Theorem stirlinglem13 29886

Description: B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since B is log A, in another theorem it is proven that A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	|- E. d e. RR B ~~> d

Distinct variable group:   B, d

Allowed substitution hints:   A( n, d)   B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2980	. . . . . 6 |- y e. _V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	2	elrnmpt 5091	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) )
5		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y = ( log ` ( A ` n ) ) )
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
7	6	stirlinglem2 29875	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
8	7	relogcld 22077	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
9	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
10	5, 9	eqeltrd 2517	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y e. RR )
11	10	rexlimiva 2841	. . . . 5 |- ( E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) -> y e. RR )
12	4, 11	sylbi 195	. . . 4 |- ( y e. ran B -> y e. RR )
13	12	ssriv 3365	. . 3 |- ran B C_ RR
14		1nn 10338	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	6	stirlinglem2 29875	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A ` 1 ) e. RR+
17		relogcl 22032	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
19		nfcv 2584	. . . . . . . 8 |- F/_ n 1
20		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ n log
21		nfmpt1 4386	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
22	6, 21	nfcxfr 2581	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n A
23	22, 19	nffv 5703	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( A ` 1 )
24	20, 23	nffv 5703	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
25		fveq2 5696	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
26	25	fveq2d 5700	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
27	19, 24, 26, 2	fvmptf 5795	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
28	14, 18, 27	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
29		fveq2 5696	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( A ` j ) = ( A ` 1 ) )
30	29	fveq2d 5700	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( log ` ( A ` j ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
31	30	eqeq2d 2454	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) <-> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) )
32	31	rspcev 3078	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) -> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
33	14, 28, 32	mp2an 672	. . . . 5 |- E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) )
34	28, 18	eqeltri 2513	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) e. RR
35		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( log ` ( A ` n ) )
36		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n j
37	22, 36	nffv 5703	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` j )
38	20, 37	nffv 5703	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
39		fveq2 5696	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
40	39	fveq2d 5700	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
41	35, 38, 40	cbvmpt 4387	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
42	2, 41	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- B = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
43	42	elrnmpt 5091	. . . . . 6 |- ( ( B ` 1 ) e. RR -> ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) ) )
44	34, 43	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
45	33, 44	mpbir 209	. . . 4 |- ( B ` 1 ) e. ran B
46		ne0i 3648	. . . 4 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B -> ran B =/= (/) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 |- ran B =/= (/)
48		4re 10403	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
49		4ne0 10423	. . . . . . 7 |- 4 =/= 0
50	48, 49	rereccli 10101	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. RR
51	34, 50	resubcli 9676	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR
52		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
53	6, 2, 52	stirlinglem12 29885	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) )
54	53	rgen 2786	. . . . 5 |- A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j )
55		breq1 4300	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( x <_ ( B ` j ) <-> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
56	55	ralbidv 2740	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) <-> A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
57	56	rspcev 3078	. . . . 5 |- ( ( ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
58	51, 54, 57	mp2an 672	. . . 4 |- E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j )
59		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> y e. ran B )
60	8	rgen 2786	. . . . . . . . . 10 |- A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR
61	2	fnmpt 5542	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> B Fn NN )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- B Fn NN
63		fvelrnb 5744	. . . . . . . . 9 |- ( B Fn NN -> ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y ) )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
65	59, 64	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
66		nfra1 2771	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. j e. NN x <_ ( B ` j )
67		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ j y e. ran B
68	66, 67	nfan 1861	. . . . . . . 8 |- F/ j ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B )
69		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ j x <_ y
70		simp1l 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
71		simp2 989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> j e. NN )
72		rsp 2781	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> ( j e. NN -> x <_ ( B ` j ) ) )
73	70, 71, 72	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ ( B ` j ) )
74		simp3 990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> ( B ` j ) = y )
75	73, 74	breqtrd 4321	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ y )
76	75	3exp 1186	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( j e. NN -> ( ( B ` j ) = y -> x <_ y ) ) )
77	68, 69, 76	rexlimd 2843	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( E. j e. NN ( B ` j ) = y -> x <_ y ) )
78	65, 77	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> x <_ y )
79	78	ralrimiva 2804	. . . . 5 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> A. y e. ran B x <_ y )
80	79	reximi 2828	. . . 4 |- ( E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y )
81	58, 80	ax-mp 5	. . 3 |- E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y
82		infmrcl 10314	. . 3 |- ( ( ran B C_ RR /\ ran B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y ) -> sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR )
