Theorem stirlinglem13 32029

Description: B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since B is log A, in another theorem it is proven that A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	|- E. d e. RR B ~~> d

Distinct variable group:   B, d

Allowed substitution hints:   A( n, d)   B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . . . 6 |- y e. _V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	2	elrnmpt 5259	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) )
5		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y = ( log ` ( A ` n ) ) )
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
7	6	stirlinglem2 32018	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
8	7	relogcld 23133	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
9	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
10	5, 9	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y e. RR )
11	10	rexlimiva 2945	. . . . 5 |- ( E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) -> y e. RR )
12	4, 11	sylbi 195	. . . 4 |- ( y e. ran B -> y e. RR )
13	12	ssriv 3503	. . 3 |- ran B C_ RR
14		1nn 10567	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	6	stirlinglem2 32018	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
16		relogcl 23088	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
18		nfcv 2619	. . . . . . . 8 |- F/_ n 1
19		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ n log
20		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
21	6, 20	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n A
22	21, 18	nffv 5879	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( A ` 1 )
23	19, 22	nffv 5879	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
24		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
25	24	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
26	18, 23, 25, 2	fvmptf 5973	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
27	14, 17, 26	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
28		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( A ` j ) = ( A ` 1 ) )
29	28	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( log ` ( A ` j ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
30	29	eqeq2d 2471	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) <-> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) )
31	30	rspcev 3210	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) -> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
32	14, 27, 31	mp2an 672	. . . . 5 |- E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) )
33	27, 17	eqeltri 2541	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) e. RR
34		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( log ` ( A ` n ) )
35		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n j
36	21, 35	nffv 5879	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` j )
37	19, 36	nffv 5879	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
38		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
39	38	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
40	34, 37, 39	cbvmpt 4547	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
41	2, 40	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- B = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
42	41	elrnmpt 5259	. . . . . 6 |- ( ( B ` 1 ) e. RR -> ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) ) )
43	33, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
44	32, 43	mpbir 209	. . . 4 |- ( B ` 1 ) e. ran B
45	44	ne0ii 3800	. . 3 |- ran B =/= (/)
46		4re 10633	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
47		4ne0 10653	. . . . . . 7 |- 4 =/= 0
48	46, 47	rereccli 10330	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. RR
49	33, 48	resubcli 9900	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR
50		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
51	6, 2, 50	stirlinglem12 32028	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) )
52	51	rgen 2817	. . . . 5 |- A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j )
53		breq1 4459	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( x <_ ( B ` j ) <-> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
54	53	ralbidv 2896	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) <-> A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
55	54	rspcev 3210	. . . . 5 |- ( ( ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
56	49, 52, 55	mp2an 672	. . . 4 |- E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j )
57		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> y e. ran B )
58	8	rgen 2817	. . . . . . . . 9 |- A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR
59	2	fnmpt 5713	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> B Fn NN )
60		fvelrnb 5920	. . . . . . . . 9 |- ( B Fn NN -> ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y ) )
61	58, 59, 60	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
62	57, 61	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
63		nfra1 2838	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. j e. NN x <_ ( B ` j )
64		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ j y e. ran B
65	63, 64	nfan 1929	. . . . . . . 8 |- F/ j ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B )
66		nfv 1708	. . . . . . . 8 |- F/ j x <_ y
67		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
68		simp2 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> j e. NN )
69		rsp 2823	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> ( j e. NN -> x <_ ( B ` j ) ) )
70	67, 68, 69	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ ( B ` j ) )
71		simp3 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> ( B ` j ) = y )
72	70, 71	breqtrd 4480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ y )
73	72	3exp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( j e. NN -> ( ( B ` j ) = y -> x <_ y ) ) )
74	65, 66, 73	rexlimd 2941	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( E. j e. NN ( B ` j ) = y -> x <_ y ) )
75	62, 74	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> x <_ y )
76	75	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> A. y e. ran B x <_ y )
77	76	reximi 2925	. . . 4 |- ( E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y )
78	56, 77	ax-mp 5	. . 3 |- E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y
79		infmrcl 10542	. . 3 |- ( ( ran B C_ RR /\ ran B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y ) -> sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR )
80	13, 45, 78, 79	mp3an 1324	. 2 |- sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR
