Theorem stirlinglem12 27701

Description: The sequence B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem12.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem12.3	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem12	|- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9967	. . . . 5 |- 1 e. NN
2		stirlinglem12.1	. . . . . . 7 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
3	2	stirlinglem2 27691	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
4		relogcl 20426	. . . . . 6 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
6		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ n 1
7		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ n log
8		nfmpt1 4258	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
9	2, 8	nfcxfr 2537	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
10	9, 6	nffv 5694	. . . . . . 7 |- F/_ n ( A ` 1 )
11	7, 10	nffv 5694	. . . . . 6 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
12		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
13	12	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
14		stirlinglem12.2	. . . . . 6 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
15	6, 11, 13, 14	fvmptf 5780	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
16	1, 5, 15	mp2an 654	. . . 4 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
17	16, 5	eqeltri 2474	. . 3 |- ( B ` 1 ) e. RR
18	17	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` 1 ) e. RR )
19	2	stirlinglem2 27691	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
20	19	relogcld 20471	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
21		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ n N
22	9, 21	nffv 5694	. . . . . 6 |- F/_ n ( A ` N )
23	7, 22	nffv 5694	. . . . 5 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
24		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
25	24	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
26	21, 23, 25, 14	fvmptf 5780	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
27	20, 26	mpdan 650	. . 3 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
28	27, 20	eqeltrd 2478	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
29		4re 10029	. . . 4 |- 4 e. RR
30		0re 9047	. . . . 5 |- 0 e. RR
31		4pos 10042	. . . . 5 |- 0 < 4
32	30, 31	gtneii 9141	. . . 4 |- 4 =/= 0
33	29, 32	rereccli 9735	. . 3 |- ( 1 / 4 ) e. RR
34	33	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
35		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
36		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( B ` k ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
37		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( B ` k ) = ( B ` 1 ) )
38		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( k = N -> ( B ` k ) = ( B ` N ) )
39		elnnuz 10478	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
40	39	biimpi 187	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		elfznn 11036	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
42	2	stirlinglem2 27691	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. RR+ )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. RR+ )
44	43	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. RR )
45		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ n k
46	9, 45	nffv 5694	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` k )
47	7, 46	nffv 5694	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
48		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
49	48	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
50	45, 47, 49, 14	fvmptf 5780	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. RR ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
51	41, 44, 50	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
52	51	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
53	43	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. CC )
54	53	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
55	42	rpne0d 10609	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
56	41, 55	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
57	56	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
58	54, 57	logcld 20421	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
59	52, 58	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
60	35, 36, 37, 38, 40, 59	fsumtscopo 12536	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) )
61		nnz 10259	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
62		fzoval 11096	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
63	61, 62	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
64	63	sumeq1d 12450	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
65	60, 64	eqtr3d 2438	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
66		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
67		elfznn 11036	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN )
68	67	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN )
69	2	stirlinglem2 27691	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` j ) e. RR+ )
70	69	relogcld 20471	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` j ) ) e. RR )
71		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n j
72	9, 71	nffv 5694	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( A ` j )
73	7, 72	nffv 5694	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
74		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
75	74	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
76	71, 73, 75, 14	fvmptf 5780	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ ( log ` ( A ` j ) ) e. RR ) -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
77	70, 76	mpdan 650	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
78	77, 70	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
79	68, 78	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
80		peano2nn 9968	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
81	2	stirlinglem2 27691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
83	82	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
84		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( j + 1 )
85	9, 84	nffv 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
86	7, 85	nffv 5694	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
87		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
88	87	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
89	84, 86, 88, 14	fvmptf 5780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
90	80, 83, 89	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
91	90, 83	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
92	67, 91	syl 16	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
93	92	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
94	79, 93	resubcld 9421	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
95	66, 94	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
96	33	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
97	67	nnred 9971	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. RR )
98		1re 9046	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. RR )
100	97, 99	readdcld 9071	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
101	97, 100	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
102	97	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. CC )
103		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. CC )
105	102, 104	addcld 9063	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
106	67	nnne0d 10000	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j =/= 0 )
107	80	nnne0d 10000	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
108	67, 107	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
109	102, 105, 106, 108	mulne0d 9630	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
110	101, 109	rereccld 9797	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
111	110	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
112	96, 111	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
113	66, 112	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
114		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) )
115		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )
116	2, 14, 114, 115	stirlinglem10 27699	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
117	68, 116	syl 16	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
118	66, 94, 112, 117	fsumle 12533	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
119	66, 111	fsumrecl 12483	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
120	98	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
121	29, 31	elrpii 10571	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
122	121	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. RR+ )
123	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
124		0lt1 9506	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
