Theorem stirlinglem14 29807

Description: The sequence A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	|- E. c e. RR+ A ~~> c

Distinct variable group:   A, c

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables d k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
2		stirlinglem14.2	. . 3 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	1, 2	stirlinglem13 29806	. 2 |- E. d e. RR B ~~> d
4		simpl 454	. . . . 5 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> d e. RR )
5	4	rpefcld 13385	. . . 4 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> ( exp ` d ) e. RR+ )
6		nnuz 10892	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1z 10672	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> 1 e. ZZ )
9		efcn 21867	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
11		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
12		faccl 12057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( ! ` n ) e. NN )
13		nncn 10326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) e. CC )
14	11, 12, 13	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) e. CC )
15		2cnd 10390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
16		nncn 10326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. CC )
17	15, 16	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. CC )
18	17	sqrcld 12919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
19		epr 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR+
20		rpcn 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> _e e. CC )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> _e e. CC )
23		0re 9382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
24		epos 13485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
25	23, 24	gtneii 9482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> _e =/= 0 )
27	16, 22, 26	divcld 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) e. CC )
28	27, 11	expcld 12004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) e. CC )
29	18, 28	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) e. CC )
30		2rp 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> 2 e. RR+ )
32		nnrp 10996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
33	31, 32	rpmulcld 11039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR+ )
34	33	sqrgt0d 12895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. n ) ) )
35	34	gt0ne0d 9900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) =/= 0 )
36		nnne0 10350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
37	16, 22, 36, 26	divne0d 10119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) =/= 0 )
38		nnz 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
39	27, 37, 38	expne0d 12010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) =/= 0 )
40	18, 28, 35, 39	mulne0d 9984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) =/= 0 )
41	14, 29, 40	divcld 10103	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. CC )
42	1	fvmpt2 5778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. CC ) -> ( A ` n ) = ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
43	41, 42	mpdan 663	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) = ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
44	43, 41	eqeltrd 2515	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. CC )
45		nnne0 10350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) =/= 0 )
46	11, 12, 45	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) =/= 0 )
47	14, 29, 46, 40	divne0d 10119	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) =/= 0 )
48	43, 47	eqnetrd 2624	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) =/= 0 )
49	44, 48	logcld 21981	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. CC )
50	2, 49	fmpti 5863	. . . . . . 7 |- B : NN --> CC
51	50	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> B : NN --> CC )
52		simpr 458	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> B ~~> d )
53	4	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> d e. CC )
54	6, 8, 10, 51, 52, 53	climcncf 20435	. . . . 5 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) )
55	9	elexi 2980	. . . . . . . . 9 |- exp e. _V
56		nnex 10324	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
57	56	mptex 5945	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) e. _V
58	2, 57	eqeltri 2511	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
59	55, 58	coex 6528	. . . . . . . 8 |- ( exp o. B ) e. _V
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( exp o. B ) e. _V )
61	56	mptex 5945	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) e. _V
62	1, 61	eqeltri 2511	. . . . . . . 8 |- A e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> A e. _V )
64	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
65	2	funmpt2 5452	. . . . . . . . . 10 |- Fun B
66		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN )
67		rabid2 2896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V } <-> A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
68		nnrp 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) e. RR+ )
69	11, 12, 68	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) e. RR+ )
70	33	rpsqrcld 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) e. RR+ )
71	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> _e e. RR+ )
72	32, 71	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) e. RR+ )
73	72, 38	rpexpcld 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) e. RR+ )
74	70, 73	rpmulcld 11039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) e. RR+ )
75	69, 74	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. RR+ )
76	43, 75	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
77		relogcl 21986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ` n ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
78		elex 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
79	76, 77, 78	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
80	67, 79	mprgbir 2784	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V }
