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Theorem stirlinglem14 30020
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 30019 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
54rpefcld 13491 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
6 nnuz 10997 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10777 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
9 efcn 22024 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11 nnnn0 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
12 faccl 12162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
13 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1411, 12, 133syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
15 2cnd 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
16 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1715, 16mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1817sqrcld 13025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
19 epr 13592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
20 rpcn 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23 0re 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
24 epos 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
2523, 24gtneii 9587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2716, 22, 26divcld 10208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2827, 11expcld 12109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2918, 28mulcld 9507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
30 2rp 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
32 nnrp 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3331, 32rpmulcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
3433sqrgt0d 13001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
3534gt0ne0d 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
36 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3716, 22, 36, 26divne0d 10224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
38 nnz 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3927, 37, 38expne0d 12115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4018, 28, 35, 39mulne0d 10089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4114, 29, 40divcld 10208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
421fvmpt2 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
4341, 42mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4443, 41eqeltrd 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
45 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4611, 12, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4714, 29, 46, 40divne0d 10224 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
4843, 47eqnetrd 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
4944, 48logcld 22138 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
502, 49fmpti 5965 . . . . . . 7  |-  B : NN
--> CC
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
52 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
534recnd 9513 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
546, 8, 10, 51, 52, 53climcncf 20592 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
559elexi 3078 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  _V
56 nnex 10429 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
5756mptex 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
582, 57eqeltri 2535 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
5955, 58coex 6629 . . . . . . . 8  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
6156mptex 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
621, 61eqeltri 2535 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  A  e.  _V )
647a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
652funmpt2 5553 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  B
66 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
67 rabid2 2994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
68 nnrp 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
6911, 12, 683syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7033rpsqrcld 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
7232, 71rpdivcld 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
7372, 38rpexpcld 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
7470, 73rpmulcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
7569, 74rpdivcld 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
7643, 75eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
77 relogcl 22143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
78 elex 3077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
7976, 77, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8067, 79mprgbir 2894 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
812dmmpt 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
8280, 81eqtr4i 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  dom  B
8366, 82syl6eleq 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
84 fvco 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
8565, 83, 84sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
8887fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
8987oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
9089fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
9187oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
9291, 87oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
9390, 92oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
9488, 93oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
95 nnnn0 10687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
96 faccl 12162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
97 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
99 2cnd 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
100 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
10199, 100mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
102101sqrcld 13025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
10321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
10425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
105100, 103, 104divcld 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
106105, 95expcld 12109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
107102, 106mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
10830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
109 nnrp 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
110108, 109rpmulcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
111110sqrgt0d 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
112111gt0ne0d 10005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
113 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
114100, 103, 113, 104divne0d 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
115 nnz 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
116105, 114, 115expne0d 12115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
117102, 106, 112, 116mulne0d 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
11898, 107, 117divcld 10208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
11986, 94, 66, 118fvmptd 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
120119, 118eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
121 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12295, 96, 1213syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12398, 107, 122, 117divne0d 10224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
124119, 123eqnetrd 2741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
125120, 124logcld 22138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
126 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
k
127 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n log
128 nfmpt1 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1291, 128nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n A
130129, 126nffv 5796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( A `  k
)
131127, 130nffv 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
132 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
133132fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
134126, 131, 133, 2fvmptf 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
135125, 134mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
136135fveq2d 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
137 eflog 22144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
138120, 124, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
13985, 136, 1383eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
140139adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1416, 60, 63, 64, 140climeq 13147 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
142141trud 1379 . . . . 5  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
14354, 142sylib 196 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
144 breq2 4394 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
145144rspcev 3169 . . . 4  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1465, 143, 145syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
147146rexlimiva 2932 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1483, 147ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   dom cdm 4938    o. ccom 4942   Fun wfun 5510   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    x. cmul 9388    / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   RR+crp 11092   ^cexp 11966   !cfa 12152   sqrcsqr 12824    ~~> cli 13064   expce 13449   _eceu 13450   -cn->ccncf 20568   logclog 22122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-e 13456  df-sin 13457  df-cos 13458  df-tan 13459  df-pi 13460  df-dvds 13638  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-ulm 21958  df-log 22124  df-cxp 22125
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