Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1nn 10627 |
. . . . 5
 |
2 | | stirlinglem12.1 |
. . . . . . 7
                       |
3 | 2 | stirlinglem2 37947 |
. . . . . 6
       |
4 | | relogcl 23537 |
. . . . . 6
    
          |
5 | 1, 3, 4 | mp2b 10 |
. . . . 5
         |
6 | | nfcv 2594 |
. . . . . 6
   |
7 | | nfcv 2594 |
. . . . . . 7
   |
8 | | nfmpt1 4495 |
. . . . . . . . 9
                         |
9 | 2, 8 | nfcxfr 2592 |
. . . . . . . 8
   |
10 | 9, 6 | nffv 5877 |
. . . . . . 7
       |
11 | 7, 10 | nffv 5877 |
. . . . . 6
           |
12 | | fveq2 5870 |
. . . . . . 7
           |
13 | 12 | fveq2d 5874 |
. . . . . 6
                   |
14 | | stirlinglem12.2 |
. . . . . 6
           |
15 | 6, 11, 13, 14 | fvmptf 5971 |
. . . . 5
                         |
16 | 1, 5, 15 | mp2an 679 |
. . . 4
             |
17 | 16, 5 | eqeltri 2527 |
. . 3
     |
18 | 17 | a1i 11 |
. 2
       |
19 | 2 | stirlinglem2 37947 |
. . . . 5
       |
20 | 19 | relogcld 23584 |
. . . 4
           |
21 | | nfcv 2594 |
. . . . 5
   |
22 | 9, 21 | nffv 5877 |
. . . . . 6
       |
23 | 7, 22 | nffv 5877 |
. . . . 5
           |
24 | | fveq2 5870 |
. . . . . 6
           |
25 | 24 | fveq2d 5874 |
. . . . 5
                   |
26 | 21, 23, 25, 14 | fvmptf 5971 |
. . . 4
                         |
27 | 20, 26 | mpdan 675 |
. . 3
               |
28 | 27, 20 | eqeltrd 2531 |
. 2
       |
29 | | 4re 10693 |
. . . 4
 |
30 | | 4ne0 10713 |
. . . 4
 |
31 | 29, 30 | rereccli 10379 |
. . 3
   |
32 | 31 | a1i 11 |
. 2
     |
33 | | fveq2 5870 |
. . . . 5
           |
34 | | fveq2 5870 |
. . . . 5
               |
35 | | fveq2 5870 |
. . . . 5
           |
36 | | fveq2 5870 |
. . . . 5
           |
37 | | elnnuz 11202 |
. . . . . 6

      |
38 | 37 | biimpi 198 |
. . . . 5
       |
39 | | elfznn 11835 |
. . . . . . . 8
       |
40 | 2 | stirlinglem2 37947 |
. . . . . . . . . 10
       |
41 | 39, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
           |
42 | 41 | relogcld 23584 |
. . . . . . . 8
               |
43 | | nfcv 2594 |
. . . . . . . . 9
   |
44 | 9, 43 | nffv 5877 |
. . . . . . . . . 10
       |
45 | 7, 44 | nffv 5877 |
. . . . . . . . 9
           |
46 | | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . 10
           |
47 | 46 | fveq2d 5874 |
. . . . . . . . 9
                   |
48 | 43, 45, 47, 14 | fvmptf 5971 |
. . . . . . . 8
                         |
49 | 39, 42, 48 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
                   |
50 | 49 | adantl 468 |
. . . . . 6
 
                   |
51 | 41 | rpcnd 11350 |
. . . . . . . 8
           |
52 | 51 | adantl 468 |
. . . . . . 7
 
           |
53 | 40 | rpne0d 11353 |
. . . . . . . . 9
       |
54 | 39, 53 | syl 17 |
. . . . . . . 8
           |
55 | 54 | adantl 468 |
. . . . . . 7
 
           |
56 | 52, 55 | logcld 23532 |
. . . . . 6
 
               |
57 | 50, 56 | eqeltrd 2531 |
. . . . 5
 
           |
58 | 33, 34, 35, 36, 38, 57 | telfsumo 13874 |
. . . 4
   ..^                          |
59 | | nnz 10966 |
. . . . . 6
   |
60 | | fzoval 11928 |
. . . . . 6
  ..^    
    |
61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . 5
  ..^    
    |
62 | 61 | sumeq1d 13779 |
. . . 4
   ..^                  
                 |
63 | 58, 62 | eqtr3d 2489 |
. . 3
                                 |
64 | | fzfid 12193 |
. . . . 5
         |
65 | | elfznn 11835 |
. . . . . . . 8
         |
66 | 65 | adantl 468 |
. . . . . . 7
 
