Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem12 Unicode version

Theorem stirlinglem12 27701
 Description: The sequence is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1
stirlinglem12.2
stirlinglem12.3
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9967 . . . . 5
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7
32stirlinglem2 27691 . . . . . 6
4 relogcl 20426 . . . . . 6
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5
6 nfcv 2540 . . . . . 6
7 nfcv 2540 . . . . . . 7
8 nfmpt1 4258 . . . . . . . . 9
92, 8nfcxfr 2537 . . . . . . . 8
109, 6nffv 5694 . . . . . . 7
117, 10nffv 5694 . . . . . 6
12 fveq2 5687 . . . . . . 7
1312fveq2d 5691 . . . . . 6
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6
156, 11, 13, 14fvmptf 5780 . . . . 5
161, 5, 15mp2an 654 . . . 4
1716, 5eqeltri 2474 . . 3
1817a1i 11 . 2
192stirlinglem2 27691 . . . . 5
2019relogcld 20471 . . . 4
21 nfcv 2540 . . . . 5
229, 21nffv 5694 . . . . . 6
237, 22nffv 5694 . . . . 5
24 fveq2 5687 . . . . . 6
2524fveq2d 5691 . . . . 5
2621, 23, 25, 14fvmptf 5780 . . . 4
2720, 26mpdan 650 . . 3
2827, 20eqeltrd 2478 . 2
29 4re 10029 . . . 4
30 0re 9047 . . . . 5
31 4pos 10042 . . . . 5
3230, 31gtneii 9141 . . . 4
3329, 32rereccli 9735 . . 3
3433a1i 11 . 2
35 fveq2 5687 . . . . 5
36 fveq2 5687 . . . . 5
37 fveq2 5687 . . . . 5
38 fveq2 5687 . . . . 5
39 elnnuz 10478 . . . . . 6
4039biimpi 187 . . . . 5
41 elfznn 11036 . . . . . . . 8
422stirlinglem2 27691 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4443relogcld 20471 . . . . . . . 8
45 nfcv 2540 . . . . . . . . 9
469, 45nffv 5694 . . . . . . . . . 10
477, 46nffv 5694 . . . . . . . . 9
48 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
4948fveq2d 5691 . . . . . . . . 9
5045, 47, 49, 14fvmptf 5780 . . . . . . . 8
5141, 44, 50syl2anc 643 . . . . . . 7
5251adantl 453 . . . . . 6
5343rpcnd 10606 . . . . . . . 8
5453adantl 453 . . . . . . 7
5542rpne0d 10609 . . . . . . . . 9
5641, 55syl 16 . . . . . . . 8
5756adantl 453 . . . . . . 7
5854, 57logcld 20421 . . . . . 6
5952, 58eqeltrd 2478 . . . . 5
6035, 36, 37, 38, 40, 59fsumtscopo 12536 . . . 4 ..^
61 nnz 10259 . . . . . 6
62 fzoval 11096 . . . . . 6 ..^
6361, 62syl 16 . . . . 5 ..^
6463sumeq1d 12450 . . . 4 ..^
6560, 64eqtr3d 2438 . . 3
66 fzfid 11267 . . . . 5
67 elfznn 11036 . . . . . . . 8
6867adantl 453 . . . . . . 7
692stirlinglem2 27691 . . . . . . . . . 10
7069relogcld 20471 . . . . . . . . 9
71 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10
729, 71nffv 5694 . . . . . . . . . . 11
737, 72nffv 5694 . . . . . . . . . 10
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10
7671, 73, 75, 14fvmptf 5780 . . . . . . . . 9
7770, 76mpdan 650 . . . . . . . 8
7877, 70eqeltrd 2478 . . . . . . 7
7968, 78syl 16 . . . . . 6
80 peano2nn 9968 . . . . . . . . . 10
812stirlinglem2 27691 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11
8382relogcld 20471 . . . . . . . . . 10
84 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
859, 84nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12
867, 85nffv 5694 . . . . . . . . . . 11
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
8887fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11
8984, 86, 88, 14fvmptf 5780 . . . . . . . . . 10
9080, 83, 89syl2anc 643 . . . . . . . . 9
9190, 83eqeltrd 2478 . . . . . . . 8
9267, 91syl 16 . . . . . . 7
9392adantl 453 . . . . . 6
9479, 93resubcld 9421 . . . . 5
9566, 94fsumrecl 12483 . . . 4
9633a1i 11 . . . . . 6
9767nnred 9971 . . . . . . . . 9
98 1re 9046 . . . . . . . . . . 11
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10
10097, 99readdcld 9071 . . . . . . . . 9
10197, 100remulcld 9072 . . . . . . . 8
10297recnd 9070 . . . . . . . . 9
103 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10
105102, 104addcld 9063 . . . . . . . . 9
10667nnne0d 10000 . . . . . . . . 9
10780nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10
10867, 107syl 16 . . . . . . . . 9
109102, 105, 106, 108mulne0d 9630 . . . . . . . 8
110101, 109rereccld 9797 . . . . . . 7
111110adantl 453 . . . . . 6
11296, 111remulcld 9072 . . . . 5
11366, 112fsumrecl 12483 . . . 4
114 eqid 2404 . . . . . . 7
115 eqid 2404 . . . . . . 7
1162, 14, 114, 115stirlinglem10 27699 . . . . . 6
11768, 116syl 16 . . . . 5
11866, 94, 112, 117fsumle 12533 . . . 4
11966, 111fsumrecl 12483 . . . . . 6
12098a1i 11 . . . . . 6
12129, 31elrpii 10571 . . . . . . . 8
122121a1i 11 . . . . . . 7
12330a1i 11 . . . . . . . 8
124 0lt1 9506 . . . . . . . . 9
125124a1i 11 . . . . . . . 8
126123, 120, 125ltled 9177 . . . . . . 7
127120, 122, 126divge0d 10640 . . . . . 6
128 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
129 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12
130129uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11
131 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
133 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
134133oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14
135133, 134oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12
137 id 20 . . . . . . . . . . . 12
138 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14
13998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
140138, 139readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14
141138, 140remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13
142 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . 14
