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Theorem stirlinglem14 31344
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 31343 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
54rpefcld 13692 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
6 nnuz 11108 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10885 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
9 efcn 22567 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11 nnnn0 10793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
12 faccl 12320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
13 nncn 10535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1411, 12, 133syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
15 2cnd 10599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
16 nncn 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1715, 16mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1817sqrcld 13219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
19 epr 13793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
20 rpcn 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23 0re 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
24 epos 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
2523, 24gtneii 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2716, 22, 26divcld 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2827, 11expcld 12267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2918, 28mulcld 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
30 2rp 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
32 nnrp 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3331, 32rpmulcld 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
3433sqrgt0d 13195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
3534gt0ne0d 10108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
36 nnne0 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3716, 22, 36, 26divne0d 10327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
38 nnz 10877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3927, 37, 38expne0d 12273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4018, 28, 35, 39mulne0d 10192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4114, 29, 40divcld 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
421fvmpt2 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
4341, 42mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4443, 41eqeltrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
45 nnne0 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4611, 12, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4714, 29, 46, 40divne0d 10327 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
4843, 47eqnetrd 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
4944, 48logcld 22681 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
502, 49fmpti 6037 . . . . . . 7  |-  B : NN
--> CC
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
52 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
534recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
546, 8, 10, 51, 52, 53climcncf 21134 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
559elexi 3118 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  _V
56 nnex 10533 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
5756mptex 6124 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
582, 57eqeltri 2546 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
5955, 58coex 6728 . . . . . . . 8  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
6156mptex 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
621, 61eqeltri 2546 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  A  e.  _V )
647a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
652funmpt2 5618 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  B
66 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
67 rabid2 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
68 nnrp 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
6911, 12, 683syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7033rpsqrcld 13194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
7232, 71rpdivcld 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
7372, 38rpexpcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
7470, 73rpmulcld 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
7569, 74rpdivcld 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
7643, 75eqeltrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
77 relogcl 22686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
78 elex 3117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
7976, 77, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8067, 79mprgbir 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
812dmmpt 5495 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
8280, 81eqtr4i 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  dom  B
8366, 82syl6eleq 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
84 fvco 5936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
8565, 83, 84sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
8887fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
8987oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
9089fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
9187oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
9291, 87oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
9390, 92oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
9488, 93oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
95 nnnn0 10793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
96 faccl 12320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
97 nncn 10535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
99 2cnd 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
100 nncn 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
10199, 100mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
102101sqrcld 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
10321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
10425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
105100, 103, 104divcld 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
106105, 95expcld 12267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
107102, 106mulcld 9607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
10830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
109 nnrp 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
110108, 109rpmulcld 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
111110sqrgt0d 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
112111gt0ne0d 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
113 nnne0 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
114100, 103, 113, 104divne0d 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
115 nnz 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
116105, 114, 115expne0d 12273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
117102, 106, 112, 116mulne0d 10192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
11898, 107, 117divcld 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
11986, 94, 66, 118fvmptd 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
120119, 118eqeltrd 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
121 nnne0 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12295, 96, 1213syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12398, 107, 122, 117divne0d 10327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
124119, 123eqnetrd 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
125120, 124logcld 22681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
126 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
k
127 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n log
128 nfmpt1 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1291, 128nfcxfr 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n A
130129, 126nffv 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( A `  k
)
131127, 130nffv 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
132 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
133132fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
134126, 131, 133, 2fvmptf 5959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
135125, 134mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
136135fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
137 eflog 22687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
138120, 124, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
13985, 136, 1383eqtrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
140139adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1416, 60, 63, 64, 140climeq 13341 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
142141trud 1383 . . . . 5  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
14354, 142sylib 196 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
144 breq2 4446 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
145144rspcev 3209 . . . 4  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1465, 143, 145syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
147146rexlimiva 2946 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1483, 147ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    =/= wne 2657   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994    o. ccom 4998   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    x. cmul 9488    / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   RR+crp 11211   ^cexp 12124   !cfa 12310   sqrcsqr 13018    ~~> cli 13258   expce 13650   _eceu 13651   -cn->ccncf 21110   logclog 22665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-e 13657  df-sin 13658  df-cos 13659  df-tan 13660  df-pi 13661  df-dvds 13839  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-ulm 22501  df-log 22667  df-cxp 22668
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