Theorem stirlinglem12 32049

Description: The sequence B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem12.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem12.3	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem12	|- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10567	. . . . 5 |- 1 e. NN
2		stirlinglem12.1	. . . . . . 7 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
3	2	stirlinglem2 32039	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
4		relogcl 23089	. . . . . 6 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
6		nfcv 2619	. . . . . 6 |- F/_ n 1
7		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ n log
8		nfmpt1 4546	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
9	2, 8	nfcxfr 2617	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
10	9, 6	nffv 5879	. . . . . . 7 |- F/_ n ( A ` 1 )
11	7, 10	nffv 5879	. . . . . 6 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
12		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
13	12	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
14		stirlinglem12.2	. . . . . 6 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
15	6, 11, 13, 14	fvmptf 5973	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
16	1, 5, 15	mp2an 672	. . . 4 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
17	16, 5	eqeltri 2541	. . 3 |- ( B ` 1 ) e. RR
18	17	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` 1 ) e. RR )
19	2	stirlinglem2 32039	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
20	19	relogcld 23134	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
21		nfcv 2619	. . . . 5 |- F/_ n N
22	9, 21	nffv 5879	. . . . . 6 |- F/_ n ( A ` N )
23	7, 22	nffv 5879	. . . . 5 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
24		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
25	24	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
26	21, 23, 25, 14	fvmptf 5973	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
27	20, 26	mpdan 668	. . 3 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
28	27, 20	eqeltrd 2545	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
29		4re 10633	. . . 4 |- 4 e. RR
30		4ne0 10653	. . . 4 |- 4 =/= 0
31	29, 30	rereccli 10330	. . 3 |- ( 1 / 4 ) e. RR
32	31	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
33		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
34		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( B ` k ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
35		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( B ` k ) = ( B ` 1 ) )
36		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = N -> ( B ` k ) = ( B ` N ) )
37		elnnuz 11142	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	biimpi 194	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
39		elfznn 11739	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
40	2	stirlinglem2 32039	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. RR+ )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. RR+ )
42	41	relogcld 23134	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. RR )
43		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ n k
44	9, 43	nffv 5879	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` k )
45	7, 44	nffv 5879	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
46		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
47	46	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
48	43, 45, 47, 14	fvmptf 5973	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. RR ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
49	39, 42, 48	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
50	49	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
51	41	rpcnd 11283	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. CC )
52	51	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
53	40	rpne0d 11286	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
54	39, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
55	54	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
56	52, 55	logcld 23084	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
57	50, 56	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
58	33, 34, 35, 36, 38, 57	telfsumo 13628	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) )
59		nnz 10907	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
60		fzoval 11827	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	59, 60	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
62	61	sumeq1d 13535	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
63	58, 62	eqtr3d 2500	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
64		fzfid 12086	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
65		elfznn 11739	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN )
66	65	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN )
67	2	stirlinglem2 32039	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` j ) e. RR+ )
68	67	relogcld 23134	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` j ) ) e. RR )
69		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n j
70	9, 69	nffv 5879	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( A ` j )
71	7, 70	nffv 5879	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
72		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
73	72	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
74	69, 71, 73, 14	fvmptf 5973	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ ( log ` ( A ` j ) ) e. RR ) -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
75	68, 74	mpdan 668	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
76	75, 68	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
77	66, 76	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
78		peano2nn 10568	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
79	2	stirlinglem2 32039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
80	78, 79	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
81	80	relogcld 23134	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
82		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( j + 1 )
83	9, 82	nffv 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
84	7, 83	nffv 5879	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
85		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
86	85	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
87	82, 84, 86, 14	fvmptf 5973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
88	78, 81, 87	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
89	88, 81	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
90	65, 89	syl 16	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
91	90	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
92	77, 91	resubcld 10008	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
93	64, 92	fsumrecl 13568	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
94	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
95	65	nnred 10571	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. RR )
96		1red 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. RR )
97	95, 96	readdcld 9640	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
98	95, 97	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
99	95	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. CC )
100		1cnd 9629	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. CC )
101	99, 100	addcld 9632	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
102	65	nnne0d 10601	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j =/= 0 )
103	78	nnne0d 10601	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
104	65, 103	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
105	99, 101, 102, 104	mulne0d 10222	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
106	98, 105	rereccld 10392	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
107	106	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
108	94, 107	remulcld 9641	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
109	64, 108	fsumrecl 13568	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
110		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) )
111		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )
112	2, 14, 110, 111	stirlinglem10 32047	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
113	66, 112	syl 16	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
114	64, 92, 108, 113	fsumle 13625	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
115	64, 107	fsumrecl 13568	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
116		1red 9628	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
117		4pos 10652	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
118	29, 117	elrpii 11248	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. RR+ )
120		0red 9614	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
