Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 3060 |
. . . . . 6
 |
2 | | stirlinglem13.2 |
. . . . . . 7
           |
3 | 2 | elrnmpt 5100 |
. . . . . 6
              |
4 | 1, 3 | ax-mp 5 |
. . . . 5

           |
5 | | simpr 467 |
. . . . . . 7
 
                   |
6 | | stirlinglem13.1 |
. . . . . . . . . 10
                       |
7 | 6 | stirlinglem2 37975 |
. . . . . . . . 9
       |
8 | 7 | relogcld 23621 |
. . . . . . . 8
           |
9 | 8 | adantr 471 |
. . . . . . 7
 
                   |
10 | 5, 9 | eqeltrd 2540 |
. . . . . 6
 
           |
11 | 10 | rexlimiva 2887 |
. . . . 5
         
  |
12 | 4, 11 | sylbi 200 |
. . . 4
   |
13 | 12 | ssriv 3448 |
. . 3
 |
14 | | 1nn 10648 |
. . . . . 6
 |
15 | 6 | stirlinglem2 37975 |
. . . . . . . 8
       |
16 | | relogcl 23574 |
. . . . . . . 8
    
          |
17 | 14, 15, 16 | mp2b 10 |
. . . . . . 7
         |
18 | | nfcv 2603 |
. . . . . . . 8
   |
19 | | nfcv 2603 |
. . . . . . . . 9
   |
20 | | nfmpt1 4506 |
. . . . . . . . . . 11
                         |
21 | 6, 20 | nfcxfr 2601 |
. . . . . . . . . 10
   |
22 | 21, 18 | nffv 5895 |
. . . . . . . . 9
       |
23 | 19, 22 | nffv 5895 |
. . . . . . . 8
           |
24 | | fveq2 5888 |
. . . . . . . . 9
           |
25 | 24 | fveq2d 5892 |
. . . . . . . 8
                   |
26 | 18, 23, 25, 2 | fvmptf 5989 |
. . . . . . 7
                         |
27 | 14, 17, 26 | mp2an 683 |
. . . . . 6
             |
28 | | fveq2 5888 |
. . . . . . . . 9
           |
29 | 28 | fveq2d 5892 |
. . . . . . . 8
                   |
30 | 29 | eqeq2d 2472 |
. . . . . . 7
             
               |
31 | 30 | rspcev 3162 |
. . . . . 6
                              |
32 | 14, 27, 31 | mp2an 683 |
. . . . 5
              |
33 | 27, 17 | eqeltri 2536 |
. . . . . 6
     |
34 | | nfcv 2603 |
. . . . . . . . 9
           |
35 | | nfcv 2603 |
. . . . . . . . . . 11
   |
36 | 21, 35 | nffv 5895 |
. . . . . . . . . 10
       |
37 | 19, 36 | nffv 5895 |
. . . . . . . . 9
           |
38 | | fveq2 5888 |
. . . . . . . . . 10
           |
39 | 38 | fveq2d 5892 |
. . . . . . . . 9
                   |
40 | 34, 37, 39 | cbvmpt 4508 |
. . . . . . . 8
                     |
41 | 2, 40 | eqtri 2484 |
. . . . . . 7
           |
42 | 41 | elrnmpt 5100 |
. . . . . 6
                          |
43 | 33, 42 | ax-mp 5 |
. . . . 5
    
               |
44 | 32, 43 | mpbir 214 |
. . . 4
     |
45 | 44 | ne0ii 3750 |
. . 3
 |
46 | | 4re 10714 |
. . . . . . 7
 |
47 | | 4ne0 10734 |
. . . . . . 7
 |
48 | 46, 47 | rereccli 10400 |
. . . . . 6
   |
49 | 33, 48 | resubcli 9962 |
. . . . 5
         |
50 | | eqid 2462 |
. . . . . . 7
                 |
51 | 6, 2, 50 | stirlinglem12 37985 |
. . . . . 6
               |
52 | 51 | rgen 2759 |
. . . . 5
              |
53 | | breq1 4419 |
. . . . . . 7
         
   
               |
54 | 53 | ralbidv 2839 |
. . . . . 6
          
   
                |
55 | 54 | rspcev 3162 |
. . . . 5
                        
       |
56 | 49, 52, 55 | mp2an 683 |
. . . 4
       |
57 | | simpr 467 |
. . . . . . . 8
          |
58 | 8 | rgen 2759 |
. . . . . . . . 9
          |
59 | 2 | fnmpt 5726 |
. . . . . . . . 9
 
       
  |
60 | | fvelrnb 5935 |
. . . . . . . . 9
          |
61 | 58, 59, 60 | mp2b 10 |
. . . . . . . 8

       |
62 | 57, 61 | sylib 201 |
. . . . . . 7
        
      |
63 | | nfra1 2781 |
. . . . . . . . 9
        |
64 | | nfv 1772 |
. . . . . . . . 9
  |
65 | 63, 64 | nfan 2022 |
. . . . . . . 8
       
  |
66 | | nfv 1772 |
. . . . . . . 8

 |
67 | | simp1l 1038 |
. . . . . . . . . . 11
       
             |
68 | | simp2 1015 |
. . . . . . . . . . 11
       
        |
69 | | rsp 2766 |
. . . . . . . . . . 11
 
   

       |
70 | 67, 68, 69 | sylc 62 |
. . . . . . . . . 10
       
            |
71 | | simp3 1016 |
. . . . . . . . . 10
       
            |
72 | 70, 71 | breqtrd 4441 |
. . . . . . . . 9
       
        |
73 | 72 | 3exp 1214 |
. . . . . . . 8
                  |
74 | 65, 66, 73 | rexlimd 2883 |
. . . . . . 7
                 |
75 | 62, 74 | mpd 15 |
. . . . . 6
          |
76 | 75 | ralrimiva 2814 |
. . . . 5
 