         |
67 | 2 | stirlinglem2 37947 |
. . . . . . . . . 10
       |
68 | 67 | relogcld 23584 |
. . . . . . . . 9
           |
69 | | nfcv 2594 |
. . . . . . . . . 10
   |
70 | 9, 69 | nffv 5877 |
. . . . . . . . . . 11
       |
71 | 7, 70 | nffv 5877 |
. . . . . . . . . 10
           |
72 | | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . . 11
           |
73 | 72 | fveq2d 5874 |
. . . . . . . . . 10
                   |
74 | 69, 71, 73, 14 | fvmptf 5971 |
. . . . . . . . 9
                         |
75 | 68, 74 | mpdan 675 |
. . . . . . . 8
               |
76 | 75, 68 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . 7
       |
77 | 66, 76 | syl 17 |
. . . . . 6
 
             |
78 | | peano2nn 10628 |
. . . . . . . . . 10
     |
79 | 2 | stirlinglem2 37947 |
. . . . . . . . . . . 12
           |
80 | 78, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
         |
81 | 80 | relogcld 23584 |
. . . . . . . . . 10
             |
82 | | nfcv 2594 |
. . . . . . . . . . 11
     |
83 | 9, 82 | nffv 5877 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
84 | 7, 83 | nffv 5877 |
. . . . . . . . . . 11
             |
85 | | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . . . 12
               |
86 | 85 | fveq2d 5874 |
. . . . . . . . . . 11
                       |
87 | 82, 84, 86, 14 | fvmptf 5971 |
. . . . . . . . . 10
                                 |
88 | 78, 81, 87 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . 9
                   |
89 | 88, 81 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . . 8
         |
90 | 65, 89 | syl 17 |
. . . . . . 7
               |
91 | 90 | adantl 468 |
. . . . . 6
 
               |
92 | 77, 91 | resubcld 10054 |
. . . . 5
 
                     |
93 | 64, 92 | fsumrecl 13812 |
. . . 4
     
                 |
94 | 31 | a1i 11 |
. . . . . 6
 
           |
95 | 65 | nnred 10631 |
. . . . . . . . 9
         |
96 | | 1red 9663 |
. . . . . . . . . 10
         |
97 | 95, 96 | readdcld 9675 |
. . . . . . . . 9
           |
98 | 95, 97 | remulcld 9676 |
. . . . . . . 8
             |
99 | 95 | recnd 9674 |
. . . . . . . . 9
         |
100 | | 1cnd 9664 |
. . . . . . . . . 10
         |
101 | 99, 100 | addcld 9667 |
. . . . . . . . 9
           |
102 | 65 | nnne0d 10661 |
. . . . . . . . 9
         |
103 | 78 | nnne0d 10661 |
. . . . . . . . . 10
     |
104 | 65, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
           |
105 | 99, 101, 102, 104 | mulne0d 10271 |
. . . . . . . 8
             |
106 | 98, 105 | rereccld 10441 |
. . . . . . 7
               |
107 | 106 | adantl 468 |
. . . . . 6
 
               |
108 | 94, 107 | remulcld 9676 |
. . . . 5
 
                   |
109 | 64, 108 | fsumrecl 13812 |
. . . 4
     
               |
110 | | eqid 2453 |
. . . . . . 7
                                             |
111 | | eqid 2453 |
. . . . . . 7
                                 |
112 | 2, 14, 110, 111 | stirlinglem10 37955 |
. . . . . 6
                         |
113 | 66, 112 | syl 17 |
. . . . 5
 
                  
            |
114 | 64, 92, 108, 113 | fsumle 13871 |
. . . 4
     
              
    
               |
115 | 64, 107 | fsumrecl 13812 |
. . . . . 6
     
           |
116 | | 1red 9663 |
. . . . . 6
   |
117 | | 4pos 10712 |
. . . . . . . . 9
 |
118 | 29, 117 | elrpii 11312 |
. . . . . . . 8
 |
119 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . 7
   |
120 | | 0red 9649 |
. . . . . . . 8
   |
121 | | 0lt1 10143 |
. . . . . . . . 9
 |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   |
123 | 120, 116,
122 | ltled 9788 |
. . . . . . 7
   |
124 | 116, 119,
123 | divge0d 11385 |
. . . . . 6
     |
125 | | eqid 2453 |
. . . . . . . . . 10
         |
126 | | eluznn 11236 |
. . . . . . . . . . 11
 
       |
127 | | stirlinglem12.3 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
128 | 127 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
           |
129 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
   |
130 | 129 | oveq1d 6310 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
       |
131 | 129, 130 | oveq12d 6313 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
           |
132 | 131 | oveq2d 6311 |
. . . . . . . . . . . 12
 
               |
133 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
134 | | nnre 10623 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
135 | | 1red 9663 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
136 | 134, 135 | readdcld 9675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
137 | 134, 136 | remulcld 9676 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
138 | | nncn 10624 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
139 | | 1cnd 9664 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
140 | 138, 139 | addcld 9667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
141 | | nnne0 10649 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
142 | 138, 140,
141, 103 | mulne0d 10271 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
143 | 137, 142 | rereccld 10441 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
144 | 128, 132,
133, 143 | fvmptd 5959 |
. . . . . . . . . . 11
             |
145 | 126, 144 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
 