83	13, 47, 81, 82	mp3an 1314	. 2 |- sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR
84		nnuz 10901	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85		1z 10681	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
86	85	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
87	2, 8	fmpti 5871	. . . . 5 |- B : NN --> RR
88	87	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> B : NN --> RR )
89		peano2nn 10339	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
90	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
91		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> n = ( j + 1 ) )
92	91	fveq2d 5700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( j + 1 ) ) )
93	91	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( j + 1 ) ) )
94	93	fveq2d 5700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
95	91	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( n / _e ) = ( ( j + 1 ) / _e ) )
96	95, 91	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) )
97	94, 96	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) )
98	92, 97	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
99	89	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN0 )
100		faccl 12066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
101		nncn 10335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
102	99, 100, 101	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
103		2cnd 10399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
104		nncn 10335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. CC )
105		ax-1cn 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
107	104, 106	addcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
108	103, 107	mulcld 9411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. CC )
109	108	sqrcld 12928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
110		ere 13379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR
111	110	recni 9403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e e. CC )
113		0re 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
114		epos 13494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
115	113, 114	gtneii 9491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e =/= 0 )
117	107, 112, 116	divcld 10112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. CC )
118	117, 99	expcld 12013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
119	109, 118	mulcld 9411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC )
120		2rp 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
122		nnre 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
123	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
124		1re 9390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
126		0le1 9868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 <_ 1
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 <_ 1 )
128		nnge1 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 <_ j )
129	123, 125, 122, 127, 128	letrd 9533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> 0 <_ j )
130	122, 129	ge0p1rpd 11058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR+ )
131	121, 130	rpmulcld 11048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
132	131	sqrgt0d 12904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
133	132	gt0ne0d 9909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
134	89	nnne0d 10371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
135	107, 112, 134, 116	divne0d 10128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) =/= 0 )
136		nnz 10673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
137	136	peano2zd 10755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. ZZ )
138	117, 135, 137	expne0d 12019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) =/= 0 )
139	109, 118, 133, 138	mulne0d 9993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
140	102, 119, 139	divcld 10112	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
141	90, 98, 89, 140	fvmptd 5784	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
142		nnrp 11005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
143	99, 100, 142	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
144	131	rpsqrcld 12903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
145		epr 13495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. RR+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> _e e. RR+ )
147	130, 146	rpdivcld 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. RR+ )
148	147, 137	rpexpcld 12036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR+ )
149	144, 148	rpmulcld 11048	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
150	143, 149	rpdivcld 11049	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
151	141, 150	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
152	151	relogcld 22077	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
153		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( j + 1 )
154	22, 153	nffv 5703	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
155	20, 154	nffv 5703	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
156		fveq2 5696	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
157	156	fveq2d 5700	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
158	153, 155, 157, 2	fvmptf 5795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
159	89, 152, 158	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
160	159, 152	eqeltrd 2517	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
161	87	ffvelrni 5847	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
162		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) )
163	6, 2, 162	stirlinglem11 29884	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) < ( B ` j ) )
164	160, 161, 163	ltled 9527	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
165	164	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
166	58	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
167	84, 86, 88, 165, 166	climinf 29784	. . 3 |- ( T. -> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) )
168	167	trud 1378	. 2 |- B ~~> sup ( ran B , RR , `' < )
169		breq2 4301	. . 3 |- ( d = sup ( ran B , RR , `' < ) -> ( B ~~> d <-> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) )
170	169	rspcev 3078	. 2 |- ( ( sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR /\ B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) -> E. d e. RR B ~~> d )
171	83, 168, 170	mp2an 672	1 |- E. d e. RR B ~~> d

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   ran crn 4846   Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   4c4 10378   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996   ^cexp 11870   !cfa 12056   sqrcsqr 12727   ~~> cli 12967   _eceu 13353   logclog 22011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-e 13359  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-ulm 21847  df-log 22013  df-cxp 22014

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  29887