Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1nn 10439 |
. . . . 5
 |
2 | | stirlinglem12.1 |
. . . . . . 7
                       |
3 | 2 | stirlinglem2 30013 |
. . . . . 6
       |
4 | | relogcl 22155 |
. . . . . 6
    
          |
5 | 1, 3, 4 | mp2b 10 |
. . . . 5
         |
6 | | nfcv 2614 |
. . . . . 6
   |
7 | | nfcv 2614 |
. . . . . . 7
   |
8 | | nfmpt1 4484 |
. . . . . . . . 9
                         |
9 | 2, 8 | nfcxfr 2612 |
. . . . . . . 8
   |
10 | 9, 6 | nffv 5801 |
. . . . . . 7
       |
11 | 7, 10 | nffv 5801 |
. . . . . 6
           |
12 | | fveq2 5794 |
. . . . . . 7
           |
13 | 12 | fveq2d 5798 |
. . . . . 6
                   |
14 | | stirlinglem12.2 |
. . . . . 6
           |
15 | 6, 11, 13, 14 | fvmptf 5894 |
. . . . 5
                         |
16 | 1, 5, 15 | mp2an 672 |
. . . 4
             |
17 | 16, 5 | eqeltri 2536 |
. . 3
     |
18 | 17 | a1i 11 |
. 2
       |
19 | 2 | stirlinglem2 30013 |
. . . . 5
       |
20 | 19 | relogcld 22200 |
. . . 4
           |
21 | | nfcv 2614 |
. . . . 5
   |
22 | 9, 21 | nffv 5801 |
. . . . . 6
       |
23 | 7, 22 | nffv 5801 |
. . . . 5
           |
24 | | fveq2 5794 |
. . . . . 6
           |
25 | 24 | fveq2d 5798 |
. . . . 5
                   |
26 | 21, 23, 25, 14 | fvmptf 5894 |
. . . 4
                         |
27 | 20, 26 | mpdan 668 |
. . 3
               |
28 | 27, 20 | eqeltrd 2540 |
. 2
       |
29 | | 4re 10504 |
. . . 4
 |
30 | | 4ne0 10524 |
. . . 4
 |
31 | 29, 30 | rereccli 10202 |
. . 3
   |
32 | 31 | a1i 11 |
. 2
     |
33 | | fveq2 5794 |
. . . . 5
           |
34 | | fveq2 5794 |
. . . . 5
               |
35 | | fveq2 5794 |
. . . . 5
           |
36 | | fveq2 5794 |
. . . . 5
           |
37 | | elnnuz 11003 |
. . . . . 6

      |
38 | 37 | biimpi 194 |
. . . . 5
       |
39 | | elfznn 11590 |
. . . . . . . 8
       |
40 | 2 | stirlinglem2 30013 |
. . . . . . . . . 10
       |
41 | 39, 40 | syl 16 |
. . . . . . . . 9
           |
42 | 41 | relogcld 22200 |
. . . . . . . 8
               |
43 | | nfcv 2614 |
. . . . . . . . 9
   |
44 | 9, 43 | nffv 5801 |
. . . . . . . . . 10
       |
45 | 7, 44 | nffv 5801 |
. . . . . . . . 9
           |
46 | | fveq2 5794 |
. . . . . . . . . 10
           |
47 | 46 | fveq2d 5798 |
. . . . . . . . 9
                   |
48 | 43, 45, 47, 14 | fvmptf 5894 |
. . . . . . . 8
                         |
49 | 39, 42, 48 | syl2anc 661 |
. . . . . . 7
                   |
50 | 49 | adantl 466 |
. . . . . 6
 
                   |
51 | 41 | rpcnd 11135 |
. . . . . . . 8
           |
52 | 51 | adantl 466 |
. . . . . . 7
 
           |
53 | 40 | rpne0d 11138 |
. . . . . . . . 9
       |
54 | 39, 53 | syl 16 |
. . . . . . . 8
           |
55 | 54 | adantl 466 |
. . . . . . 7
 
