267, 290climmulc2 13687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  ( ( 1  /  C )  x.  C ) )
292146, 214recid2d 10379 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  C )  x.  C
)  =  1 )
293291, 292breqtrd 4445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  1 )
294227, 293eqbrtrd 4441 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  ~~>  1 )
295224, 294eqbrtrd 4441 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1868    =/= wne 2618   _Vcvv 3081   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   ^cexp 12271   !cfa 12458   sqrcsqrt 13284    ~~> cli 13535   _eceu 14102   picpi 14106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-ofr 6542  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-ovol 22402  df-vol 22404  df-mbf 22563  df-itg1 22564  df-itg2 22565  df-ibl 22566  df-itg 22567  df-0p 22614  df-limc 22807  df-dv 22808
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