Theorem stirlinglem14 31344

Description: The sequence A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	|- E. c e. RR+ A ~~> c

Distinct variable group:   A, c

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables d k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
2		stirlinglem14.2	. . 3 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	1, 2	stirlinglem13 31343	. 2 |- E. d e. RR B ~~> d
4		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> d e. RR )
5	4	rpefcld 13692	. . . 4 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> ( exp ` d ) e. RR+ )
6		nnuz 11108	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1z 10885	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> 1 e. ZZ )
9		efcn 22567	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
11		nnnn0 10793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
12		faccl 12320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( ! ` n ) e. NN )
13		nncn 10535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) e. CC )
14	11, 12, 13	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) e. CC )
15		2cnd 10599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
16		nncn 10535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. CC )
17	15, 16	mulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. CC )
18	17	sqrcld 13219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
19		epr 13793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR+
20		rpcn 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> _e e. CC )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> _e e. CC )
23		0re 9587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
24		epos 13792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
25	23, 24	gtneii 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> _e =/= 0 )
27	16, 22, 26	divcld 10311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) e. CC )
28	27, 11	expcld 12267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) e. CC )
29	18, 28	mulcld 9607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) e. CC )
30		2rp 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> 2 e. RR+ )
32		nnrp 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
33	31, 32	rpmulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR+ )
34	33	sqrgt0d 13195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. n ) ) )
35	34	gt0ne0d 10108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) =/= 0 )
36		nnne0 10559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
37	16, 22, 36, 26	divne0d 10327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) =/= 0 )
38		nnz 10877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
39	27, 37, 38	expne0d 12273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) =/= 0 )
40	18, 28, 35, 39	mulne0d 10192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) =/= 0 )
41	14, 29, 40	divcld 10311	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. CC )
42	1	fvmpt2 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. CC ) -> ( A ` n ) = ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
43	41, 42	mpdan 668	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) = ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
44	43, 41	eqeltrd 2550	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. CC )
45		nnne0 10559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) =/= 0 )
46	11, 12, 45	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) =/= 0 )
47	14, 29, 46, 40	divne0d 10327	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) =/= 0 )
48	43, 47	eqnetrd 2755	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) =/= 0 )
49	44, 48	logcld 22681	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. CC )
50	2, 49	fmpti 6037	. . . . . . 7 |- B : NN --> CC
51	50	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> B : NN --> CC )
52		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> B ~~> d )
53	4	recnd 9613	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> d e. CC )
54	6, 8, 10, 51, 52, 53	climcncf 21134	. . . . 5 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) )
55	9	elexi 3118	. . . . . . . . 9 |- exp e. _V
56		nnex 10533	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
57	56	mptex 6124	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) e. _V
58	2, 57	eqeltri 2546	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
59	55, 58	coex 6728	. . . . . . . 8 |- ( exp o. B ) e. _V
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( exp o. B ) e. _V )
61	56	mptex 6124	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) e. _V
62	1, 61	eqeltri 2546	. . . . . . . 8 |- A e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> A e. _V )
64	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
65	2	funmpt2 5618	. . . . . . . . . 10 |- Fun B
66		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN )
67		rabid2 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V } <-> A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
68		nnrp 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) e. RR+ )
69	11, 12, 68	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) e. RR+ )
70	33	rpsqrcld 13194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
71	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> _e e. RR+ )
72	32, 71	rpdivcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) e. RR+ )
73	72, 38	rpexpcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) e. RR+ )
74	70, 73	rpmulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) e. RR+ )
75	69, 74	rpdivcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. RR+ )
76	43, 75	eqeltrd 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
77		relogcl 22686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ` n ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
78		elex 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
79	76, 77, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
80	67, 79	mprgbir 2823	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V }
81	2	dmmpt 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- dom B = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V }
82	80, 81	eqtr4i 2494	. . . . . . . . . . 11 |- NN = dom B
83	66, 82	syl6eleq 2560	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. dom B )
