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Theorem stirlinglem13 32029
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 5259 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
76stirlinglem2 32018 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
87relogcld 23133 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
105, 9eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1110rexlimiva 2945 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
124, 11sylbi 195 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1312ssriv 3503 . . 3  |-  ran  B  C_  RR
14 1nn 10567 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
156stirlinglem2 32018 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
16 relogcl 23088 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
18 nfcv 2619 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
19 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n log
20 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
216, 20nfcxfr 2617 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n A
2221, 18nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  1
)
2319, 22nffv 5879 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
24 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
2524fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
2618, 23, 25, 2fvmptf 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
2714, 17, 26mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
28 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3029eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3130rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
3214, 27, 31mp2an 672 . . . . 5  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
3327, 17eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
34 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
35 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
j
3621, 35nffv 5879 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  j
)
3719, 36nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
38 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
3938fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4034, 37, 39cbvmpt 4547 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
412, 40eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4241elrnmpt 5259 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
4333, 42ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4432, 43mpbir 209 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
4544ne0ii 3800 . . 3  |-  ran  B  =/=  (/)
46 4re 10633 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
47 4ne0 10653 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
4846, 47rereccli 10330 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
4933, 48resubcli 9900 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
50 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
516, 2, 50stirlinglem12 32028 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
5251rgen 2817 . . . . 5  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
53 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
5453ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
5554rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
5649, 52, 55mp2an 672 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
57 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
588rgen 2817 . . . . . . . . 9  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
592fnmpt 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
60 fvelrnb 5920 . . . . . . . . 9  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
6158, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
6257, 61sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
63 nfra1 2838 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
64 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  y  e.  ran  B
6563, 64nfan 1929 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
66 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ j  x  <_  y
67 simp1l 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
68 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
69 rsp 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
7067, 68, 69sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
71 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
7270, 71breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
73723exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
7465, 66, 73rexlimd 2941 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
7562, 74mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
7675ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
7776reximi 2925 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
7856, 77ax-mp 5 . . 3  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
79 infmrcl 10542 . . 3  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8013, 45, 78, 79mp3an 1324 . 2  |-  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR
81 nnuz 11141 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
82 1zzd 10916 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
832, 8fmpti 6055 . . . . 5  |-  B : NN
--> RR
8483a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  B : NN --> RR )
85 peano2nn 10568 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
866a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
8987oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
9089fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
9187oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
9291, 87oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
9390, 92oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9488, 93oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
9585nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
96 faccl 12365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
97 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
9895, 96, 973syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
99 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
100 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
101 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
102100, 101addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10399, 102mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
104103sqrtcld 13279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
105 ere 13835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
106105recni 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
108 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
109 epos 13951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
110108, 109gtneii 9713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
112102, 107, 111divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
113112, 95expcld 12312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
114104, 113mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
115 2rp 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
117 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
118108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
119 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
120 0le1 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
122 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
123118, 119, 117, 121, 122letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
124117, 123ge0p1rpd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
125116, 124rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
126125sqrtgt0d 13255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
127126gt0ne0d 10138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
12885nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
129102, 107, 128, 111divne0d 10357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
130 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
131130peano2zd 10993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
132112, 129, 131expne0d 12318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
133104, 113, 127, 132mulne0d 10222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
13498, 114, 133divcld 10341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
13586, 94, 85, 134fvmptd 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
136 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
13795, 96, 1363syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
138125rpsqrtcld 13254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
139 epr 13952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR+
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
141124, 140rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
142141, 131rpexpcld 12335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
143138, 142rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
144137, 143rpdivcld 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
145135, 144eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
146145relogcld 23133 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
147 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( j  +  1 )
14821, 147nffv 5879 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
14919, 148nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
150 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
151150fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
152147, 149, 151, 2fvmptf 5973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
15385, 146, 152syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
154153, 146eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
15583ffvelrni 6031 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
156 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1576, 2, 156stirlinglem11 32027 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
158154, 155, 157ltled 9750 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
159158adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
16056a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
16181, 82, 84, 159, 160climinf 31773 . . 3  |-  ( T. 
->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
162161trud 1404 . 2  |-  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )
163 breq2 4460 . . 3  |-  ( d  =  sup ( ran 
B ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( B 
~~>  d  <->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
164163rspcev 3210 . 2  |-  ( ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
16580, 162, 164mp2an 672 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   ^cexp 12168   !cfa 12355   sqrcsqrt 13077    ~~> cli 13318   _eceu 13809   logclog 23067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-e 13815  df-sin 13816  df-cos 13817  df-tan 13818  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ulm 22897  df-log 23069  df-cxp 23070
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  32030
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