           |
56 | 52, 55 | logcld 22150 |
. . . . . 6
 
               |
57 | 50, 56 | eqeltrd 2540 |
. . . . 5
 
           |
58 | 33, 34, 35, 36, 38, 57 | fsumtscopo 13378 |
. . . 4
   ..^                          |
59 | | nnz 10774 |
. . . . . 6
   |
60 | | fzoval 11666 |
. . . . . 6
  ..^    
    |
61 | 59, 60 | syl 16 |
. . . . 5
  ..^    
    |
62 | 61 | sumeq1d 13291 |
. . . 4
   ..^                  
                 |
63 | 58, 62 | eqtr3d 2495 |
. . 3
                                 |
64 | | fzfid 11907 |
. . . . 5
         |
65 | | elfznn 11590 |
. . . . . . . 8
         |
66 | 65 | adantl 466 |
. . . . . . 7
 
         |
67 | 2 | stirlinglem2 30013 |
. . . . . . . . . 10
       |
68 | 67 | relogcld 22200 |
. . . . . . . . 9
           |
69 | | nfcv 2614 |
. . . . . . . . . 10
   |
70 | 9, 69 | nffv 5801 |
. . . . . . . . . . 11
       |
71 | 7, 70 | nffv 5801 |
. . . . . . . . . 10
           |
72 | | fveq2 5794 |
. . . . . . . . . . 11
           |
73 | 72 | fveq2d 5798 |
. . . . . . . . . 10
                   |
74 | 69, 71, 73, 14 | fvmptf 5894 |
. . . . . . . . 9
                         |
75 | 68, 74 | mpdan 668 |
. . . . . . . 8
               |
76 | 75, 68 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . 7
       |
77 | 66, 76 | syl 16 |
. . . . . 6
 
             |
78 | | peano2nn 10440 |
. . . . . . . . . 10
     |
79 | 2 | stirlinglem2 30013 |
. . . . . . . . . . . 12
           |
80 | 78, 79 | syl 16 |
. . . . . . . . . . 11
         |
81 | 80 | relogcld 22200 |
. . . . . . . . . 10
             |
82 | | nfcv 2614 |
. . . . . . . . . . 11
     |
83 | 9, 82 | nffv 5801 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
84 | 7, 83 | nffv 5801 |
. . . . . . . . . . 11
             |
85 | | fveq2 5794 |
. . . . . . . . . . . 12
               |
86 | 85 | fveq2d 5798 |
. . . . . . . . . . 11
                       |
87 | 82, 84, 86, 14 | fvmptf 5894 |
. . . . . . . . . 10
                                 |
88 | 78, 81, 87 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . 9
                   |
89 | 88, 81 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . . 8
         |
90 | 65, 89 | syl 16 |
. . . . . . 7
               |
91 | 90 | adantl 466 |
. . . . . 6
 
               |
92 | 77, 91 | resubcld 9882 |
. . . . 5
 
                     |
93 | 64, 92 | fsumrecl 13324 |
. . . 4
     
                 |
94 | 31 | a1i 11 |
. . . . . 6
 
           |
95 | 65 | nnred 10443 |
. . . . . . . . 9
         |
96 | | 1re 9491 |
. . . . . . . . . . 11
 |
97 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
         |
98 | 95, 97 | readdcld 9519 |
. . . . . . . . 9
           |
99 | 95, 98 | remulcld 9520 |
. . . . . . . 8
             |
100 | 95 | recnd 9518 |
. . . . . . . . 9
         |
101 | | ax-1cn 9446 |
. . . . . . . . . . 11
 |
102 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
         |
103 | 100, 102 | addcld 9511 |
. . . . . . . . 9
           |
104 | 65 | nnne0d 10472 |
. . . . . . . . 9
         |
105 | 78 | nnne0d 10472 |
. . . . . . . . . 10
     |
106 | 65, 105 | syl 16 |
. . . . . . . . 9
           |
107 | 100, 103,
104, 106 | mulne0d 10094 |
. . . . . . . 8
             |
108 | 99, 107 | rereccld 10264 |
. . . . . . 7
               |
109 | 108 | adantl 466 |
. . . . . 6
 
