Theorem stirlinglem13 27702

Description: B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since B is log A, in another theorem it is proven that A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	|- E. d e. RR B ~~> d

Distinct variable group:   B, d

Allowed substitution hints:   A( n, d)   B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables j x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2919	. . . . . 6 |- y e. _V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
3	2	elrnmpt 5076	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( y e. ran B <-> E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) )
5		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y = ( log ` ( A ` n ) ) )
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
7	6	stirlinglem2 27691	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A ` n ) e. RR+ )
8	7	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
9	8	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> ( log ` ( A ` n ) ) e. RR )
10	5, 9	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ y = ( log ` ( A ` n ) ) ) -> y e. RR )
11	10	rexlimiva 2785	. . . . 5 |- ( E. n e. NN y = ( log ` ( A ` n ) ) -> y e. RR )
12	4, 11	sylbi 188	. . . 4 |- ( y e. ran B -> y e. RR )
13	12	ssriv 3312	. . 3 |- ran B C_ RR
14		1nn 9967	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	6	stirlinglem2 27691	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
16	14, 15	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( A ` 1 ) e. RR+
17		relogcl 20426	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
18	16, 17	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
19		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ n 1
20		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ n log
21		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
22	6, 21	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n A
23	22, 19	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( A ` 1 )
24	20, 23	nffv 5694	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
25		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
26	25	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
27	19, 24, 26, 2	fvmptf 5780	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
28	14, 18, 27	mp2an 654	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
29		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( A ` j ) = ( A ` 1 ) )
30	29	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( log ` ( A ` j ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
31	30	eqeq2d 2415	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) <-> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) )
32	31	rspcev 3012	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. NN /\ ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) ) -> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
33	14, 28, 32	mp2an 654	. . . . 5 |- E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) )
34	28, 18	eqeltri 2474	. . . . . 6 |- ( B ` 1 ) e. RR
35		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( log ` ( A ` n ) )
36		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n j
37	22, 36	nffv 5694	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` j )
38	20, 37	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
39		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
40	39	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
41	35, 38, 40	cbvmpt 4259	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) ) = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
42	2, 41	eqtri 2424	. . . . . . 7 |- B = ( j e. NN |-> ( log ` ( A ` j ) ) )
43	42	elrnmpt 5076	. . . . . 6 |- ( ( B ` 1 ) e. RR -> ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) ) )
44	34, 43	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
45	33, 44	mpbir 201	. . . 4 |- ( B ` 1 ) e. ran B
46		ne0i 3594	. . . 4 |- ( ( B ` 1 ) e. ran B -> ran B =/= (/) )
47	45, 46	ax-mp 8	. . 3 |- ran B =/= (/)
48		4re 10029	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
49		0re 9047	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
50		4pos 10042	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
51	49, 50	gtneii 9141	. . . . . . 7 |- 4 =/= 0
52	48, 51	rereccli 9735	. . . . . 6 |- ( 1 / 4 ) e. RR
53	34, 52	resubcli 9319	. . . . 5 |- ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR
54		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
55	6, 2, 54	stirlinglem12 27701	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) )
56	55	rgen 2731	. . . . 5 |- A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j )
57		breq1 4175	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( x <_ ( B ` j ) <-> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
58	57	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) -> ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) <-> A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) )
59	58	rspcev 3012	. . . . 5 |- ( ( ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` j ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
60	53, 56, 59	mp2an 654	. . . 4 |- E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j )
61		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> y e. ran B )
62	8	rgen 2731	. . . . . . . . . 10 |- A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR
63	2	fnmpt 5530	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( log ` ( A ` n ) ) e. RR -> B Fn NN )
64	62, 63	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- B Fn NN
65		fvelrnb 5733	. . . . . . . . 9 |- ( B Fn NN -> ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y ) )
66	64, 65	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran B <-> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
67	61, 66	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> E. j e. NN ( B ` j ) = y )
68		nfra1 2716	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. j e. NN x <_ ( B ` j )
69		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ j y e. ran B
70	68, 69	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ j ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B )
71		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ j x <_ y
72		simp1l 981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
73		simp2 958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> j e. NN )
74		rsp 2726	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> ( j e. NN -> x <_ ( B ` j ) ) )
75	72, 73, 74	sylc 58	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ ( B ` j ) )
76		simp3 959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> ( B ` j ) = y )
77	75, 76	breqtrd 4196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) /\ j e. NN /\ ( B ` j ) = y ) -> x <_ y )
78	77	3exp 1152	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( j e. NN -> ( ( B ` j ) = y -> x <_ y ) ) )
79	70, 71, 78	rexlimd 2787	. . . . . . 7 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> ( E. j e. NN ( B ` j ) = y -> x <_ y ) )
80	67, 79	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) /\ y e. ran B ) -> x <_ y )
81	80	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> A. y e. ran B x <_ y )
82	81	reximi 2773	. . . 4 |- ( E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) -> E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y )