                 |
146 | 126 | nnred 10631 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
147 | | 1red 9663 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
       |
148 | 146, 147 | readdcld 9675 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
149 | 146, 148 | remulcld 9676 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
150 | 146 | recnd 9674 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
151 | | 1cnd 9664 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
       |
152 | 150, 151 | addcld 9667 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
153 | 126 | nnne0d 10661 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
154 | 126, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
155 | 150, 152,
153, 154 | mulne0d 10271 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
156 | 149, 155 | rereccld 10441 |
. . . . . . . . . 10
 
             |
157 | | seqeq1 12223 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
158 | 127 | trireciplem 13932 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    |
159 | | climrel 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 |
160 | 159 | releldmi 5074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
161 | 158, 160 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . 13
     |
162 | 157, 161 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
163 | 162 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . 11
 
     |
164 | | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . 12
 

  |
165 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

  |
166 | | elnn1uz2 11242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16

        |
167 | 164, 166 | sylib 200 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

        |
168 | 167 | ord 379 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 


       |
169 | 165, 168 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

      |
170 | | uz2m1nn 11240 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
    |
171 | 169, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
 

    |
172 | | nncn 10624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
173 | 172 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  
    |
174 | | 1cnd 9664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  
    |
175 | 173, 174 | npcand 9995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
  
        |
176 | 175 | eqcomd 2459 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  
        |
177 | 176 | seqeq1d 12226 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
              |
178 | | nnuz 11201 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     |
179 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
   |
180 | 143 | recnd 9674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
         |
181 | 144, 180 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
182 | 181 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
       |
183 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
        |
184 | 178, 179,
182, 183 | clim2ser 13730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                      |
185 | 184 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
                     |
186 | 177, 185 | eqbrtrd 4426 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
                 |
187 | 159 | releldmi 5074 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
    |
188 | 186, 187 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
  
      |
189 | 164, 171,
188 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . 11
 

    |
190 | 163, 189 | pm2.61dan 801 |
. . . . . . . . . 10
     |
191 | 125, 59, 145, 156, 190 | isumrecl 13838 |
. . . . . . . . 9
               |
192 | 126 | nnrpd 11346 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
193 | 192 | rpge0d 11352 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
    
  |
194 | 146, 193 | ge0p1rpd 11375 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
195 | 192, 194 | rpmulcld 11364 |
. . . . . . . . . . 11
 
           |
196 | 123 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
 
    
  |
197 | 147, 195,
196 | divge0d 11385 |
. . . . . . . . . 10
 
    
        |
198 | 125, 59, 145, 156, 190, 197 | isumge0 13839 |
. . . . . . . . 9
               |
199 | 120, 191,
115, 198 | leadd2dd 10235 |
. . . . . . . 8
                                               |
200 | 115 | recnd 9674 |
. . . . . . . . . 10
     
           |
201 | 200 | addid1d 9838 |
. . . . . . . . 9
                                 |
202 | 201 | eqcomd 2459 |
. . . . . . . 8
     
                           |
203 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
   |
204 | 144 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
 
             |
205 | 138 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . 11
 
   |
206 | | 1cnd 9664 |
. . . . . . . . . . . 12
 
   |
207 | 205, 206 | addcld 9667 |
. . . . . . . . . . 11
 
     |
208 | 205, 207 | mulcld 9668 |
. . . . . . . . . 10
 
       |
209 | 141 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . 11
 
   |
210 | 103 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . 11
 
     |
211 | 205, 207,
209, 210 | mulne0d 10271 |
. . . . . . . . . 10
 
       |
212 | 208, 211 | reccld 10383 |
. . . . . . . . 9
 
         |
213 | 158, 160 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
     |
214 | 178, 125,
203, 204, 212, 213 | isumsplit 13910 |
. . . . . . . 8
                                      |
215 | 199, 202,
214 | 3brtr4d 4436 |
. . . . . . 7
     
                  |
216 | | 1zzd 10975 |
. . . . . . . . 9
  |
217 | 144 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
              |
218 | 180 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
          |
219 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
     |
220 | 178, 216,
217, 218, 219 | isumclim 13830 |
. . . . . . . 8
         |
221 | 220 | trud 1455 |
. . . . . . 7
        |
222 | 215, 221 | syl6breq 4445 |
. . . . . 6
     
           |
223 | 115, 116,
32, 124, 222 | lemul2ad 10554 |
. . . . 5
        
                |
224 | | 4cn 10694 |
. . . . . . . 8
 |
225 | 224 | a1i 11 |
. . . . . . 7
   |
226 | 117 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   |
227 | 226 | gt0ne0d 10185 |
. . . . . . 7
   |
228 | 225, 227 | reccld 10383 |
. . . . . 6
     |
229 | 107 | recnd 9674 |
. . . . . 6
 
               |
230 | 64, 228, 229 | fsummulc2 13857 |
. . . . 5
        
                              |
231 | 228 | mulid1d 9665 |
. . . . 5
         |
232 | 223, 230,
231 | 3brtr3d 4435 |
. . . 4
     
                 |
233 | 93, 109, 32, 114, 232 | letrd 9797 |
. . 3
     
              
    |
234 | 63, 233 | eqbrtrd 4426 |
. 2
               |
235 | 18, 28, 32, 234 | subled 10223 |
1
               |