Theorem stirlinglem13 31386

Description: B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since B is log A, in another theorem it is proven that A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	|- E. d e. RR B ~~> d

Distinct variable group:   B, d

Allowed substitution hints:   A( n, d)   B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3116	. . . . . 6 |- y e. _V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	2	elrnmpt 5247	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) )
5		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y = ( log ` ( A ` n ) ) )
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
7	6	stirlinglem2 31375	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
8	7	relogcld 22736	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
9	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
10	5, 9	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y e. RR )
11	10	rexlimiva 2951	. . . . 5 |- ( E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) -> y e. RR )
12	4, 11	sylbi 195	. . . 4 |- ( y e. ran B -> y e. RR )
13	12	ssriv 3508	. . 3 |- ran B C_ RR
14		1nn 10543	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	6	stirlinglem2 31375	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A ` 1 ) e. RR+
17		relogcl 22691	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
19		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ n 1
20		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ n log
21		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
22	6, 21	nfcxfr 2627	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n A
23	22, 19	nffv 5871	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( A ` 1 )
24	20, 23	nffv 5871	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
25		fveq2 5864	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
26	25	fveq2d 5868	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
27	19, 24, 26, 2	fvmptf 5964	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
28	14, 18, 27	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
29		fveq2 5864	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( A ` j ) = ( A ` 1 ) )
30	29	fveq2d 5868	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( log ` ( A ` j ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
31	30	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) <-> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) )
32	31	rspcev 3214	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) -> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
33	14, 28, 32	mp2an 672	. . . . 5 |- E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) )
34	28, 18	eqeltri 2551	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) e. RR
35		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( log ` ( A ` n ) )
36		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n j
37	22, 36	nffv 5871	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` j )
38	20, 37	nffv 5871	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
39		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
40	39	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
41	35, 38, 40	cbvmpt 4537	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
42	2, 41	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- B = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
43	42	elrnmpt 5247	. . . . . 6 |- ( ( B ` 1 ) e. RR -> ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) ) )
44	34, 43	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
45	33, 44	mpbir 209	. . . 4 |- ( B ` 1 ) e. ran B
46		ne0i 3791	. . . 4 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B -> ran B =/= (/) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . 3 |- ran B =/= (/)
48		4re 10608	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
49		4ne0 10628	. . . . . . 7 |- 4 =/= 0
50	48, 49	rereccli 10305	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. RR
51	34, 50	resubcli 9877	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR
52		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
53	6, 2, 52	stirlinglem12 31385	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) )
54	53	rgen 2824	. . . . 5 |- A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j )
55		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( x <_ ( B ` j ) <-> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
56	55	ralbidv 2903	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) <-> A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
57	56	rspcev 3214	. . . . 5 |- ( ( ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
58	51, 54, 57	mp2an 672	. . . 4 |- E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j )
59		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> y e. ran B )
60	8	rgen 2824	. . . . . . . . . 10 |- A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR
61	2	fnmpt 5705	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> B Fn NN )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- B Fn NN
63		fvelrnb 5913	. . . . . . . . 9 |- ( B Fn NN -> ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y ) )
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
65	59, 64	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
66		nfra1 2845	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. j e. NN x <_ ( B ` j )
67		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ j y e. ran B
68	66, 67	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ j ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B )
69		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ j x <_ y
70		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
71		simp2 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> j e. NN )
72		rsp 2830	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> ( j e. NN -> x <_ ( B ` j ) ) )
73	70, 71, 72	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ ( B ` j ) )
74		simp3 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> ( B ` j ) = y )
75	73, 74	breqtrd 4471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ y )
76	75	3exp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( j e. NN -> ( ( B ` j ) = y -> x <_ y ) ) )
77	68, 69, 76	rexlimd 2947	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( E. j e. NN ( B ` j ) = y -> x <_ y ) )
78	65, 77	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> x <_ y )
79	78	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> A. y e. ran B x <_ y )
80	79	reximi 2932	. . . 4 |- ( E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y )
81	58, 80	ax-mp 5	. . 3 |- E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y
82		infmrcl 10518	. . 3 |- ( ( ran B C_ RR /\ ran B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y ) -> sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR )
83	13, 47, 81, 82	mp3an 1324	. 2 |- sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR
84		nnuz 11113	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85		1z 10890	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
86	85	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
87	2, 8	fmpti 6042	. . . . 5 |- B : NN --> RR
88	87	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> B : NN --> RR )
89		peano2nn 10544	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
90	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
91		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> n = ( j + 1 ) )
92	91	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( j + 1 ) ) )
93	91	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( j + 1 ) ) )
94	93	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
95	91	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( n / _e ) = ( ( j + 1 ) / _e ) )
96	95, 91	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) )
97	94, 96	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) )
98	92, 97	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
99	89	nnnn0d 10848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN0 )
100		faccl 12327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
101		nncn 10540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
102	99, 100, 101	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
103		2cnd 10604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
104		nncn 10540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. CC )
105		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
107	104, 106	addcld 9611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
108	103, 107	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. CC )
109	108	sqrtcld 13227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
110		ere 13682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR
111	110	recni 9604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e e. CC )
113		0re 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
114		epos 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
115	113, 114	gtneii 9692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e =/= 0 )
117	107, 112, 116	divcld 10316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. CC )
118	117, 99	expcld 12274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
119	109, 118	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC )
120		2rp 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
122		nnre 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
123	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
124		1re 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
126		0le1 10072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 <_ 1
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 <_ 1 )
128		nnge1 10558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 <_ j )
129	123, 125, 122, 127, 128	letrd 9734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> 0 <_ j )
130	122, 129	ge0p1rpd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR+ )
131	121, 130	rpmulcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
132	131	sqrtgt0d 13203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
133	132	gt0ne0d 10113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
134	89	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
135	107, 112, 134, 116	divne0d 10332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) =/= 0 )
136		nnz 10882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
137	136	peano2zd 10965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. ZZ )
138	117, 135, 137	expne0d 12280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) =/= 0 )
139	109, 118, 133, 138	mulne0d 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
140	102, 119, 139	divcld 10316	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
141	90, 98, 89, 140	fvmptd 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
142		nnrp 11225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
143	99, 100, 142	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
144	131	rpsqrtcld 13202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
145		epr 13798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. RR+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> _e e. RR+ )
147	130, 146	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. RR+ )
148	147, 137	rpexpcld 12297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR+ )
149	144, 148	rpmulcld 11268	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
150	143, 149	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
151	141, 150	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
152	151	relogcld 22736	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
153		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( j + 1 )
154	22, 153	nffv 5871	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
155	20, 154	nffv 5871	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
156		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
157	156	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
158	153, 155, 157, 2	fvmptf 5964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
159	89, 152, 158	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
160	159, 152	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
161	87	ffvelrni 6018	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
162		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) )
163	6, 2, 162	stirlinglem11 31384	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) < ( B ` j ) )
164	160, 161, 163	ltled 9728	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
165	164	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
166	58	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
167	84, 86, 88, 165, 166	climinf 31148	. . 3 |- ( T. -> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) )
168	167	trud 1388	. 2 |- B ~~> sup ( ran B , RR , `' < )
169		breq2 4451	. . 3 |- ( d = sup ( ran B , RR , `' < ) -> ( B ~~> d <-> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) )
170	169	rspcev 3214	. 2 |- ( ( sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR /\ B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) -> E. d e. RR B ~~> d )
171	83, 168, 170	mp2an 672	1 |- E. d e. RR B ~~> d

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   T. wtru 1380   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   4c4 10583   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11216   ^cexp 12130   !cfa 12317   sqrcsqrt 13025   ~~> cli 13266   _eceu 13656   logclog 22670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-ulm 22506  df-log 22672  df-cxp 22673

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  31387