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Theorem stirlinglem13 29886
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2980 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 5091 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
76stirlinglem2 29875 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
87relogcld 22077 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
105, 9eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1110rexlimiva 2841 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
124, 11sylbi 195 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1312ssriv 3365 . . 3  |-  ran  B  C_  RR
14 1nn 10338 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
156stirlinglem2 29875 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
17 relogcl 22032 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
19 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
20 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n log
21 nfmpt1 4386 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
226, 21nfcxfr 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n A
2322, 19nffv 5703 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  1
)
2420, 23nffv 5703 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
25 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
2625fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
2719, 24, 26, 2fvmptf 5795 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
2814, 18, 27mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
29 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
3029fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3130eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3231rspcev 3078 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
3314, 28, 32mp2an 672 . . . . 5  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
3428, 18eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
35 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
36 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
j
3722, 36nffv 5703 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  j
)
3820, 37nffv 5703 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
39 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
4039fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4135, 38, 40cbvmpt 4387 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
422, 41eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4342elrnmpt 5091 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
4434, 43ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4533, 44mpbir 209 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
46 ne0i 3648 . . . 4  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  ->  ran  B  =/=  (/) )
4745, 46ax-mp 5 . . 3  |-  ran  B  =/=  (/)
48 4re 10403 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
49 4ne0 10423 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
5048, 49rereccli 10101 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
5134, 50resubcli 9676 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
52 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
536, 2, 52stirlinglem12 29885 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
5453rgen 2786 . . . . 5  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
55 breq1 4300 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
5655ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
5756rspcev 3078 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
5851, 54, 57mp2an 672 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
59 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
608rgen 2786 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
612fnmpt 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  B  Fn  NN
63 fvelrnb 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
6559, 64sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
66 nfra1 2771 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
67 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  y  e.  ran  B
6866, 67nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
69 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ j  x  <_  y
70 simp1l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
71 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
72 rsp 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
7370, 71, 72sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
74 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
7573, 74breqtrd 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
76753exp 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
7768, 69, 76rexlimd 2843 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
7865, 77mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
7978ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
8079reximi 2828 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
8158, 80ax-mp 5 . . 3  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
82 infmrcl 10314 . . 3  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8313, 47, 81, 82mp3an 1314 . 2  |-  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR
84 nnuz 10901 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
85 1z 10681 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8685a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
872, 8fmpti 5871 . . . . 5  |-  B : NN
--> RR
8887a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  B : NN --> RR )
89 peano2nn 10339 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
906a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
91 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
9291fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
9391oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
9493fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
9591oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
9695, 91oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
9794, 96oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9892, 97oveq12d 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
9989nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
100 faccl 12066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
101 nncn 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
10299, 100, 1013syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
103 2cnd 10399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
104 nncn 10335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
105 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
107104, 106addcld 9410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
108103, 107mulcld 9411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
109108sqrcld 12928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
110 ere 13379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
111110recni 9403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
113 0re 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
114 epos 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
115113, 114gtneii 9491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
117107, 112, 116divcld 10112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
118117, 99expcld 12013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
119109, 118mulcld 9411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
120 2rp 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
122 nnre 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
123113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
124 1re 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
126 0le1 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  1
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
128 nnge1 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
129123, 125, 122, 127, 128letrd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
130122, 129ge0p1rpd 11058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
131121, 130rpmulcld 11048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
132131sqrgt0d 12904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
133132gt0ne0d 9909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
13489nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
135107, 112, 134, 116divne0d 10128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
136 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
137136peano2zd 10755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
138117, 135, 137expne0d 12019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
139109, 118, 133, 138mulne0d 9993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
140102, 119, 139divcld 10112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
14190, 98, 89, 140fvmptd 5784 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
142 nnrp 11005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
14399, 100, 1423syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
144131rpsqrcld 12903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
145 epr 13495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR+
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
147130, 146rpdivcld 11049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
148147, 137rpexpcld 12036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
149144, 148rpmulcld 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
150143, 149rpdivcld 11049 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
151141, 150eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
152151relogcld 22077 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
153 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( j  +  1 )
15422, 153nffv 5703 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
15520, 154nffv 5703 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
156 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
157156fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
158153, 155, 157, 2fvmptf 5795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
15989, 152, 158syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
160159, 152eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
16187ffvelrni 5847 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
162 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1636, 2, 162stirlinglem11 29884 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
164160, 161, 163ltled 9527 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
165164adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
16658a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
16784, 86, 88, 165, 166climinf 29784 . . 3  |-  ( T. 
->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
168167trud 1378 . 2  |-  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )
169 breq2 4301 . . 3  |-  ( d  =  sup ( ran 
B ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( B 
~~>  d  <->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
170169rspcev 3078 . 2  |-  ( ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
17183, 168, 170mp2an 672 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   ran crn 4846    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   4c4 10378   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996   ^cexp 11870   !cfa 12056   sqrcsqr 12727    ~~> cli 12967   _eceu 13353   logclog 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-e 13359  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-ulm 21847  df-log 22013  df-cxp 22014
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