               |
110 | 94, 109 | remulcld 9520 |
. . . . 5
 
                   |
111 | 64, 110 | fsumrecl 13324 |
. . . 4
     
               |
112 | | eqid 2452 |
. . . . . . 7
                                             |
113 | | eqid 2452 |
. . . . . . 7
                                 |
114 | 2, 14, 112, 113 | stirlinglem10 30021 |
. . . . . 6
                         |
115 | 66, 114 | syl 16 |
. . . . 5
 
                  
            |
116 | 64, 92, 110, 115 | fsumle 13375 |
. . . 4
     
              
    
               |
117 | 64, 109 | fsumrecl 13324 |
. . . . . 6
     
           |
118 | 96 | a1i 11 |
. . . . . 6
   |
119 | | 4pos 10523 |
. . . . . . . . 9
 |
120 | 29, 119 | elrpii 11100 |
. . . . . . . 8
 |
121 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . 7
   |
122 | | 0re 9492 |
. . . . . . . . 9
 |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   |
124 | | 0lt1 9968 |
. . . . . . . . 9
 |
125 | 124 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   |
126 | 123, 118,
125 | ltled 9628 |
. . . . . . 7
   |
127 | 118, 121,
126 | divge0d 11169 |
. . . . . 6
     |
128 | | eqid 2452 |
. . . . . . . . . 10
         |
129 | | nnuz 11002 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
130 | 129 | uztrn2 10984 |
. . . . . . . . . . 11
 
       |
131 | | stirlinglem12.3 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
           |
133 | | simpr 461 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
   |
134 | 133 | oveq1d 6210 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
       |
135 | 133, 134 | oveq12d 6213 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
           |
136 | 135 | oveq2d 6211 |
. . . . . . . . . . . 12
 
               |
137 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
138 | | nnre 10435 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
139 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
140 | 138, 139 | readdcld 9519 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
141 | 138, 140 | remulcld 9520 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
142 | | nncn 10436 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
143 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
144 | 142, 143 | addcld 9511 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
145 | | nnne0 10460 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
146 | 142, 144,
145, 105 | mulne0d 10094 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
147 | 141, 146 | rereccld 10264 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
148 | 132, 136,
137, 147 | fvmptd 5883 |
. . . . . . . . . . 11
             |
149 | 130, 148 | syl 16 |
. . . . . . . . . 10
 
                 |
150 | 130 | nnred 10443 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
151 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
       |
152 | 150, 151 | readdcld 9519 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
153 | 150, 152 | remulcld 9520 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
154 | 150 | recnd 9518 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
155 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
       |
156 | 154, 155 | addcld 9511 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
157 | 130 | nnne0d 10472 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
158 | 130, 105 | syl 16 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
159 | 154, 156,
157, 158 | mulne0d 10094 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
160 | 153, 159 | rereccld 10264 |
. . . . . . . . . 10
 
             |
161 | | seqeq1 11921 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
162 | 131 | trireciplem 13437 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    |
163 | | climrel 13083 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
164 | 163 | releldmi 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       |
165 | 162, 164 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    |
166 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
     |
167 | 161, 166 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
168 | 167 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
 
     |
169 | | simpl 457 |
. . . . . . . . . . . 12
 

  |
170 | | simpr 461 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

  |
171 | | elnn1uz2 11037 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16

        |
172 | 169, 171 | sylib 196 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

        |
173 | 172 | ord 377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 


       |
174 | 170, 173 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

      |
175 | | uz2m1nn 11035 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
    |
176 | 174, 175 | syl 16 |
. . . . . . . . . . . 12
 

    |
177 | | nncn 10436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
178 | 177 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  
    |
179 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  
    |
180 | 178, 179 | npcand 9829 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
  
