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Theorem stirlinglem13 37767
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3084 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 5096 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
76stirlinglem2 37756 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
87relogcld 23558 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
98adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
105, 9eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1110rexlimiva 2913 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
124, 11sylbi 198 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1312ssriv 3468 . . 3  |-  ran  B  C_  RR
14 1nn 10620 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
156stirlinglem2 37756 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
16 relogcl 23511 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
18 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
19 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n log
20 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
216, 20nfcxfr 2582 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n A
2221, 18nffv 5884 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  1
)
2319, 22nffv 5884 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
24 fveq2 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
2524fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
2618, 23, 25, 2fvmptf 5978 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
2714, 17, 26mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
28 fveq2 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
2928fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3029eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3130rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
3214, 27, 31mp2an 676 . . . . 5  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
3327, 17eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
34 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
35 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
j
3621, 35nffv 5884 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  j
)
3719, 36nffv 5884 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
38 fveq2 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
3938fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4034, 37, 39cbvmpt 4512 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
412, 40eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4241elrnmpt 5096 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
4333, 42ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4432, 43mpbir 212 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
4544ne0ii 3768 . . 3  |-  ran  B  =/=  (/)
46 4re 10686 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
47 4ne0 10706 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
4846, 47rereccli 10372 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
4933, 48resubcli 9936 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
50 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
516, 2, 50stirlinglem12 37766 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
5251rgen 2785 . . . . 5  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
53 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
5453ralbidv 2864 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
5554rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
5649, 52, 55mp2an 676 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
57 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
588rgen 2785 . . . . . . . . 9  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
592fnmpt 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
60 fvelrnb 5924 . . . . . . . . 9  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
6158, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
6257, 61sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
63 nfra1 2806 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
64 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  y  e.  ran  B
6563, 64nfan 1984 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
66 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ j  x  <_  y
67 simp1l 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
68 simp2 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
69 rsp 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
7067, 68, 69sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
71 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
7270, 71breqtrd 4445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
73723exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
7465, 66, 73rexlimd 2909 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
7562, 74mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
7675ralrimiva 2839 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
7776reximi 2893 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
7856, 77ax-mp 5 . . 3  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
79 infrecl 10590 . . 3  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  -> inf ( ran 
B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8013, 45, 78, 79mp3an 1360 . 2  |- inf ( ran 
B ,  RR ,  <  )  e.  RR
81 nnuz 11194 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
82 1zzd 10968 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
832, 8fmpti 6056 . . . . 5  |-  B : NN
--> RR
8483a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  B : NN --> RR )
85 peano2nn 10621 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
866a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
87 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
8887fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
8987oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
9089fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
9187oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
9291, 87oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
9390, 92oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9488, 93oveq12d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
9585nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
96 faccl 12468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
97 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
99 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
100 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
101 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
102100, 101addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10399, 102mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
104103sqrtcld 13486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
105 ere 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
106105recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
108 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
109 epos 14246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
110108, 109gtneii 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
112102, 107, 111divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
113112, 95expcld 12415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
114104, 113mulcld 9663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
115 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
117 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
118108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
119 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
120 0le1 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
122 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
123118, 119, 117, 121, 122letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
124117, 123ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
125116, 124rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
126125sqrtgt0d 13462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
127126gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
12885nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
129102, 107, 128, 111divne0d 10399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
130 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
131130peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
132112, 129, 131expne0d 12421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
133104, 113, 127, 132mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
13498, 114, 133divcld 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
13586, 94, 85, 134fvmptd 5966 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
136 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
13795, 96, 1363syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
138125rpsqrtcld 13461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
139 epr 14247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR+
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
141124, 140rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
142141, 131rpexpcld 12438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
143138, 142rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
144137, 143rpdivcld 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
145135, 144eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
146145relogcld 23558 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
147 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( j  +  1 )
14821, 147nffv 5884 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
14919, 148nffv 5884 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
150 fveq2 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
151150fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
152147, 149, 151, 2fvmptf 5978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
15385, 146, 152syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
154153, 146eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
15583ffvelrni 6032 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
156 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1576, 2, 156stirlinglem11 37765 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
158154, 155, 157ltled 9783 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
159158adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
16056a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
16181, 82, 84, 159, 160climinf 37503 . . 3  |-  ( T. 
->  B  ~~> inf ( ran  B ,  RR ,  <  ) )
162161trud 1446 . 2  |-  B  ~~> inf ( ran  B ,  RR ,  <  )
163 breq2 4424 . . 3  |-  ( d  = inf ( ran  B ,  RR ,  <  )  ->  ( B  ~~>  d  <->  B  ~~> inf ( ran  B ,  RR ,  <  ) ) )
164163rspcev 3182 . 2  |-  ( (inf ( ran  B ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  ~~> inf ( ran  B ,  RR ,  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
16580, 162, 164mp2an 676 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4850    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301  infcinf 7957   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   RR+crp 11302   ^cexp 12271   !cfa 12458   sqrcsqrt 13284    ~~> cli 13535   _eceu 14102   logclog 23490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-tan 14112  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-ulm 23318  df-log 23492  df-cxp 23493
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  37768
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