Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem14 30020
 Description: The sequence converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1
stirlinglem14.2
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3
2 stirlinglem14.2 . . 3
31, 2stirlinglem13 30019 . 2
4 simpl 457 . . . . 5
54rpefcld 13491 . . . 4
6 nnuz 10997 . . . . . 6
7 1z 10777 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 efcn 22024 . . . . . . 7
109a1i 11 . . . . . 6
11 nnnn0 10687 . . . . . . . . . . . . 13
12 faccl 12162 . . . . . . . . . . . . 13
13 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 12, 133syl 20 . . . . . . . . . . . 12
15 2cnd 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . 14
1817sqrcld 13025 . . . . . . . . . . . . 13
19 epr 13592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 rpcn 11100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 0re 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 epos 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523, 24gtneii 9587 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2716, 22, 26divcld 10208 . . . . . . . . . . . . . 14
2827, 11expcld 12109 . . . . . . . . . . . . 13
2918, 28mulcld 9507 . . . . . . . . . . . 12
30 2rp 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 nnrp 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32rpmulcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433sqrgt0d 13001 . . . . . . . . . . . . . 14
3534gt0ne0d 10005 . . . . . . . . . . . . 13
36 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15
3716, 22, 36, 26divne0d 10224 . . . . . . . . . . . . . 14
38 nnz 10769 . . . . . . . . . . . . . 14
3927, 37, 38expne0d 12115 . . . . . . . . . . . . 13
4018, 28, 35, 39mulne0d 10089 . . . . . . . . . . . 12
4114, 29, 40divcld 10208 . . . . . . . . . . 11
421fvmpt2 5880 . . . . . . . . . . 11
4341, 42mpdan 668 . . . . . . . . . 10
4443, 41eqeltrd 2539 . . . . . . . . 9
45 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . 12
4611, 12, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11
4714, 29, 46, 40divne0d 10224 . . . . . . . . . 10
4843, 47eqnetrd 2741 . . . . . . . . 9
4944, 48logcld 22138 . . . . . . . 8
502, 49fmpti 5965 . . . . . . 7
5150a1i 11 . . . . . 6
52 simpr 461 . . . . . 6
534recnd 9513 . . . . . 6
546, 8, 10, 51, 52, 53climcncf 20592 . . . . 5
559elexi 3078 . . . . . . . . 9
56 nnex 10429 . . . . . . . . . . 11
5756mptex 6047 . . . . . . . . . 10
582, 57eqeltri 2535 . . . . . . . . 9
5955, 58coex 6629 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
6156mptex 6047 . . . . . . . . 9
621, 61eqeltri 2535 . . . . . . . 8
6362a1i 11 . . . . . . 7
647a1i 11 . . . . . . 7
652funmpt2 5553 . . . . . . . . . 10
66 id 22 . . . . . . . . . . 11
67 rabid2 2994 . . . . . . . . . . . . 13
68 nnrp 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6911, 12, 683syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7033rpsqrcld 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7232, 71rpdivcld 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372, 38rpexpcld 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7470, 73rpmulcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7569, 74rpdivcld 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15
7643, 75eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . 14
77 relogcl 22143 . . . . . . . . . . . . . 14
78 elex 3077 . . . . . . . . . . . . . 14
7976, 77, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
8067, 79mprgbir 2894 . . . . . . . . . . . 12
812dmmpt 5431 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81eqtr4i 2483 . . . . . . . . . . 11
8366, 82syl6eleq 2549 . . . . . . . . . 10
84 fvco 5866 . . . . . . . . . 10
8565, 83, 84sylancr 663 . . . . . . . . 9
861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . 15
8987oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9187oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291, 87oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9390, 92oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15
9488, 93oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . 14
95 nnnn0 10687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 faccl 12162 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 2cnd 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100 nncn 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10199, 100mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101sqrcld 13025 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105100, 103, 104divcld 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106105, 95expcld 12109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107102, 106mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15
10830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109 nnrp 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110108, 109rpmulcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110sqrgt0d 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111gt0ne0d 10005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114100, 103, 113, 104divne0d 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 nnz 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116105, 114, 115expne0d 12115 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117102, 106, 112, 116mulne0d 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15
11898, 107, 117divcld 10208 . . . . . . . . . . . . . 14
11986, 94, 66, 118fvmptd 5878 . . . . . . . . . . . . 13
120119, 118eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . 12
121 nnne0 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15
12295, 96, 1213syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
12398, 107, 122, 117divne0d 10224 . . . . . . . . . . . . 13
124119, 123eqnetrd 2741 . . . . . . . . . . . 12
125120, 124logcld 22138 . . . . . . . . . . 11
126 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . 12
127 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13
128 nfmpt1 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15
1291, 128nfcxfr 2611 . . . . . . . . . . . . . 14
130129, 126nffv 5796 . . . . . . . . . . . . 13
131127, 130nffv 5796 . . . . . . . . . . . 12
132 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . 13
133132fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . 12
134126, 131, 133, 2fvmptf 5889 . . . . . . . . . . 11
135125, 134mpdan 668 . . . . . . . . . 10
136135fveq2d 5793 . . . . . . . . 9
137 eflog 22144 . . . . . . . . . 10
138120, 124, 137syl2anc 661 . . . . . . . . 9
13985, 136, 1383eqtrd 2496 . . . . . . . 8
140139adantl 466 . . . . . . 7
1416, 60, 63, 64, 140climeq 13147 . . . . . 6
142141trud 1379 . . . . 5
14354, 142sylib 196 . . . 4
144 breq2 4394 . . . . 5
145144rspcev 3169 . . . 4
1465, 143, 145syl2anc 661 . . 3
147146rexlimiva 2932 . 2
1483, 147ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1370   wtru 1371   wcel 1758   wne 2644  wrex 2796  crab 2799  cvv 3068   class class class wbr 4390   cmpt 4448   cdm 4938   ccom 4942   wfun 5510  wf 5512  cfv 5516  (class class class)co 6190  cc 9381  cr 9382  cc0 9383  c1 9384   cmul 9388   cdiv 10094  cn 10423  c2 10472  cn0 10680  cz 10747  crp 11092  cexp 11966  cfa 12152  csqr 12824   cli 13064  ce 13449  ceu 13450  ccncf 20568  clog 22122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-e 13456  df-sin 13457  df-cos 13458  df-tan 13459  df-pi 13460  df-dvds 13638  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-ulm 21958  df-log 22124  df-cxp 22125 This theorem is referenced by:  stirling  30022
 Copyright terms: Public domain W3C validator