81	2	dmmpt 5330	. . . . . . . . . . . 12 |- dom B = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V }
82	80, 81	eqtr4i 2464	. . . . . . . . . . 11 |- NN = dom B
83	66, 82	syl6eleq 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. dom B )
84		fvco 5764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun B /\ k e. dom B ) -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( exp ` ( B ` k ) ) )
85	65, 83, 84	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( exp ` ( B ` k ) ) )
86	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
87		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
88	87	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
89	87	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
90	89	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. k ) ) )
91	87	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n / _e ) = ( k / _e ) )
92	91, 87	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( k / _e ) ^ k ) )
93	90, 92	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) )
94	88, 93	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) )
95		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
96		faccl 12057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
97		nncn 10326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` k ) e. CC )
98	95, 96, 97	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ! ` k ) e. CC )
99		2cnd 10390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
100		nncn 10326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
101	99, 100	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
102	101	sqrcld 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. k ) ) e. CC )
103	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> _e e. CC )
104	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> _e =/= 0 )
105	100, 103, 104	divcld 10103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k / _e ) e. CC )
106	105, 95	expcld 12004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( ( k / _e ) ^ k ) e. CC )
107	102, 106	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) e. CC )
108	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> 2 e. RR+ )
109		nnrp 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
110	108, 109	rpmulcld 11039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR+ )
111	110	sqrgt0d 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. k ) ) )
112	111	gt0ne0d 9900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. k ) ) =/= 0 )
113		nnne0 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
114	100, 103, 113, 104	divne0d 10119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k / _e ) =/= 0 )
115		nnz 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
116	105, 114, 115	expne0d 12010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( ( k / _e ) ^ k ) =/= 0 )
117	102, 106, 112, 116	mulne0d 9984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) =/= 0 )
118	98, 107, 117	divcld 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) e. CC )
119	86, 94, 66, 118	fvmptd 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) = ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) )
120	119, 118	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. CC )
121		nnne0 10350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` k ) =/= 0 )
122	95, 96, 121	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ! ` k ) =/= 0 )
123	98, 107, 122, 117	divne0d 10119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) =/= 0 )
124	119, 123	eqnetrd 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
125	120, 124	logcld 21981	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
126		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n k
127		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n log
128		nfmpt1 4378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
129	1, 128	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n A
130	129, 126	nffv 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( A ` k )
131	127, 130	nffv 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
132		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
133	132	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
134	126, 131, 133, 2	fvmptf 5787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
135	125, 134	mpdan 663	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
136	135	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( B ` k ) ) = ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) )
137		eflog 21987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` k ) e. CC /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) = ( A ` k ) )
138	120, 124, 137	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) = ( A ` k ) )
139	85, 136, 138	3eqtrd 2477	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( A ` k ) )
140	139	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( A ` k ) )
141	6, 60, 63, 64, 140	climeq 13041	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) <-> A ~~> ( exp ` d ) ) )
142	141	trud 1373	. . . . 5 |- ( ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) <-> A ~~> ( exp ` d ) )
143	54, 142	sylib 196	. . . 4 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> A ~~> ( exp ` d ) )
144		breq2 4293	. . . . 5 |- ( c = ( exp ` d ) -> ( A ~~> c <-> A ~~> ( exp ` d ) ) )
145	144	rspcev 3070	. . . 4 |- ( ( ( exp ` d ) e. RR+ /\ A ~~> ( exp ` d ) ) -> E. c e. RR+ A ~~> c )
146	5, 143, 145	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> E. c e. RR+ A ~~> c )
147	146	rexlimiva 2834	. 2 |- ( E. d e. RR B ~~> d -> E. c e. RR+ A ~~> c )
148	3, 147	ax-mp 5	1 |- E. c e. RR+ A ~~> c

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   RR+crp 10987   ^cexp 11861   !cfa 12047   sqrcsqr 12718   ~~> cli 12958   expce 13343   _eceu 13344   -cn->ccncf 20411   logclog 21965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-ulm 21801  df-log 21967  df-cxp 21968

This theorem is referenced by:  stirling  29809