Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stirlinglem14 38061
 Description: The sequence converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1
stirlinglem14.2
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3
2 stirlinglem14.2 . . 3
31, 2stirlinglem13 38060 . 2
4 simpl 464 . . . . 5
54rpefcld 14236 . . . 4
6 nnuz 11218 . . . . . 6
7 1zzd 10992 . . . . . 6
8 efcn 23477 . . . . . . 7
98a1i 11 . . . . . 6
10 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . 13
11 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . 13
12 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . 13
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12
14 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 15mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14
1716sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . 13
18 epr 14337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 epos 14336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2422, 23gtneii 9764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2615, 21, 25divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . 14
2726, 10expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13
2817, 27mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12
29 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3230, 31rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . . . . 14
3433gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . 13
35 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
3615, 21, 35, 25divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . 14
37 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . 14
3826, 36, 37expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . 13
3917, 27, 34, 38mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . 12
4013, 28, 39divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
411fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
4240, 41mpdan 681 . . . . . . . . . 10
4342, 40eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
44 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . 12
4510, 11, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11
4613, 28, 45, 39divne0d 10421 . . . . . . . . . 10
4742, 46eqnetrd 2710 . . . . . . . . 9
4843, 47logcld 23599 . . . . . . . 8
492, 48fmpti 6060 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
51 simpr 468 . . . . . 6
524recnd 9687 . . . . . 6
536, 7, 9, 50, 51, 52climcncf 22010 . . . . 5
548elexi 3041 . . . . . . . . 9
55 nnex 10637 . . . . . . . . . . 11
5655mptex 6152 . . . . . . . . . 10
572, 56eqeltri 2545 . . . . . . . . 9
5854, 57coex 6764 . . . . . . . 8
5958a1i 11 . . . . . . 7
6055mptex 6152 . . . . . . . . 9
611, 60eqeltri 2545 . . . . . . . 8
6261a1i 11 . . . . . . 7
63 1zzd 10992 . . . . . . 7
642funmpt2 5626 . . . . . . . . . 10
65 id 22 . . . . . . . . . . 11
66 rabid2 2954 . . . . . . . . . . . . 13
671stirlinglem2 38049 . . . . . . . . . . . . . 14
68 relogcl 23604 . . . . . . . . . . . . . 14
69 elex 3040 . . . . . . . . . . . . . 14
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
7166, 70mprgbir 2771 . . . . . . . . . . . 12
722dmmpt 5337 . . . . . . . . . . . 12
7371, 72eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . 11
7465, 73syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10
75 fvco 5956 . . . . . . . . . 10
7664, 74, 75sylancr 676 . . . . . . . . 9
771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
78 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8278oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382, 78oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8481, 83oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
8579, 84oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
86 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
88 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9290, 91mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9691, 94, 95divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796, 86expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9893, 97mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15
9929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10199, 100rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10591, 94, 104, 95divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10796, 105, 106expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10893, 97, 103, 107mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . 15
10989, 98, 108divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . 14
11077, 85, 65, 109fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . 13
111110, 109eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
112 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
11386, 87, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
11489, 98, 113, 108divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . 13
115110, 114eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . 12
116111, 115logcld 23599 . . . . . . . . . . 11
117 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
118 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
119 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15
1201, 119nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . 14
121120, 117nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13
122118, 121nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
123 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
124123fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
125117, 122, 124, 2fvmptf 5981 . . . . . . . . . . 11
126116, 125mpdan 681 . . . . . . . . . 10
127126fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
128 eflog 23605 . . . . . . . . . 10
129111, 115, 128syl2anc 673 . . . . . . . . 9
13076, 127, 1293eqtrd 2509 . . . . . . . 8
131130adantl 473 . . . . . . 7
1326, 59, 62, 63, 131climeq 13708 . . . . . 6
133132trud 1461 . . . . 5
13453, 133sylib 201 . . . 4
135 breq2 4399 . . . . 5
136135rspcev 3136 . . . 4
1375, 134, 136syl2anc 673 . . 3
138137rexlimiva 2868 . 2
1393, 138ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452   wtru 1453   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   ccom 4843   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  crp 11325  cexp 12310  cfa 12497  csqrt 13373   cli 13625  ce 14191  ceu 14192  ccncf 21986  clog 23583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ulm 23411  df-log 23585  df-cxp 23586 This theorem is referenced by:  stirling  38063
 Copyright terms: Public domain W3C validator