   
   |
77 | 76 | reximi 2867 |
. . . 4
  
   
 
  |
78 | 56, 77 | ax-mp 5 |
. . 3
 
 |
79 | | infrecl 10618 |
. . 3
 

  inf     |
80 | 13, 45, 78, 79 | mp3an 1373 |
. 2
inf    |
81 | | nnuz 11223 |
. . . 4
     |
82 | | 1zzd 10997 |
. . . 4
  |
83 | 2, 8 | fmpti 6068 |
. . . . 5
     |
84 | 83 | a1i 11 |
. . . 4
      |
85 | | peano2nn 10649 |
. . . . . . . 8
     |
86 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
                         |
87 | | simpr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
       |
88 | 87 | fveq2d 5892 |
. . . . . . . . . . . 12
 
               |
89 | 87 | oveq2d 6331 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
           |
90 | 89 | fveq2d 5892 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                   |
91 | 87 | oveq1d 6330 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
    
      |
92 | 91, 87 | oveq12d 6333 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                     |
93 | 90, 92 | oveq12d 6333 |
. . . . . . . . . . . 12
 
                                       |
94 | 88, 93 | oveq12d 6333 |
. . . . . . . . . . 11
 
                                                     |
95 | 85 | nnnn0d 10954 |
. . . . . . . . . . . . 13
     |
96 | | faccl 12501 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
        |
97 | | nncn 10645 |
. . . . . . . . . . . . 13
               |
98 | 95, 96, 97 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
99 | | 2cnd 10710 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
100 | | nncn 10645 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   |
101 | | 1cnd 9685 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   |
102 | 100, 101 | addcld 9688 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
103 | 99, 102 | mulcld 9689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
104 | 103 | sqrtcld 13548 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
105 | | ere 14192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
106 | 105 | recni 9681 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
107 | 106 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
108 | | 0re 9669 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
109 | | epos 14308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
110 | 108, 109 | gtneii 9772 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
111 | 110 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
112 | 102, 107,
111 | divcld 10411 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
113 | 112, 95 | expcld 12448 |
. . . . . . . . . . . . 13
             |
114 | 104, 113 | mulcld 9689 |
. . . . . . . . . . . 12
                       |
115 | | 2rp 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
116 | 115 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   |
117 | | nnre 10644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
118 | 108 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
119 | | 1red 9684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
120 | | 0le1 10165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 |
121 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
122 | | nnge1 10663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
123 | 118, 119,
117, 121, 122 | letrd 9818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
124 | 117, 123 | ge0p1rpd 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     |
125 | 116, 124 | rpmulcld 11386 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       |
126 | 125 | sqrtgt0d 13523 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
127 | 126 | gt0ne0d 10206 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
128 | 85 | nnne0d 10682 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
129 | 102, 107,
128, 111 | divne0d 10427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
130 | | nnz 10988 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
131 | 130 | peano2zd 11072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
132 | 112, 129,
131 | expne0d 12454 |
. . . . . . . . . . . . 13
             |
133 | 104, 113,
127, 132 | mulne0d 10292 |
. . . . . . . . . . . 12
                       |
134 | 98, 114, 133 | divcld 10411 |
. . . . . . . . . . 11
                               |
135 | 86, 94, 85, 134 | fvmptd 5977 |
. . . . . . . . . 10
                                     |
136 | | nnrp 11340 |
. . . . . . . . . . . 12
               |
137 | 95, 96, 136 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
         |
138 | 125 | rpsqrtcld 13522 |
. . . . . . . . . . . 12
           |
139 | | epr 14309 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 |
140 | 139 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
141 | 124, 140 | rpdivcld 11387 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
142 | 141, 131 | rpexpcld 12471 |
. . . . . . . . . . . 12
             |
143 | 138, 142 | rpmulcld 11386 |
. . . . . . . . . . 11
                       |
144 | 137, 143 | rpdivcld 11387 |
. . . . . . . . . 10
                               |
145 | 135, 144 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . . . 9
         |
146 | 145 | relogcld 23621 |
. . . . . . . 8
             |
147 | | nfcv 2603 |
. . . . . . . . 9
     |
148 | 21, 147 | nffv 5895 |
. . . . . . . . . 10
         |
149 | 19, 148 | nffv 5895 |
. . . . . . . . 9
             |
150 | | fveq2 5888 |
. . . . . . . . . 10
               |
151 | 150 | fveq2d 5892 |
. . . . . . . . 9
                       |
152 | 147, 149,
151, 2 | fvmptf 5989 |
. . . . . . . 8
                                 |
153 | 85, 146, 152 | syl2anc 671 |
. . . . . . 7
                   |
154 | 153, 146 | eqeltrd 2540 |
. . . . . 6
         |
155 | 83 | ffvelrni 6044 |
. . . . . 6
       |
156 | | eqid 2462 |
. . . . . . 7
                                             |
157 | 6, 2, 156 | stirlinglem11 37984 |
. . . . . 6
             |
158 | 154, 155,
157 | ltled 9809 |
. . . . 5
             |
159 | 158 | adantl 472 |
. . . 4
              |
160 | 56 | a1i 11 |
. . . 4
        |
161 | 81, 82, 84, 159, 160 | climinf 37722 |
. . 3
inf     |
162 | 161 | trud 1464 |
. 2
inf    |
163 | | breq2 4420 |
. . 3
 inf   
inf      |
164 | 163 | rspcev 3162 |
. 2
 inf  
inf   
   |
165 | 80, 162, 164 | mp2an 683 |
1
  |