Theorem stirlinglem12 37957

Description: The sequence B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem12.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem12.3	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem12	|- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10627	. . . . 5 |- 1 e. NN
2		stirlinglem12.1	. . . . . . 7 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
3	2	stirlinglem2 37947	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
4		relogcl 23537	. . . . . 6 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
6		nfcv 2594	. . . . . 6 |- F/_ n 1
7		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ n log
8		nfmpt1 4495	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
9	2, 8	nfcxfr 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
10	9, 6	nffv 5877	. . . . . . 7 |- F/_ n ( A ` 1 )
11	7, 10	nffv 5877	. . . . . 6 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
12		fveq2 5870	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
13	12	fveq2d 5874	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
14		stirlinglem12.2	. . . . . 6 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
15	6, 11, 13, 14	fvmptf 5971	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
16	1, 5, 15	mp2an 679	. . . 4 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
17	16, 5	eqeltri 2527	. . 3 |- ( B ` 1 ) e. RR
18	17	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` 1 ) e. RR )
19	2	stirlinglem2 37947	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
20	19	relogcld 23584	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
21		nfcv 2594	. . . . 5 |- F/_ n N
22	9, 21	nffv 5877	. . . . . 6 |- F/_ n ( A ` N )
23	7, 22	nffv 5877	. . . . 5 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
24		fveq2 5870	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
25	24	fveq2d 5874	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
26	21, 23, 25, 14	fvmptf 5971	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
27	20, 26	mpdan 675	. . 3 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
28	27, 20	eqeltrd 2531	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
29		4re 10693	. . . 4 |- 4 e. RR
30		4ne0 10713	. . . 4 |- 4 =/= 0
31	29, 30	rereccli 10379	. . 3 |- ( 1 / 4 ) e. RR
32	31	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
33		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
34		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( B ` k ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
35		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( B ` k ) = ( B ` 1 ) )
36		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = N -> ( B ` k ) = ( B ` N ) )
37		elnnuz 11202	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	biimpi 198	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
39		elfznn 11835	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
40	2	stirlinglem2 37947	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. RR+ )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. RR+ )
42	41	relogcld 23584	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. RR )
43		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ n k
44	9, 43	nffv 5877	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` k )
45	7, 44	nffv 5877	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
46		fveq2 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
47	46	fveq2d 5874	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
48	43, 45, 47, 14	fvmptf 5971	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. RR ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
49	39, 42, 48	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
50	49	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
51	41	rpcnd 11350	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. CC )
52	51	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
53	40	rpne0d 11353	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
54	39, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
55	54	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
56	52, 55	logcld 23532	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
57	50, 56	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
58	33, 34, 35, 36, 38, 57	telfsumo 13874	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) )
59		nnz 10966	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
60		fzoval 11928	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
62	61	sumeq1d 13779	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
63	58, 62	eqtr3d 2489	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
64		fzfid 12193	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
65		elfznn 11835	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN )
66	65	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN )
67	2	stirlinglem2 37947	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` j ) e. RR+ )
68	67	relogcld 23584	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` j ) ) e. RR )
69		nfcv 2594	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n j
70	9, 69	nffv 5877	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( A ` j )
71	7, 70	nffv 5877	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
72		fveq2 5870	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
73	72	fveq2d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
74	69, 71, 73, 14	fvmptf 5971	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ ( log ` ( A ` j ) ) e. RR ) -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
75	68, 74	mpdan 675	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
76	75, 68	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
77	66, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
78		peano2nn 10628	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
79	2	stirlinglem2 37947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
81	80	relogcld 23584	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
82		nfcv 2594	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( j + 1 )
83	9, 82	nffv 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
84	7, 83	nffv 5877	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
85		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
86	85	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
87	82, 84, 86, 14	fvmptf 5971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
88	78, 81, 87	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
89	88, 81	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
90	65, 89	syl 17	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
91	90	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
92	77, 91	resubcld 10054	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
93	64, 92	fsumrecl 13812	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
94	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
95	65	nnred 10631	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. RR )
96		1red 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. RR )
97	95, 96	readdcld 9675	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
98	95, 97	remulcld 9676	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
99	95	recnd 9674	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. CC )
100		1cnd 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. CC )
101	99, 100	addcld 9667	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
102	65	nnne0d 10661	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j =/= 0 )
103	78	nnne0d 10661	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
104	65, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
105	99, 101, 102, 104	mulne0d 10271	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
106	98, 105	rereccld 10441	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
107	106	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
108	94, 107	remulcld 9676	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
109	64, 108	fsumrecl 13812	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
110		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) )
111		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )
112	2, 14, 110, 111	stirlinglem10 37955	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
113	66, 112	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
114	64, 92, 108, 113	fsumle 13871	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
115	64, 107	fsumrecl 13812	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
116		1red 9663	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
117		4pos 10712	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
118	29, 117	elrpii 11312	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. RR+ )
120		0red 9649	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
121		0lt1 10143	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
123	120, 116, 122	ltled 9788	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
124	116, 119, 123	divge0d 11385	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
