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Theorem stirlinglem12 37766
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10620 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 37756 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
4 relogcl 23511 . . . . . 6  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
6 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ n
1
7 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
8 nfmpt1 4510 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
92, 8nfcxfr 2582 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
109, 6nffv 5884 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  1
)
117, 10nffv 5884 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
12 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1312fveq2d 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
156, 11, 13, 14fvmptf 5978 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
161, 5, 15mp2an 676 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
1716, 5eqeltri 2506 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
1817a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
192stirlinglem2 37756 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2019relogcld 23558 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
21 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ n N
229, 21nffv 5884 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
237, 22nffv 5884 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
24 fveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2524fveq2d 5881 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2621, 23, 25, 14fvmptf 5978 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
2720, 26mpdan 672 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2827, 20eqeltrd 2510 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
29 4re 10686 . . . 4  |-  4  e.  RR
30 4ne0 10706 . . . 4  |-  4  =/=  0
3129, 30rereccli 10372 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3231a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
33 fveq2 5877 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
34 fveq2 5877 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
35 fveq2 5877 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
36 fveq2 5877 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
37 elnnuz 11195 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837biimpi 197 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elfznn 11828 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
402stirlinglem2 37756 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4241relogcld 23558 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
43 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
449, 43nffv 5884 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
457, 44nffv 5884 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
46 fveq2 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
4746fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
4843, 45, 47, 14fvmptf 5978 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
4939, 42, 48syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5049adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
5141rpcnd 11343 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5251adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5340rpne0d 11346 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5439, 53syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5554adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
5652, 55logcld 23506 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
5750, 56eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
5833, 34, 35, 36, 38, 57telfsumo 13849 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
59 nnz 10959 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
60 fzoval 11921 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6159, 60syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6261sumeq1d 13754 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
6358, 62eqtr3d 2465 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
64 fzfid 12185 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
65 elfznn 11828 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
6665adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
672stirlinglem2 37756 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
6867relogcld 23558 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
69 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
709, 69nffv 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
717, 70nffv 5884 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
72 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
7372fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7469, 71, 73, 14fvmptf 5978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
7568, 74mpdan 672 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7675, 68eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7766, 76syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
78 peano2nn 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
792stirlinglem2 37756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8180relogcld 23558 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
82 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
839, 82nffv 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
847, 83nffv 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
85 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
8685fveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8782, 84, 86, 14fvmptf 5978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
8878, 81, 87syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8988, 81eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9065, 89syl 17 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9190adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9277, 91resubcld 10047 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9364, 92fsumrecl 13787 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9431a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
9565nnred 10624 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
96 1red 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
9795, 96readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
9895, 97remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9995recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
100 1cnd 9659 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
10199, 100addcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10265nnne0d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
10378nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10465, 103syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10599, 101, 102, 104mulne0d 10264 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
10698, 105rereccld 10434 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
107106adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
10894, 107remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
10964, 108fsumrecl 13787 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
110 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
111 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1122, 14, 110, 111stirlinglem10 37764 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11366, 112syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
11464, 92, 108, 113fsumle 13846 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11564, 107fsumrecl 13787 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
116 1red 9658 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
117 4pos 10705 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
11829, 117elrpii 11305 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
120 0red 9644 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
121 0lt1 10136 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
122121a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
123120, 116, 122ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
124116, 119, 123divge0d 11378 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
125 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
126 eluznn 11229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
127 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
129 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
130129oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
131129, 130oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
132131oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
133 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
134 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
135 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
136134, 135readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
137134, 136remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
138 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
139 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
140138, 139addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
141 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
142138, 140, 141, 103mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
143137, 142rereccld 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
144128, 132, 133, 143fvmptd 5966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
145126, 144syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
146126nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
147 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
148146, 147readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
149146, 148remulcld 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
150146recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
151 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
152150, 151addcld 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
153126nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
154126, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
155150, 152, 153, 154mulne0d 10264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
156149, 155rereccld 10434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
157 seqeq1 12215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq N (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  F ) )
158127trireciplem 13907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
159 climrel 13543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ~~>
160159releldmi 5086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
161158, 160mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
162157, 161eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
163162adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
164 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
165 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
166 elnn1uz2 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
167164, 166sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
168167ord 378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
169165, 168mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
170 uz2m1nn 11233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
172 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
173172adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
174 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
175173, 174npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
176175eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
177176seqeq1d 12218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  =  seq ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
178 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
179 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
180143recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
181144, 180eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
182181adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
183158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
184178, 179, 182, 183clim2ser 13705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
185184adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
186177, 185eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
187159releldmi 5086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
189164, 171, 188syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
190163, 189pm2.61dan 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
191125, 59, 145, 156, 190isumrecl 13813 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
192126nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
193192rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
194146, 193ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
195192, 194rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
196123adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
197147, 195, 196divge0d 11378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
198125, 59, 145, 156, 190, 197isumge0 13814 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
199120, 191, 115, 198leadd2dd 10228 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
200115recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
201200addid1d 9833 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
202201eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
203 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
204144adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
205138adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
206 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
207205, 206addcld 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
208205, 207mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
209141adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
210103adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
211205, 207, 209, 210mulne0d 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
212208, 211reccld 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
213158, 160mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
214178, 125, 203, 204, 212, 213isumsplit 13885 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
215199, 202, 2143brtr4d 4451 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
216 1zzd 10968 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
217144adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
218180adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
219158a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
220178, 216, 217, 218, 219isumclim 13805 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
221220trud 1446 . . . . . . 7  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
222215, 221syl6breq 4460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
223115, 116, 32, 124, 222lemul2ad 10547 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
224 4cn 10687 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
225224a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
226117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
227226gt0ne0d 10178 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
228225, 227reccld 10376 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
229107recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
23064, 228, 229fsummulc2 13832 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
231228mulid1d 9660 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
232223, 230, 2313brtr3d 4450 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
23393, 109, 32, 114, 232letrd 9792 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
23463, 233eqbrtrd 4441 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
23518, 28, 32, 234subled 10216 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915    seqcseq 12212   ^cexp 12271   !cfa 12458   sqrcsqrt 13284    ~~> cli 13535   sum_csu 13739   _eceu 14102   logclog 23490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-tan 14112  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-ulm 23318  df-log 23492  df-cxp 23493
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  37767
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