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Theorem stirlinglem12 32049
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10567 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 32039 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
4 relogcl 23089 . . . . . 6  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
6 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ n
1
7 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
8 nfmpt1 4546 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
92, 8nfcxfr 2617 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
109, 6nffv 5879 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  1
)
117, 10nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
12 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1312fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
156, 11, 13, 14fvmptf 5973 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
161, 5, 15mp2an 672 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
1716, 5eqeltri 2541 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
1817a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
192stirlinglem2 32039 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2019relogcld 23134 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
21 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ n N
229, 21nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
237, 22nffv 5879 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
24 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2524fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2621, 23, 25, 14fvmptf 5973 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
2720, 26mpdan 668 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2827, 20eqeltrd 2545 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
29 4re 10633 . . . 4  |-  4  e.  RR
30 4ne0 10653 . . . 4  |-  4  =/=  0
3129, 30rereccli 10330 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3231a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
33 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
34 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
35 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
36 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
37 elnnuz 11142 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elfznn 11739 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
402stirlinglem2 32039 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4241relogcld 23134 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
43 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
449, 43nffv 5879 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
457, 44nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
46 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
4746fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
4843, 45, 47, 14fvmptf 5973 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
4939, 42, 48syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5049adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
5141rpcnd 11283 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5251adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5340rpne0d 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5439, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5554adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
5652, 55logcld 23084 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
5750, 56eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
5833, 34, 35, 36, 38, 57telfsumo 13628 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
59 nnz 10907 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
60 fzoval 11827 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6261sumeq1d 13535 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
6358, 62eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
64 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
65 elfznn 11739 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
6665adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
672stirlinglem2 32039 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
6867relogcld 23134 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
69 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
709, 69nffv 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
717, 70nffv 5879 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
72 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7469, 71, 73, 14fvmptf 5973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
7568, 74mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7675, 68eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7766, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
78 peano2nn 10568 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
792stirlinglem2 32039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8180relogcld 23134 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
82 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
839, 82nffv 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
847, 83nffv 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
85 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
8685fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8782, 84, 86, 14fvmptf 5973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
8878, 81, 87syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8988, 81eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9065, 89syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9190adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9277, 91resubcld 10008 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9364, 92fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9431a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
9565nnred 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
96 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
9795, 96readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
9895, 97remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9995recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
100 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
10199, 100addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10265nnne0d 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
10378nnne0d 10601 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10465, 103syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10599, 101, 102, 104mulne0d 10222 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
10698, 105rereccld 10392 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
107106adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
10894, 107remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
10964, 108fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
110 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
111 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1122, 14, 110, 111stirlinglem10 32047 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11366, 112syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
11464, 92, 108, 113fsumle 13625 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11564, 107fsumrecl 13568 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
116 1red 9628 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
117 4pos 10652 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
11829, 117elrpii 11248 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
120 0red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
121 0lt1 10096 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
122121a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
123120, 116, 122ltled 9750 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
124116, 119, 123divge0d 11317 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
125 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
126 eluznn 11177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
127 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
129 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
130129oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
131129, 130oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
132131oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
134 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
135 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
136134, 135readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
137134, 136remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
138 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
139 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
140138, 139addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
141 nnne0 10589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
142138, 140, 141, 103mulne0d 10222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
143137, 142rereccld 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
144128, 132, 133, 143fvmptd 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
145126, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
146126nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
147 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
148146, 147readdcld 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
149146, 148remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
150146recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
151 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
152150, 151addcld 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
153126nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
154126, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
155150, 152, 153, 154mulne0d 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
156149, 155rereccld 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
157 seqeq1 12113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq N (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  F ) )
158127trireciplem 13685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
159 climrel 13327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ~~>
160159releldmi 5249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
161158, 160mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
162157, 161eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
163162adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
164 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
165 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
166 elnn1uz2 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
167164, 166sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
168167ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
169165, 168mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
170 uz2m1nn 11181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
172 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
174 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
175173, 174npcand 9954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
176175eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
177176seqeq1d 12116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  =  seq ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
178 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
180143recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
181144, 180eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
182181adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
183158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
184178, 179, 182, 183clim2ser 13489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
185184adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
186177, 185eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
187159releldmi 5249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
188186, 187syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
189164, 171, 188syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
190163, 189pm2.61dan 791 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
191125, 59, 145, 156, 190isumrecl 13592 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
192126nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
193192rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
194146, 193ge0p1rpd 11307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
195192, 194rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
196123adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
197147, 195, 196divge0d 11317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
198125, 59, 145, 156, 190, 197isumge0 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
199120, 191, 115, 198leadd2dd 10188 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
200115recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
201200addid1d 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
202201eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
203 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
204144adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
205138adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
206 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
207205, 206addcld 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
208205, 207mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
209141adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
210103adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
211205, 207, 209, 210mulne0d 10222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
212208, 211reccld 10334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
213158, 160mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
214178, 125, 203, 204, 212, 213isumsplit 13664 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
215199, 202, 2143brtr4d 4486 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
216 1zzd 10916 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
217144adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
218180adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
219158a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
220178, 216, 217, 218, 219isumclim 13584 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
221220trud 1404 . . . . . . 7  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
222215, 221syl6breq 4495 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
223115, 116, 32, 124, 222lemul2ad 10506 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
224 4cn 10634 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
225224a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
226117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
227226gt0ne0d 10138 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
228225, 227reccld 10334 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
229107recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
23064, 228, 229fsummulc2 13611 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
231228mulid1d 9630 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
232223, 230, 2313brtr3d 4485 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
23393, 109, 32, 114, 232letrd 9756 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
23463, 233eqbrtrd 4476 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
23518, 28, 32, 234subled 10176 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821    seqcseq 12110   ^cexp 12169   !cfa 12356   sqrcsqrt 13078    ~~> cli 13319   sum_csu 13520   _eceu 13810   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ulm 22898  df-log 23070  df-cxp 23071
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  32050
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