143103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
144142, 143addcld 9063 . . . . . . . . . . . . . 14
145 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14
146142, 144, 145, 107mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . . 13
147141, 146rereccld 9797 . . . . . . . . . . . 12
148132, 136, 137, 147fvmptd 5769 . . . . . . . . . . 11
149130, 148syl 16 . . . . . . . . . 10
150130nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12
15198a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 151readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12
153150, 152remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11
154150recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
155103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
156154, 155addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12
157130nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12
158130, 107syl 16 . . . . . . . . . . . 12
159154, 156, 157, 158mulne0d 9630 . . . . . . . . . . 11
160153, 159rereccld 9797 . . . . . . . . . 10
161 seqeq1 11281 . . . . . . . . . . . . 13
162131trireciplem 12596 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 climrel 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164163releldmi 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15
165162, 164ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
167161, 166eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12
168167adantl 453 . . . . . . . . . . 11
169 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12
170 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
171 elnn1uz2 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172169, 171sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14
174170, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
175 uz2m1nn 10506 . . . . . . . . . . . . 13
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . 12
177 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178177adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
179103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180178, 179npcand 9371 . . . . . . . . . . . . . . . 16
181180eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15
182181seqeq1d 11284 . . . . . . . . . . . . . 14
183 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184147recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185148, 184eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
186185adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188129, 183, 186, 187clim2ser 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15
189188adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
190182, 189eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13
191163releldmi 5065 . . . . . . . . . . . . 13
192190, 191syl 16 . . . . . . . . . . . 12
193169, 176, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
194168, 193pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10
195128, 61, 149, 160, 194isumrecl 12504 . . . . . . . . 9
196130nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12
197196rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . 13
198150, 197ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . 12
199196, 198rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . 11
200126adantr 452 . . . . . . . . . . 11
201151, 199, 200divge0d 10640 . . . . . . . . . 10
202128, 61, 149, 160, 194, 201isumge0 12505 . . . . . . . . 9
203123, 195, 119, 202leadd2dd 9597 . . . . . . . 8
204119recnd 9070 . . . . . . . . . 10
205204addid1d 9222 . . . . . . . . 9
206205eqcomd 2409 . . . . . . . 8
207 id 20 . . . . . . . . 9
208148adantl 453 . . . . . . . . 9
209142adantl 453 . . . . . . . . . . 11
210103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
211209, 210addcld 9063 . . . . . . . . . . 11
212209, 211mulcld 9064 . . . . . . . . . 10
213145adantl 453 . . . . . . . . . . 11
214107adantl 453 . . . . . . . . . . 11
215209, 211, 213, 214mulne0d 9630 . . . . . . . . . 10
216212, 215reccld 9739 . . . . . . . . 9
217165a1i 11 . . . . . . . . 9
218129, 128, 207, 208, 216, 217isumsplit 12575 . . . . . . . 8
219203, 206, 2183brtr4d 4202 . . . . . . 7
220 1z 10267 . . . . . . . . . . 11
221220a1i 11 . . . . . . . . . 10
222148adantl 453 . . . . . . . . . 10
223184adantl 453 . . . . . . . . . 10
224162a1i 11 . . . . . . . . . 10
225129, 221, 222, 223, 224isumclim 12496 . . . . . . . . 9
226225trud 1329 . . . . . . . 8
227226a1i 11 . . . . . . 7
228219, 227breqtrd 4196 . . . . . 6
229119, 120, 34, 127, 228lemul2ad 9907 . . . . 5
230 4cn 10030 . . . . . . . 8
231230a1i 11 . . . . . . 7
23231a1i 11 . . . . . . . 8
233232gt0ne0d 9547 . . . . . . 7
234231, 233reccld 9739 . . . . . 6
235111recnd 9070 . . . . . 6
23666, 234, 235fsummulc2 12522 . . . . 5
237234mulid1d 9061 . . . . 5
238229, 236, 2373brtr3d 4201 . . . 4
23995, 113, 34, 118, 238letrd 9183 . . 3
24065, 239eqbrtrd 4192 . 2
24118, 28, 34, 240subled 9585 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 358   wa 359   wtru 1322   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  c4 10007  cz 10238  cuz 10444  crp 10568  cfz 10999  ..^cfzo 11090   cseq 11278  cexp 11337  cfa 11521  csqr 11993   cli 12233  csu 12434  ceu 12620  clog 20405 This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27702 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408
 Copyright terms: Public domain W3C validator