Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem12 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stirlinglem12 38059
 Description: The sequence is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1
stirlinglem12.2
stirlinglem12.3
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10642 . . . . 5
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7
32stirlinglem2 38049 . . . . . 6
4 relogcl 23604 . . . . . 6
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5
6 nfcv 2612 . . . . . 6
7 nfcv 2612 . . . . . . 7
8 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9
92, 8nfcxfr 2610 . . . . . . . 8
109, 6nffv 5886 . . . . . . 7
117, 10nffv 5886 . . . . . 6
12 fveq2 5879 . . . . . . 7
1312fveq2d 5883 . . . . . 6
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6
156, 11, 13, 14fvmptf 5981 . . . . 5
161, 5, 15mp2an 686 . . . 4
1716, 5eqeltri 2545 . . 3
1817a1i 11 . 2
192stirlinglem2 38049 . . . . 5
2019relogcld 23651 . . . 4
21 nfcv 2612 . . . . 5
229, 21nffv 5886 . . . . . 6
237, 22nffv 5886 . . . . 5
24 fveq2 5879 . . . . . 6
2524fveq2d 5883 . . . . 5
2621, 23, 25, 14fvmptf 5981 . . . 4
2720, 26mpdan 681 . . 3
2827, 20eqeltrd 2549 . 2
29 4re 10708 . . . 4
30 4ne0 10728 . . . 4
3129, 30rereccli 10394 . . 3
3231a1i 11 . 2
33 fveq2 5879 . . . . 5
34 fveq2 5879 . . . . 5
35 fveq2 5879 . . . . 5
36 fveq2 5879 . . . . 5
37 elnnuz 11219 . . . . . 6
3837biimpi 199 . . . . 5
39 elfznn 11854 . . . . . . . 8
402stirlinglem2 38049 . . . . . . . . . 10
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9
4241relogcld 23651 . . . . . . . 8
43 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
449, 43nffv 5886 . . . . . . . . . 10
457, 44nffv 5886 . . . . . . . . 9
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
4746fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
4843, 45, 47, 14fvmptf 5981 . . . . . . . 8
4939, 42, 48syl2anc 673 . . . . . . 7
5049adantl 473 . . . . . 6
5141rpcnd 11366 . . . . . . . 8
5251adantl 473 . . . . . . 7
5340rpne0d 11369 . . . . . . . . 9
5439, 53syl 17 . . . . . . . 8
5554adantl 473 . . . . . . 7
5652, 55logcld 23599 . . . . . 6
5750, 56eqeltrd 2549 . . . . 5
5833, 34, 35, 36, 38, 57telfsumo 13939 . . . 4 ..^
59 nnz 10983 . . . . . 6
60 fzoval 11948 . . . . . 6 ..^
6159, 60syl 17 . . . . 5 ..^
6261sumeq1d 13844 . . . 4 ..^
6358, 62eqtr3d 2507 . . 3
64 fzfid 12224 . . . . 5
65 elfznn 11854 . . . . . . . 8
6665adantl 473 . . . . . . 7
672stirlinglem2 38049 . . . . . . . . . 10
6867relogcld 23651 . . . . . . . . 9
69 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
709, 69nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
717, 70nffv 5886 . . . . . . . . . 10
72 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
7469, 71, 73, 14fvmptf 5981 . . . . . . . . 9
7568, 74mpdan 681 . . . . . . . 8
7675, 68eqeltrd 2549 . . . . . . 7
7766, 76syl 17 . . . . . 6
78 peano2nn 10643 . . . . . . . . . 10
792stirlinglem2 38049 . . . . . . . . . . . 12
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11
8180relogcld 23651 . . . . . . . . . 10
82 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
839, 82nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
847, 83nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
85 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
8685fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
8782, 84, 86, 14fvmptf 5981 . . . . . . . . . 10
8878, 81, 87syl2anc 673 . . . . . . . . 9
8988, 81eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
9065, 89syl 17 . . . . . . 7
9190adantl 473 . . . . . 6
9277, 91resubcld 10068 . . . . 5
9364, 92fsumrecl 13877 . . . 4
9431a1i 11 . . . . . 6
9565nnred 10646 . . . . . . . . 9
96 1red 9676 . . . . . . . . . 10
9795, 96readdcld 9688 . . . . . . . . 9
9895, 97remulcld 9689 . . . . . . . 8
9995recnd 9687 . . . . . . . . 9
100 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
10199, 100addcld 9680 . . . . . . . . 9
10265nnne0d 10676 . . . . . . . . 9
10378nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10
10465, 103syl 17 . . . . . . . . 9
10599, 101, 102, 104mulne0d 10286 . . . . . . . 8
10698, 105rereccld 10456 . . . . . . 7
107106adantl 473 . . . . . 6
10894, 107remulcld 9689 . . . . 5
10964, 108fsumrecl 13877 . . . 4
110 eqid 2471 . . . . . . 7
111 eqid 2471 . . . . . . 7
1122, 14, 110, 111stirlinglem10 38057 . . . . . 6
11366, 112syl 17 . . . . 5
11464, 92, 108, 113fsumle 13936 . . . 4
11564, 107fsumrecl 13877 . . . . . 6
116 1red 9676 . . . . . 6
117 4pos 10727 . . . . . . . . 9
11829, 117elrpii 11328 . . . . . . . 8
119118a1i 11 . . . . . . 7
120 0red 9662 . . . . . . . 8
121 0lt1 10157 . . . . . . . . 9
122121a1i 11 . . . . . . . 8
123120, 116, 122ltled 9800 . . . . . . 7
124116, 119, 123divge0d 11401 . . . . . 6
125 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
126 eluznn 11252 . . . . . . . . . . 11
127 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
129 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
130129oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
131129, 130oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
132131oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12
134 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . 14
135 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15
136134, 135readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
137134, 136remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13