121		0lt1 10096	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
123	120, 116, 122	ltled 9750	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
124	116, 119, 123	divge0d 11317	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
125		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
126		eluznn 11177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. NN )
127		stirlinglem12.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
129		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> n = j )
130	129	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
131	129, 130	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
132	131	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
133		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. NN )
134		nnre 10563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. RR )
135		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
136	134, 135	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR )
137	134, 136	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
138		nncn 10564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. CC )
139		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
140	138, 139	addcld 9632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
141		nnne0 10589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
142	138, 140, 141, 103	mulne0d 10222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
143	137, 142	rereccld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
144	128, 132, 133, 143	fvmptd 5961	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
145	126, 144	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
146	126	nnred 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR )
147		1red 9628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. RR )
148	146, 147	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
149	146, 148	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
150	146	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. CC )
151		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	addcld 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
153	126	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j =/= 0 )
154	126, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
155	150, 152, 153, 154	mulne0d 10222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
156	149, 155	rereccld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
157		seqeq1 12113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) = seq 1 ( + , F ) )
158	127	trireciplem 13685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1
159		climrel 13327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Rel ~~>
160	159	releldmi 5249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
161	158, 160	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
162	157, 161	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
163	162	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
164		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. NN )
165		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> -. N = 1 )
166		elnn1uz2 11183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
167	164, 166	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
168	167	ord 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( -. N = 1 -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
169	165, 168	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
170		uz2m1nn 11181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
171	169, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
172		nncn 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. CC )
173	172	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
174		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> 1 e. CC )
175	173, 174	npcand 9954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
176	175	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
177	176	seqeq1d 12116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) = seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) )
178		nnuz 11141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
179		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. NN )
180	143	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
181	144, 180	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) e. CC )
182	181	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
183	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
184	178, 179, 182, 183	clim2ser 13489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
185	184	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
186	177, 185	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
187	159	releldmi 5249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
188	186, 187	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
189	164, 171, 188	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
190	163, 189	pm2.61dan 791	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
191	125, 59, 145, 156, 190	isumrecl 13592	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
192	126	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR+ )
193	192	rpge0d 11285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ j )
194	146, 193	ge0p1rpd 11307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR+ )
195	192, 194	rpmulcld 11297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
196	123	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ 1 )
197	147, 195, 196	divge0d 11317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
198	125, 59, 145, 156, 190, 197	isumge0 13593	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
199	120, 191, 115, 198	leadd2dd 10188	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) <_ ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
200	115	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
201	200	addid1d 9797	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
202	201	eqcomd 2465	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) )
203		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN )
204	144	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
205	138	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
206		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
207	205, 206	addcld 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) e. CC )
208	205, 207	mulcld 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
209	141	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
210	103	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
211	205, 207, 209, 210	mulne0d 10222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
212	208, 211	reccld 10334	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
213	158, 160	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
214	178, 125, 203, 204, 212, 213	isumsplit 13664	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
215	199, 202, 214	3brtr4d 4486	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
216		1zzd 10916	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
217	144	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
218	180	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
219	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
220	178, 216, 217, 218, 219	isumclim 13584	. . . . . . . 8 |- ( T. -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
221	220	trud 1404	. . . . . . 7 |- sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1
222	215, 221	syl6breq 4495	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
223	115, 116, 32, 124, 222	lemul2ad 10506	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) )
224		4cn 10634	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
225	224	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. CC )
226	117	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 4 )
227	226	gt0ne0d 10138	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 =/= 0 )
228	225, 227	reccld 10334	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. CC )
229	107	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
230	64, 228, 229	fsummulc2 13611	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
231	228	mulid1d 9630	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) = ( 1 / 4 ) )
232	223, 230, 231	3brtr3d 4485	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
233	93, 109, 32, 114, 232	letrd 9756	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
234	63, 233	eqbrtrd 4476	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
235	18, 28, 32, 234	subled 10176	1 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   seqcseq 12110   ^cexp 12169   !cfa 12356   sqrcsqrt 13078   ~~> cli 13319   sum_csu 13520   _eceu 13810   logclog 23068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ulm 22898  df-log 23070  df-cxp 23071

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  32050