83	60, 82	ax-mp 8	. . 3 |- E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y
84		infmrcl 9943	. . 3 |- ( ( ran B C_ RR /\ ran B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran B x <_ y ) -> sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR )
85	13, 47, 83, 84	mp3an 1279	. 2 |- sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR
86		nnuz 10477	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
87		1z 10267	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
88	87	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
89	2, 8	fmpti 5851	. . . . 5 |- B : NN --> RR
90	89	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> B : NN --> RR )
91		peano2nn 9968	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
92	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) ) )
93		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> n = ( j + 1 ) )
94	93	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( j + 1 ) ) )
95	93	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. ( j + 1 ) ) )
96	95	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
97	93	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( n / _e ) = ( ( j + 1 ) / _e ) )
98	97, 93	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( n / _e ) ^ n ) = ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) )
99	96, 98	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) = ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) )
100	94, 99	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ n = ( j + 1 ) ) -> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
101	91	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN0 )
102		faccl 11531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
103		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
104	101, 102, 103	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
105		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 2 e. CC )
107		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. CC )
108		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
110	107, 109	addcld 9063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
111	106, 110	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. CC )
112	111	sqrcld 12194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
113		ere 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e e. RR
114	113	recni 9058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e e. CC
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e e. CC )
116		epos 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < _e
117	49, 116	gtneii 9141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e =/= 0
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> _e =/= 0 )
119	110, 115, 118	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. CC )
120	119, 101	expcld 11478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
121	112, 120	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC )
122		2rp 10573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR+
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
124		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
125	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
126		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
128		0le1 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 <_ 1
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 0 <_ 1 )
130		nnge1 9982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> 1 <_ j )
131	125, 127, 124, 129, 130	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> 0 <_ j )
132	124, 131	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR+ )
133	123, 132	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
134	133	sqrgt0d 12170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) )
135	134	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
136	91	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
137	110, 115, 136, 118	divne0d 9762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) =/= 0 )
138		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
139	138	peano2zd 10334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. ZZ )
140	119, 137, 139	expne0d 11484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) =/= 0 )
141	112, 120, 135, 140	mulne0d 9630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) =/= 0 )
142	104, 121, 141	divcld 9746	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
143	92, 100, 91, 142	fvmptd 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
144		nnrp 10577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
145	101, 102, 144	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
146	133	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
147		epr 12762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. RR+
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> _e e. RR+ )
149	132, 148	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ( j + 1 ) / _e ) e. RR+ )
150	149, 139	rpexpcld 11501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR+ )
151	146, 150	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR+ )
152	145, 151	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ! ` ( j + 1 ) ) / ( ( sqr ` ( 2 x. ( j + 1 ) ) ) x. ( ( ( j + 1 ) / _e ) ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
153	143, 152	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
154	153	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
155		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( j + 1 )
156	22, 155	nffv 5694	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
157	20, 156	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
158		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
159	158	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
160	155, 157, 159, 2	fvmptf 5780	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
161	91, 154, 160	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
162	161, 154	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
163	89	ffvelrni 5828	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
164		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. z ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. z ) ) ) )
165	6, 2, 164	stirlinglem11 27700	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) < ( B ` j ) )
166	162, 163, 165	ltled 9177	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
167	166	adantl 453	. . . 4 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ ( B ` j ) )
168	60	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> E. x e. RR A. j e. NN x <_ ( B ` j ) )
169	86, 88, 90, 167, 168	climinf 27599	. . 3 |- ( T. -> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) )
170	169	trud 1329	. 2 |- B ~~> sup ( ran B , RR , `' < )
171		breq2 4176	. . 3 |- ( d = sup ( ran B , RR , `' < ) -> ( B ~~> d <-> B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) )
172	171	rspcev 3012	. 2 |- ( ( sup ( ran B , RR , `' < ) e. RR /\ B ~~> sup ( ran B , RR , `' < ) ) -> E. d e. RR B ~~> d )
173	85, 170, 172	mp2an 654	1 |- E. d e. RR B ~~> d

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993   ~~> cli 12233   _eceu 12620   logclog 20405

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27703

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408