81		nnuz 11141	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
82		1zzd 10916	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
83	2, 8	fmpti 6055	. . . . 5 |- B : NN --> RR
84	83	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> B : NN --> RR )
85		peano2nn 10568	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
86	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
87		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> n = ( j + 1 ) )
88	87	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( j + 1 ) ) )
89	87	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( j + 1 ) ) )
90	89	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
91	87	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( n / _e ) = ( ( j + 1 ) / _e ) )
92	91, 87	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) )
93	90, 92	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) )
94	88, 93	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
95	85	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN0 )
96		faccl 12365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
97		nncn 10564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
98	95, 96, 97	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
99		2cnd 10629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
100		nncn 10564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. CC )
101		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
102	100, 101	addcld 9632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
103	99, 102	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. CC )
104	103	sqrtcld 13279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
105		ere 13835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR
106	105	recni 9625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e e. CC )
108		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
109		epos 13951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
110	108, 109	gtneii 9713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e =/= 0 )
112	102, 107, 111	divcld 10341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. CC )
113	112, 95	expcld 12312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
114	104, 113	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC )
115		2rp 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
117		nnre 10563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
118	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
119		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
120		0le1 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 <_ 1
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 <_ 1 )
122		nnge1 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 <_ j )
123	118, 119, 117, 121, 122	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> 0 <_ j )
124	117, 123	ge0p1rpd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR+ )
125	116, 124	rpmulcld 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
126	125	sqrtgt0d 13255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
127	126	gt0ne0d 10138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
128	85	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
129	102, 107, 128, 111	divne0d 10357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) =/= 0 )
130		nnz 10907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
131	130	peano2zd 10993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. ZZ )
132	112, 129, 131	expne0d 12318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) =/= 0 )
133	104, 113, 127, 132	mulne0d 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
134	98, 114, 133	divcld 10341	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
135	86, 94, 85, 134	fvmptd 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
136		nnrp 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
137	95, 96, 136	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
138	125	rpsqrtcld 13254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
139		epr 13952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. RR+
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> _e e. RR+ )
141	124, 140	rpdivcld 11298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. RR+ )
142	141, 131	rpexpcld 12335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR+ )
143	138, 142	rpmulcld 11297	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
144	137, 143	rpdivcld 11298	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
145	135, 144	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
146	145	relogcld 23133	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
147		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( j + 1 )
148	21, 147	nffv 5879	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
149	19, 148	nffv 5879	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
150		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
151	150	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
152	147, 149, 151, 2	fvmptf 5973	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
153	85, 146, 152	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
154	153, 146	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
155	83	ffvelrni 6031	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
156		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) )
157	6, 2, 156	stirlinglem11 32027	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) < ( B ` j ) )
158	154, 155, 157	ltled 9750	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
159	158	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
160	56	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
161	81, 82, 84, 159, 160	climinf 31773	. . 3 |- ( T. -> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) )
162	161	trud 1404	. 2 |- B ~~> sup ( ran B , RR , `' < )
163		breq2 4460	. . 3 |- ( d = sup ( ran B , RR , `' < ) -> ( B ~~> d <-> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) )
164	163	rspcev 3210	. 2 |- ( ( sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR /\ B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) -> E. d e. RR B ~~> d )
165	80, 162, 164	mp2an 672	1 |- E. d e. RR B ~~> d

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   ^cexp 12168   !cfa 12355   sqrcsqrt 13077   ~~> cli 13318   _eceu 13809   logclog 23067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-e 13815  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ulm 22897  df-log 23069  df-cxp 23070

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  32030