Theorem stirlinglem14 37769

Description: The sequence A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem14.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem14	|- E. c e. RR+ A ~~> c

Distinct variable group:   A, c

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14

Dummy variables d k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem14.1	. . 3 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
2		stirlinglem14.2	. . 3 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	1, 2	stirlinglem13 37768	. 2 |- E. d e. RR B ~~> d
4		simpl 458	. . . . 5 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> d e. RR )
5	4	rpefcld 14147	. . . 4 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> ( exp ` d ) e. RR+ )
6		nnuz 11195	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		1zzd 10969	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> 1 e. ZZ )
8		efcn 23385	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
10		nnnn0 10877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
11		faccl 12469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( ! ` n ) e. NN )
12		nncn 10618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) e. CC )
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) e. CC )
14		2cnd 10683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> 2 e. CC )
15		nncn 10618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n e. CC )
16	14, 15	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. CC )
17	16	sqrtcld 13487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) e. CC )
18		epr 14248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR+
19		rpcn 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> _e e. CC )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> _e e. CC )
22		0re 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
23		epos 14247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
24	22, 23	gtneii 9747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> _e =/= 0 )
26	15, 21, 25	divcld 10384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) e. CC )
27	26, 10	expcld 12416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) e. CC )
28	17, 27	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) e. CC )
29		2rp 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> 2 e. RR+ )
31		nnrp 11312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
32	30, 31	rpmulcld 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR+ )
33	32	sqrtgt0d 13463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. n ) ) )
34	33	gt0ne0d 10179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) =/= 0 )
35		nnne0 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
36	15, 21, 35, 25	divne0d 10400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n / _e ) =/= 0 )
37		nnz 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
38	26, 36, 37	expne0d 12422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / _e ) ^ n ) =/= 0 )
39	17, 27, 34, 38	mulne0d 10265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) =/= 0 )
40	13, 28, 39	divcld 10384	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. CC )
41	1	fvmpt2 5970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) e. CC ) -> ( A ` n ) = ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
42	40, 41	mpdan 672	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) = ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
43	42, 40	eqeltrd 2510	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. CC )
44		nnne0 10643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` n ) e. NN -> ( ! ` n ) =/= 0 )
45	10, 11, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ! ` n ) =/= 0 )
46	13, 28, 45, 39	divne0d 10400	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) =/= 0 )
47	42, 46	eqnetrd 2717	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) =/= 0 )
48	43, 47	logcld 23507	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. CC )
49	2, 48	fmpti 6057	. . . . . . 7 |- B : NN --> CC
50	49	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> B : NN --> CC )
51		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> B ~~> d )
52	4	recnd 9670	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> d e. CC )
53	6, 7, 9, 50, 51, 52	climcncf 21919	. . . . 5 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) )
54	8	elexi 3091	. . . . . . . . 9 |- exp e. _V
55		nnex 10616	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
56	55	mptex 6148	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) e. _V
57	2, 56	eqeltri 2506	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
58	54, 57	coex 6756	. . . . . . . 8 |- ( exp o. B ) e. _V
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( exp o. B ) e. _V )
60	55	mptex 6148	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) e. _V
61	1, 60	eqeltri 2506	. . . . . . . 8 |- A e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> A e. _V )
63		1zzd 10969	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
64	2	funmpt2 5635	. . . . . . . . . 10 |- Fun B
65		id 23	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN )
66		rabid2 3006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V } <-> A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
67	1	stirlinglem2 37757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
68		relogcl 23512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ` n ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
69		elex 3090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. _V )
71	66, 70	mprgbir 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V }
72	2	dmmpt 5346	. . . . . . . . . . . 12 |- dom B = { n e. NN | ( log ` ( A ` n ) ) e. _V }
73	71, 72	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . 11 |- NN = dom B
74	65, 73	syl6eleq 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. dom B )
75		fvco 5954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun B /\ k e. dom B ) -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( exp ` ( B ` k ) ) )
