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Theorem stirlinglem15 27704
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 27705 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1  |-  F/ n ph
stirlinglem15.2  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem15.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem15.5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.6  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem15.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem15.8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem15.9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem15.10  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Distinct variable group:    C, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    D( n)    S( n)    E( n)    F( n)    H( n)    V( n)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 nnnn0 10184 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 2cn 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
54a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6 pire 20325 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
76recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
95, 8mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
10 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1110adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
129, 11mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  CC )
1312sqrcld 12194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  e.  CC )
14 ere 12646 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
1514recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
17 epos 12761 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
1814, 17gt0ne0ii 9519 . . . . . . . . . . 11  |-  _e  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2010, 16, 19divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2120, 2expcld 11478 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2313, 22mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
24 stirlinglem15.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2524fvmpt2 5771 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
263, 23, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2726oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
288sqrcld 12194 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  e.  CC )
294a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3029, 10mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
3130sqrcld 12194 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
3231adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  e.  CC )
3328, 32, 22mulassd 9067 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
34 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
35 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
3634, 35nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n F
37 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
38 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
3937, 38nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n H
40 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
41 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
4240, 41nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n V
43 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
44 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
46 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
47 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4846, 47nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n A
49 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
50 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
5149, 50nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n D
52 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
532, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
5453nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
55 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR+
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
57 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
5856, 57rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
5958rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
60 epr 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR+
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
6257, 61rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
63 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6462, 63rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
6559, 64rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
6654, 65rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
6746, 66fmpti 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A : NN
--> RR+
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
69 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 n ) ^
4 ) )
70 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
7167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  A : NN --> RR+ )
72 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  NN
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
74 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
7573, 74nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
7671, 75ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7749fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7876, 77mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
7978, 76eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  RR+ )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
81 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
82 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
831, 48, 51, 49, 68, 34, 69, 70, 80, 81, 82stirlinglem8 27697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
84 nnex 9962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  e.  _V
8584mptex 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
8640, 85eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  e. 
_V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
88 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
89 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
9137, 88, 89, 90stirlinglem1 27690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  / 
2 ) )
9353nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
9431, 21mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
9558sqrgt0d 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
9695gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
97 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
9810, 16, 97, 19divne0d 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
9920, 98, 63expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
10031, 21, 96, 99mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
10193, 94, 100divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
10246fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
103101, 102mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
104103, 101eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
105 4nn0 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  NN0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
107104, 106expcld 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
10879rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
109108sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
11079rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
111 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
113108, 110, 112expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
114107, 109, 113divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
11534fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
116114, 115mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
117116, 114eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  e.  CC )
118117adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
11910sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
120 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
12230, 121addcld 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
12310, 122mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
12475nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
125 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12775nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
128 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  1
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
130124, 126, 127, 129addgt0d 9557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
131130gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
13210, 122, 97, 131mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
133119, 123, 132divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
13437fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
135133, 134mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
136135, 133eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  e.  CC )
137136adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  e.  CC )
138114, 133mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
139 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
14046, 49, 139, 40stirlinglem3 27692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
141140fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
142138, 141mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
143116, 135oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  x.  ( H `
 n ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
144142, 143eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( V `
 n )  =  ( ( F `  n )  x.  ( H `  n )
) )
1461, 36, 39, 42, 43, 45, 83, 87, 92, 118, 137, 145climmulf 27597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
14740wallispi2 27689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
148 climuni 12301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /\  V  ~~>  ( pi  /  2
) )  ->  (
( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
149146, 147, 148sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
150149oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( pi  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
15181rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
152151sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
153120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