126	123, 120, 125	ltled 9177	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
127	120, 122, 126	divge0d 10640	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
128		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
129		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
130	129	uztrn2 10459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. NN )
131		stirlinglem12.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
133		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> n = j )
134	133	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
135	133, 134	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
136	135	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
137		id 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. NN )
138		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. RR )
139	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
140	138, 139	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR )
141	138, 140	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
142		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. CC )
143	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
144	142, 143	addcld 9063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
145		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
146	142, 144, 145, 107	mulne0d 9630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
147	141, 146	rereccld 9797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
148	132, 136, 137, 147	fvmptd 5769	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
149	130, 148	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
150	130	nnred 9971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR )
151	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. RR )
152	150, 151	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
153	150, 152	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
154	150	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. CC )
155	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
156	154, 155	addcld 9063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
157	130	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j =/= 0 )
158	130, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
159	154, 156, 157, 158	mulne0d 9630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
160	153, 159	rereccld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
161		seqeq1 11281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) = seq 1 ( + , F ) )
162	131	trireciplem 12596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1
163		climrel 12241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Rel ~~>
164	163	releldmi 5065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
165	162, 164	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 1 ( + , F ) e. dom ~~>
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
167	161, 166	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
168	167	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
169		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. NN )
170		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> -. N = 1 )
171		elnn1uz2 10508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
172	169, 171	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
173	172	ord 367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( -. N = 1 -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
174	170, 173	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
175		uz2m1nn 10506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
176	174, 175	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
177		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. CC )
178	177	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
179	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> 1 e. CC )
180	178, 179	npcand 9371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
181	180	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
182	181	seqeq1d 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) = seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) )
183		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. NN )
184	147	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
185	148, 184	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) e. CC )
186	185	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
187	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
188	129, 183, 186, 187	clim2ser 12403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
189	188	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
190	182, 189	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
191	163	releldmi 5065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
192	190, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
193	169, 176, 192	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
194	168, 193	pm2.61dan 767	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
195	128, 61, 149, 160, 194	isumrecl 12504	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
196	130	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR+ )
197	196	rpge0d 10608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ j )
198	150, 197	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR+ )
199	196, 198	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
200	126	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ 1 )
201	151, 199, 200	divge0d 10640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
202	128, 61, 149, 160, 194, 201	isumge0 12505	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
203	123, 195, 119, 202	leadd2dd 9597	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) <_ ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
204	119	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
205	204	addid1d 9222	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
206	205	eqcomd 2409	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) )
207		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN )
208	148	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
209	142	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
210	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
211	209, 210	addcld 9063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) e. CC )
212	209, 211	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
213	145	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
214	107	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
215	209, 211, 213, 214	mulne0d 9630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
216	212, 215	reccld 9739	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
217	165	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
218	129, 128, 207, 208, 216, 217	isumsplit 12575	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
219	203, 206, 218	3brtr4d 4202	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
220		1z 10267	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
222	148	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
223	184	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
224	162	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
225	129, 221, 222, 223, 224	isumclim 12496	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
226	225	trud 1329	. . . . . . . 8 |- sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1
227	226	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
228	219, 227	breqtrd 4196	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
229	119, 120, 34, 127, 228	lemul2ad 9907	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) )
230		4cn 10030	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
231	230	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. CC )
232	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 4 )
233	232	gt0ne0d 9547	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 =/= 0 )
234	231, 233	reccld 9739	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. CC )
235	111	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
236	66, 234, 235	fsummulc2 12522	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
237	234	mulid1d 9061	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) = ( 1 / 4 ) )
238	229, 236, 237	3brtr3d 4201	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
239	95, 113, 34, 118, 238	letrd 9183	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
240	65, 239	eqbrtrd 4192	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
241	18, 28, 34, 240	subled 9585	1 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 358   /\ wa 359   T. wtru 1322   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993   ~~> cli 12233   sum_csu 12434   _eceu 12620   logclog 20405

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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408