138 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . 14
139 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15
140138, 139addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . 14
141 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . 14
142138, 140, 141, 103mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . 13
143137, 142rereccld 10456 . . . . . . . . . . . 12
144128, 132, 133, 143fvmptd 5969 . . . . . . . . . . 11
145126, 144syl 17 . . . . . . . . . 10
146126nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12
147 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13
148146, 147readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12
149146, 148remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
150146recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
151 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 151addcld 9680 . . . . . . . . . . . 12
153126nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12
154126, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12
155150, 152, 153, 154mulne0d 10286 . . . . . . . . . . 11
156149, 155rereccld 10456 . . . . . . . . . 10
157 seqeq1 12254 . . . . . . . . . . . . 13
158127trireciplem 13997 . . . . . . . . . . . . . 14
159 climrel 13633 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159releldmi 5077 . . . . . . . . . . . . . 14
161158, 160mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13
162157, 161eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
163162adantl 473 . . . . . . . . . . 11
164 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12
165 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
166 elnn1uz2 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167164, 166sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
168167ord 384 . . . . . . . . . . . . . 14
169165, 168mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
170 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . . . . . 13
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12
172 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173172adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175173, 174npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176175eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
177176seqeq1d 12257 . . . . . . . . . . . . . 14
178 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180143recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
181144, 180eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
182181adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184178, 179, 182, 183clim2ser 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15
185184adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
186177, 185eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13
187159releldmi 5077 . . . . . . . . . . . . 13
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . 12
189164, 171, 188syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
190163, 189pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10
191125, 59, 145, 156, 190isumrecl 13903 . . . . . . . . 9
192126nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
193192rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . 13
194146, 193ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . . . . 12
195192, 194rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . 11
196123adantr 472 . . . . . . . . . . 11
197147, 195, 196divge0d 11401 . . . . . . . . . 10
198125, 59, 145, 156, 190, 197isumge0 13904 . . . . . . . . 9
199120, 191, 115, 198leadd2dd 10249 . . . . . . . 8
200115recnd 9687 . . . . . . . . . 10
201200addid1d 9851 . . . . . . . . 9
202201eqcomd 2477 . . . . . . . 8
203 id 22 . . . . . . . . 9
204144adantl 473 . . . . . . . . 9
205138adantl 473 . . . . . . . . . . 11
206 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12
207205, 206addcld 9680 . . . . . . . . . . 11
208205, 207mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
209141adantl 473 . . . . . . . . . . 11
210103adantl 473 . . . . . . . . . . 11
211205, 207, 209, 210mulne0d 10286 . . . . . . . . . 10
212208, 211reccld 10398 . . . . . . . . 9
213158, 160mp1i 13 . . . . . . . . 9
214178, 125, 203, 204, 212, 213isumsplit 13975 . . . . . . . 8
215199, 202, 2143brtr4d 4426 . . . . . . 7
216 1zzd 10992 . . . . . . . . 9
217144adantl 473 . . . . . . . . 9
218180adantl 473 . . . . . . . . 9
219158a1i 11 . . . . . . . . 9
220178, 216, 217, 218, 219isumclim 13895 . . . . . . . 8
221220trud 1461 . . . . . . 7
222215, 221syl6breq 4435 . . . . . 6
223115, 116, 32, 124, 222lemul2ad 10569 . . . . 5
224 4cn 10709 . . . . . . . 8
225224a1i 11 . . . . . . 7
226117a1i 11 . . . . . . . 8
227226gt0ne0d 10199 . . . . . . 7
228225, 227reccld 10398 . . . . . 6
229107recnd 9687 . . . . . 6
23064, 228, 229fsummulc2 13922 . . . . 5
231228mulid1d 9678 . . . . 5
232223, 230, 2313brtr3d 4425 . . . 4
23393, 109, 32, 114, 232letrd 9809 . . 3
23463, 233eqbrtrd 4416 . 2
23518, 28, 32, 234subled 10237 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wtru 1453   wcel 1904   wne 2641   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c4 10683  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  ..^cfzo 11942   cseq 12251  cexp 12310  cfa 12497  csqrt 13373   cli 13625  csu 13829  ceu 14192  clog 23583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ulm 23411  df-log 23585  df-cxp 23586 This theorem is referenced by:  stirlinglem13  38060
 Copyright terms: Public domain W3C validator