154153halfcld 10168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
1554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
156 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
158157gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
159155, 158recne0d 9740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
160152, 154, 159divcan4d 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
1617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
162128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
163162gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
164161, 153, 155, 163, 158divcan7d 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  1 ) )
165161div1d 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( pi  /  1
)  =  pi )
166164, 165eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  pi )
167150, 160, 1663eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  pi )
168167fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  ( sqr `  pi ) )
16981rprege0d 10611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
170 sqrsq 12030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
172168, 171eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
173172adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
174173oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
175151adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
17694adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
177175, 176mulcomd 9065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
17833, 174, 1773eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
179178oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) ) )
180 2re 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
1826a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
183181, 182remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
184 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
185184, 180, 156ltleii 9152 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
2 )
187 pipos 20326 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
188184, 6, 187ltleii 9152 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
189188a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  pi )
190181, 182, 186, 189mulge0d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 2  x.  pi ) )
1913nn0red 10231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
1923nn0ge0d 10233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  n )
193183, 190, 191, 192sqrmuld 12182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
194181, 186, 182, 189sqrmuld 12182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) ) )
195194oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) ) )
1965sqrcld 12194 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
19711sqrcld 12194 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
198196, 28, 197mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
199196, 28, 197mul12d 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
200181, 186, 191, 192sqrmuld 12182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  n ) ) )
201200eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )
202201oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
203199, 202eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
204195, 198, 2033eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
205193, 204eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
206205oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
207206oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
20893adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `
 n )  e.  CC )
20996adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =/=  0
)
21015a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  e.  CC )
21118a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  =/=  0 )
21211, 210, 211divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  e.  CC )
21397adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
21411, 210, 213, 211divne0d 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  =/=  0 )
21563adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
216212, 214, 215expne0d 11484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
21732, 22, 209, 216mulne0d 9630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =/=  0 )
21881rpne0d 10609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
219218adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
220208, 176, 175, 217, 219divdiv1d 9777 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) ) )
221179, 207, 2203eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C ) )
222101ancli 535 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
223222adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC ) )
224223, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
225224eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( A `
 n ) )
226225oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
22727, 221, 2263eqtrd 2440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
2281, 227mpteq2da 4254 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n
)  /  C ) ) )
229104adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
230229, 175, 219divrec2d 9750 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  /  C )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )
2311, 230mpteq2da 4254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) )
232151, 218reccld 9739 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
23384mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  e.  _V
234233a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  e.  _V )
23546a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
236 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
237236fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
238236oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
239238fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
240236oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
241240, 236oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
242239, 241oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
243237, 242oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
244 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
245 nnnn0 10184 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
246 faccl 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
247 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
248245, 246, 2473syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
2494a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
250 nncn 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
251249, 250mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
252251sqrcld 12194 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
25315a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
25418a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
255250, 253, 254divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
256255, 245expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
257252, 256mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
25855a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
259 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
260258, 259rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
261260sqrgt0d 12170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
262261gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
263 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
264250, 253, 263, 254divne0d 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
265 nnz 10259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
266255, 264, 265expne0d 11484 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
267252, 256, 262, 266mulne0d 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
268248, 257, 267divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
269235, 243, 244, 268fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
270269, 268eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
271270adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
272 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
)
273 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
274 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  /
275 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n C
276273, 274, 275nfov 6063 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1  /  C
)
277 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
278 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
k
27948, 278nffv 5694 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
280276, 277, 279nfov 6063 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)
281 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
282281oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
283272, 280, 282cbvmpt 4259 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
284283a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) ) )
285284fveq1d 5689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k ) )
286 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
287151adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
288218adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
289287, 288reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  C )  e.  CC )
290289, 271mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) )  e.  CC )
291 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
292291fvmpt2 5771 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
) )
293286, 290, 292syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
294285, 293eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
29543, 45, 82, 232, 234, 271, 294climmulc2 12385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  ( ( 1  /  C )  x.  C ) )
296151, 218recid2d 9742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  C )  x.  C
)  =  1 )
297295, 296breqtrd 4196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  1 )
298231, 297eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  ~~>  1 )
299228, 298eqbrtrd 4192 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993    ~~> cli 12233   _eceu 12620   picpi 12624
This theorem is referenced by:  stirling  27705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707
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