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Theorem stirlinglem14 29807
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 29806 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
54rpefcld 13385 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
6 nnuz 10892 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10672 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
9 efcn 21867 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
12 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
13 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1411, 12, 133syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
15 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
16 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1715, 16mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1817sqrcld 12919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
19 epr 13486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
20 rpcn 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
23 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
24 epos 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
2523, 24gtneii 9482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2716, 22, 26divcld 10103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2827, 11expcld 12004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2918, 28mulcld 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
30 2rp 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
32 nnrp 10996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3331, 32rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
3433sqrgt0d 12895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
3534gt0ne0d 9900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
36 nnne0 10350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3716, 22, 36, 26divne0d 10119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
38 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3927, 37, 38expne0d 12010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4018, 28, 35, 39mulne0d 9984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4114, 29, 40divcld 10103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
421fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
4341, 42mpdan 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4443, 41eqeltrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
45 nnne0 10350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4611, 12, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4714, 29, 46, 40divne0d 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
4843, 47eqnetrd 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
4944, 48logcld 21981 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
502, 49fmpti 5863 . . . . . . 7  |-  B : NN
--> CC
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
52 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
534recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
546, 8, 10, 51, 52, 53climcncf 20435 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
559elexi 2980 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  _V
56 nnex 10324 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
5756mptex 5945 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
582, 57eqeltri 2511 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
5955, 58coex 6528 . . . . . . . 8  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
6156mptex 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
621, 61eqeltri 2511 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  A  e.  _V )
647a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
652funmpt2 5452 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  B
66 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
67 rabid2 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
68 nnrp 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
6911, 12, 683syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7033rpsqrcld 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
7232, 71rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
7372, 38rpexpcld 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
7470, 73rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
7569, 74rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
7643, 75eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
77 relogcl 21986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
78 elex 2979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
7976, 77, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8067, 79mprgbir 2784 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
812dmmpt 5330 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
8280, 81eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  dom  B
8366, 82syl6eleq 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
84 fvco 5764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
8565, 83, 84sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
87 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
8887fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
8987oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
9089fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
9187oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
9291, 87oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
9390, 92oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
9488, 93oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
95 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
96 faccl 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
97 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
99 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
100 nncn 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
10199, 100mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
102101sqrcld 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
10321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
10425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
105100, 103, 104divcld 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
106105, 95expcld 12004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
107102, 106mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
10830a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
109 nnrp 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
110108, 109rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
111110sqrgt0d 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
112111gt0ne0d 9900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
113 nnne0 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
114100, 103, 113, 104divne0d 10119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
115 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
116105, 114, 115expne0d 12010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
117102, 106, 112, 116mulne0d 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
11898, 107, 117divcld 10103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
11986, 94, 66, 118fvmptd 5776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
120119, 118eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
121 nnne0 10350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12295, 96, 1213syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12398, 107, 122, 117divne0d 10119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
124119, 123eqnetrd 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
125120, 124logcld 21981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
126 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
k
127 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n log
128 nfmpt1 4378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1291, 128nfcxfr 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n A
130129, 126nffv 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( A `  k
)
131127, 130nffv 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
132 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
133132fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
134126, 131, 133, 2fvmptf 5787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
135125, 134mpdan 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
136135fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
137 eflog 21987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
138120, 124, 137syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
13985, 136, 1383eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
140139adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1416, 60, 63, 64, 140climeq 13041 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
142141trud 1373 . . . . 5  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
14354, 142sylib 196 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
144 breq2 4293 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
145144rspcev 3070 . . . 4  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1465, 143, 145syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
147146rexlimiva 2834 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1483, 147ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836    o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   RR+crp 10987   ^cexp 11861   !cfa 12047   sqrcsqr 12718    ~~> cli 12958   expce 13343   _eceu 13344   -cn->ccncf 20411   logclog 21965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-ulm 21801  df-log 21967  df-cxp 21968
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