125		eqid 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
126		eluznn 11236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. NN )
127		stirlinglem12.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
129		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> n = j )
130	129	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
131	129, 130	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
132	131	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
133		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. NN )
134		nnre 10623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. RR )
135		1red 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
136	134, 135	readdcld 9675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR )
137	134, 136	remulcld 9676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
138		nncn 10624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. CC )
139		1cnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
140	138, 139	addcld 9667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
141		nnne0 10649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
142	138, 140, 141, 103	mulne0d 10271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
143	137, 142	rereccld 10441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
144	128, 132, 133, 143	fvmptd 5959	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
145	126, 144	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
146	126	nnred 10631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR )
147		1red 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. RR )
148	146, 147	readdcld 9675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
149	146, 148	remulcld 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
150	146	recnd 9674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. CC )
151		1cnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	addcld 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
153	126	nnne0d 10661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j =/= 0 )
154	126, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
155	150, 152, 153, 154	mulne0d 10271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
156	149, 155	rereccld 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
157		seqeq1 12223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) = seq 1 ( + , F ) )
158	127	trireciplem 13932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1
159		climrel 13568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Rel ~~>
160	159	releldmi 5074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
161	158, 160	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
162	157, 161	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
163	162	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
164		simpl 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. NN )
165		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> -. N = 1 )
166		elnn1uz2 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
167	164, 166	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
168	167	ord 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( -. N = 1 -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
169	165, 168	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
170		uz2m1nn 11240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
172		nncn 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. CC )
173	172	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
174		1cnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> 1 e. CC )
175	173, 174	npcand 9995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
176	175	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
177	176	seqeq1d 12226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) = seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) )
178		nnuz 11201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
179		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. NN )
180	143	recnd 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
181	144, 180	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) e. CC )
182	181	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
183	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
184	178, 179, 182, 183	clim2ser 13730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
185	184	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
186	177, 185	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
187	159	releldmi 5074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
188	186, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
189	164, 171, 188	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
190	163, 189	pm2.61dan 801	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
191	125, 59, 145, 156, 190	isumrecl 13838	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
192	126	nnrpd 11346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR+ )
193	192	rpge0d 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ j )
194	146, 193	ge0p1rpd 11375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR+ )
195	192, 194	rpmulcld 11364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
196	123	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ 1 )
197	147, 195, 196	divge0d 11385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
198	125, 59, 145, 156, 190, 197	isumge0 13839	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
199	120, 191, 115, 198	leadd2dd 10235	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) <_ ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
200	115	recnd 9674	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
201	200	addid1d 9838	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
202	201	eqcomd 2459	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) )
203		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN )
204	144	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
205	138	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
206		1cnd 9664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
207	205, 206	addcld 9667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) e. CC )
208	205, 207	mulcld 9668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
209	141	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
210	103	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
211	205, 207, 209, 210	mulne0d 10271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
212	208, 211	reccld 10383	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
213	158, 160	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
214	178, 125, 203, 204, 212, 213	isumsplit 13910	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
215	199, 202, 214	3brtr4d 4436	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
216		1zzd 10975	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
217	144	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
218	180	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
219	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
220	178, 216, 217, 218, 219	isumclim 13830	. . . . . . . 8 |- ( T. -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
221	220	trud 1455	. . . . . . 7 |- sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1
222	215, 221	syl6breq 4445	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
223	115, 116, 32, 124, 222	lemul2ad 10554	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) )
224		4cn 10694	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
225	224	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. CC )
226	117	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 4 )
227	226	gt0ne0d 10185	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 =/= 0 )
228	225, 227	reccld 10383	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. CC )
229	107	recnd 9674	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
230	64, 228, 229	fsummulc2 13857	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
231	228	mulid1d 9665	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) = ( 1 / 4 ) )
232	223, 230, 231	3brtr3d 4435	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
233	93, 109, 32, 114, 232	letrd 9797	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
234	63, 233	eqbrtrd 4426	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
235	18, 28, 32, 234	subled 10223	1 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1446   T. wtru 1447   e. wcel 1889   =/= wne 2624   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   4c4 10668   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   seqcseq 12220   ^cexp 12279   !cfa 12466   sqrcsqrt 13308   ~~> cli 13560   sum_csu 13764   _eceu 14127   logclog 23516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-e 14134  df-sin 14135  df-cos 14136  df-tan 14137  df-pi 14138  df-dvds 14318  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-ulm 23344  df-log 23518  df-cxp 23519

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  37958