        |
181 | 180 | eqcomd 2460 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  
        |
182 | 181 | seqeq1d 11924 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
              |
183 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
   |
184 | 147 | recnd 9518 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
         |
185 | 148, 184 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
186 | 185 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
       |
187 | 162 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
        |
188 | 129, 183,
186, 187 | clim2ser 13245 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                      |
189 | 188 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
                     |
190 | 182, 189 | eqbrtrd 4415 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
                 |
191 | 163 | releldmi 5179 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
    |
192 | 190, 191 | syl 16 |
. . . . . . . . . . . 12
  
      |
193 | 169, 176,
192 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . . 11
 

    |
194 | 168, 193 | pm2.61dan 789 |
. . . . . . . . . 10
     |
195 | 128, 59, 149, 160, 194 | isumrecl 13345 |
. . . . . . . . 9
               |
196 | 130 | nnrpd 11132 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
197 | 196 | rpge0d 11137 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
    
  |
198 | 150, 197 | ge0p1rpd 11159 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
199 | 196, 198 | rpmulcld 11149 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
200 | 126 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . 11
 
    
  |
201 | 151, 199,
200 | divge0d 11169 |
. . . . . . . . . 10
 
    
        |
202 | 128, 59, 149, 160, 194, 201 | isumge0 13346 |
. . . . . . . . 9
               |
203 | 123, 195,
117, 202 | leadd2dd 10060 |
. . . . . . . 8
                                               |
204 | 117 | recnd 9518 |
. . . . . . . . . 10
     
           |
205 | 204 | addid1d 9675 |
. . . . . . . . 9
                                 |
206 | 205 | eqcomd 2460 |
. . . . . . . 8
     
                           |
207 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
   |
208 | 148 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
 
             |
209 | 142 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
 
   |
210 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
 
   |
211 | 209, 210 | addcld 9511 |
. . . . . . . . . . 11
 
     |
212 | 209, 211 | mulcld 9512 |
. . . . . . . . . 10
 
       |
213 | 145 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
 
   |
214 | 105 | adantl 466 |
. . . . . . . . . . 11
 
     |
215 | 209, 211,
213, 214 | mulne0d 10094 |
. . . . . . . . . 10
 
       |
216 | 212, 215 | reccld 10206 |
. . . . . . . . 9
 
         |
217 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
     |
218 | 129, 128,
207, 208, 216, 217 | isumsplit 13416 |
. . . . . . . 8
                                      |
219 | 203, 206,
218 | 3brtr4d 4425 |
. . . . . . 7
     
                  |
220 | | 1z 10782 |
. . . . . . . . . . 11
 |
221 | 220 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
  |
222 | 148 | adantl 466 |
. . . . . . . . . 10
              |
223 | 184 | adantl 466 |
. . . . . . . . . 10
          |
224 | 162 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
     |
225 | 129, 221,
222, 223, 224 | isumclim 13337 |
. . . . . . . . 9
         |
226 | 225 | trud 1379 |
. . . . . . . 8
        |
227 | 226 | a1i 11 |
. . . . . . 7
          |
228 | 219, 227 | breqtrd 4419 |
. . . . . 6
     
           |
229 | 117, 118,
32, 127, 228 | lemul2ad 10379 |
. . . . 5
        
                |
230 | | 4cn 10505 |
. . . . . . . 8
 |
231 | 230 | a1i 11 |
. . . . . . 7
   |
232 | 119 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   |
233 | 232 | gt0ne0d 10010 |
. . . . . . 7
   |
234 | 231, 233 | reccld 10206 |
. . . . . 6
     |
235 | 109 | recnd 9518 |
. . . . . 6
 
               |
236 | 64, 234, 235 | fsummulc2 13364 |
. . . . 5
        
                              |
237 | 234 | mulid1d 9509 |
. . . . 5
         |
238 | 229, 236,
237 | 3brtr3d 4424 |
. . . 4
     
                 |
239 | 93, 111, 32, 116, 238 | letrd 9634 |
. . 3
     
              
    |
240 | 63, 239 | eqbrtrd 4415 |
. 2
               |
241 | 18, 28, 32, 240 | subled 10048 |
1
               |