76	64, 74, 75	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( exp ` ( B ` k ) ) )
77	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
78		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
79	78	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
80	78	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. k ) )
81	80	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. k ) ) )
82	78	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n / _e ) = ( k / _e ) )
83	82, 78	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( k / _e ) ^ k ) )
84	81, 83	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) )
85	79, 84	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) )
86		nnnn0 10877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
87		faccl 12469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
88		nncn 10618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` k ) e. CC )
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ! ` k ) e. CC )
90		2cnd 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> 2 e. CC )
91		nncn 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
92	90, 91	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. CC )
93	92	sqrtcld 13487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. k ) ) e. CC )
94	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> _e e. CC )
95	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> _e =/= 0 )
96	91, 94, 95	divcld 10384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k / _e ) e. CC )
97	96, 86	expcld 12416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( ( k / _e ) ^ k ) e. CC )
98	93, 97	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) e. CC )
99	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> 2 e. RR+ )
100		nnrp 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
101	99, 100	rpmulcld 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( 2 x. k ) e. RR+ )
102	101	sqrtgt0d 13463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. k ) ) )
103	102	gt0ne0d 10179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. k ) ) =/= 0 )
104		nnne0 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
105	91, 94, 104, 95	divne0d 10400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k / _e ) =/= 0 )
106		nnz 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
107	96, 105, 106	expne0d 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( ( k / _e ) ^ k ) =/= 0 )
108	93, 97, 103, 107	mulne0d 10265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) =/= 0 )
109	89, 98, 108	divcld 10384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) e. CC )
110	77, 85, 65, 109	fvmptd 5967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) = ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) )
111	110, 109	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. CC )
112		nnne0 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` k ) =/= 0 )
113	86, 87, 112	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( ! ` k ) =/= 0 )
114	89, 98, 113, 108	divne0d 10400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( ! ` k ) / ( ( sqr ` ( 2 x. k ) ) x. ( ( k / _e ) ^ k ) ) ) =/= 0 )
115	110, 114	eqnetrd 2717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
116	111, 115	logcld 23507	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
117		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n k
118		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n log
119		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
120	1, 119	nfcxfr 2582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n A
121	120, 117	nffv 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( A ` k )
122	118, 121	nffv 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
123		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
124	123	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
125	117, 122, 124, 2	fvmptf 5979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
126	116, 125	mpdan 672	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
127	126	fveq2d 5882	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( B ` k ) ) = ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) )
128		eflog 23513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` k ) e. CC /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) = ( A ` k ) )
129	111, 115, 128	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( exp ` ( log ` ( A ` k ) ) ) = ( A ` k ) )
130	76, 127, 129	3eqtrd 2467	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( A ` k ) )
131	130	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( exp o. B ) ` k ) = ( A ` k ) )
132	6, 59, 62, 63, 131	climeq 13619	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) <-> A ~~> ( exp ` d ) ) )
133	132	trud 1446	. . . . 5 |- ( ( exp o. B ) ~~> ( exp ` d ) <-> A ~~> ( exp ` d ) )
134	53, 133	sylib 199	. . . 4 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> A ~~> ( exp ` d ) )
135		breq2 4424	. . . . 5 |- ( c = ( exp ` d ) -> ( A ~~> c <-> A ~~> ( exp ` d ) ) )
136	135	rspcev 3182	. . . 4 |- ( ( ( exp ` d ) e. RR+ /\ A ~~> ( exp ` d ) ) -> E. c e. RR+ A ~~> c )
137	5, 134, 136	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( d e. RR /\ B ~~> d ) -> E. c e. RR+ A ~~> c )
138	137	rexlimiva 2913	. 2 |- ( E. d e. RR B ~~> d -> E. c e. RR+ A ~~> c )
139	3, 138	ax-mp 5	1 |- E. c e. RR+ A ~~> c

Syntax hints:   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1868   =/= wne 2618   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   o. ccom 4854   Fun wfun 5592   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   x. cmul 9545   / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   RR+crp 11303   ^cexp 12272   !cfa 12459   sqrcsqrt 13285   ~~> cli 13536   expce 14102   _eceu 14103   -cn->ccncf 21895   logclog 23491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-e 14110  df-sin 14111  df-cos 14112  df-tan 14113  df-pi 14114  df-dvds 14294  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-ulm 23319  df-log 23493  df-cxp 23494

This theorem is referenced by:  stirling  37771