84		fvco 5936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun B /\ k e. dom B ) -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( exp ` ( B ` k ) ) )
85	65, 83, 84	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( exp ` ( B ` k ) ) )
86	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
87		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
88	87	fveq2d 5863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
89	87	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
90	89	fveq2d 5863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. k ) ) )
91	87	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n / _e ) = ( k / _e ) )
92	91, 87	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( k / _e ) ^ k ) )
93	90, 92	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) )
94	88, 93	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) )
95		nnnn0 10793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
96		faccl 12320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
97		nncn 10535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` k ) e. CC )
98	95, 96, 97	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ! ` k ) e. CC )
99		2cnd 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
100		nncn 10535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
101	99, 100	mulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
102	101	sqrcld 13219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. k ) ) e. CC )
103	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> _e e. CC )
104	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> _e =/= 0 )
105	100, 103, 104	divcld 10311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k / _e ) e. CC )
106	105, 95	expcld 12267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( ( k / _e ) ^ k ) e. CC )
107	102, 106	mulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) e. CC )
108	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> 2 e. RR+ )
109		nnrp 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
110	108, 109	rpmulcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR+ )
111	110	sqrgt0d 13195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. k ) ) )
112	111	gt0ne0d 10108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. k ) ) =/= 0 )
113		nnne0 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
114	100, 103, 113, 104	divne0d 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k / _e ) =/= 0 )
115		nnz 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
116	105, 114, 115	expne0d 12273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( ( k / _e ) ^ k ) =/= 0 )
117	102, 106, 112, 116	mulne0d 10192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) =/= 0 )
118	98, 107, 117	divcld 10311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) e. CC )
119	86, 94, 66, 118	fvmptd 5948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) = ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) )
120	119, 118	eqeltrd 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. CC )
121		nnne0 10559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` k ) =/= 0 )
122	95, 96, 121	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ! ` k ) =/= 0 )
123	98, 107, 122, 117	divne0d 10327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) =/= 0 )
124	119, 123	eqnetrd 2755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
125	120, 124	logcld 22681	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
126		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n k
127		nfcv 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n log
128		nfmpt1 4531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
129	1, 128	nfcxfr 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n A
130	129, 126	nffv 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( A ` k )
131	127, 130	nffv 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
132		fveq2 5859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
133	132	fveq2d 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
134	126, 131, 133, 2	fvmptf 5959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
135	125, 134	mpdan 668	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
136	135	fveq2d 5863	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( B ` k ) ) = ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) )
137		eflog 22687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` k ) e. CC /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) = ( A ` k ) )
138	120, 124, 137	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) = ( A ` k ) )
139	85, 136, 138	3eqtrd 2507	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( A ` k ) )
140	139	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( A ` k ) )
141	6, 60, 63, 64, 140	climeq 13341	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) <-> A ~~> ( exp ` d ) ) )
142	141	trud 1383	. . . . 5 |- ( ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) <-> A ~~> ( exp ` d ) )
143	54, 142	sylib 196	. . . 4 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> A ~~> ( exp ` d ) )
144		breq2 4446	. . . . 5 |- ( c = ( exp ` d ) -> ( A ~~> c <-> A ~~> ( exp ` d ) ) )
145	144	rspcev 3209	. . . 4 |- ( ( ( exp ` d ) e. RR+ /\ A ~~> ( exp ` d ) ) -> E. c e. RR+ A ~~> c )
146	5, 143, 145	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> E. c e. RR+ A ~~> c )
147	146	rexlimiva 2946	. 2 |- ( E. d e. RR B ~~> d -> E. c e. RR+ A ~~> c )
148	3, 147	ax-mp 5	1 |- E. c e. RR+ A ~~> c

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   T. wtru 1375   e. wcel 1762   =/= wne 2657   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442   |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   o. ccom 4998   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   x. cmul 9488   / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   RR+crp 11211   ^cexp 12124   !cfa 12310   sqrcsqr 13018   ~~> cli 13258   expce 13650   _eceu 13651   -cn->ccncf 21110   logclog 22665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-e 13657  df-sin 13658  df-cos 13659  df-tan 13660  df-pi 13661  df-dvds 13839  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-ulm 22501  df-log 22667  df-cxp 22668

This theorem is referenced by:  stirling  31346