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Theorem stirlinglem12 29723
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10320 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 29713 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
4 relogcl 21911 . . . . . 6  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
6 nfcv 2569 . . . . . 6  |-  F/_ n
1
7 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
8 nfmpt1 4369 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
92, 8nfcxfr 2566 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
109, 6nffv 5686 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  1
)
117, 10nffv 5686 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
12 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1312fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
156, 11, 13, 14fvmptf 5778 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
161, 5, 15mp2an 665 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
1716, 5eqeltri 2503 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
1817a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
192stirlinglem2 29713 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2019relogcld 21956 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
21 nfcv 2569 . . . . 5  |-  F/_ n N
229, 21nffv 5686 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
237, 22nffv 5686 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
24 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2524fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2621, 23, 25, 14fvmptf 5778 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
2720, 26mpdan 661 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2827, 20eqeltrd 2507 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
29 4re 10385 . . . 4  |-  4  e.  RR
30 4ne0 10405 . . . 4  |-  4  =/=  0
3129, 30rereccli 10083 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3231a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
33 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
34 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
35 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
36 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
37 elnnuz 10884 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elfznn 11464 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
402stirlinglem2 29713 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4241relogcld 21956 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
43 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
449, 43nffv 5686 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
457, 44nffv 5686 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
46 fveq2 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
4746fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
4843, 45, 47, 14fvmptf 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
4939, 42, 48syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5049adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
5141rpcnd 11016 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5251adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5340rpne0d 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5439, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5554adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
5652, 55logcld 21906 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
5750, 56eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
5833, 34, 35, 36, 38, 57fsumtscopo 13247 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
59 nnz 10655 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
60 fzoval 11537 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6261sumeq1d 13161 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
6358, 62eqtr3d 2467 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
64 fzfid 11778 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
65 elfznn 11464 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
6665adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
672stirlinglem2 29713 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
6867relogcld 21956 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
69 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
709, 69nffv 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
717, 70nffv 5686 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
72 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
7372fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7469, 71, 73, 14fvmptf 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
7568, 74mpdan 661 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7675, 68eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7766, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
78 peano2nn 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
792stirlinglem2 29713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8180relogcld 21956 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
82 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
839, 82nffv 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
847, 83nffv 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
85 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
8685fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8782, 84, 86, 14fvmptf 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
8878, 81, 87syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8988, 81eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9065, 89syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9190adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9277, 91resubcld 9763 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9364, 92fsumrecl 13194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9431a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
9565nnred 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
96 1re 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
9895, 97readdcld 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
9995, 98remulcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10095recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
101 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
103100, 102addcld 9392 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10465nnne0d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
10578nnne0d 10353 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10665, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
107100, 103, 104, 106mulne0d 9975 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
10899, 107rereccld 10145 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
109108adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
11094, 109remulcld 9401 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
11164, 110fsumrecl 13194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
112 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
113 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1142, 14, 112, 113stirlinglem10 29721 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11566, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
11664, 92, 110, 115fsumle 13244 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11764, 109fsumrecl 13194 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
11896a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
119 4pos 10404 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
12029, 119elrpii 10981 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
121120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
122 0re 9373 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
123122a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
124 0lt1 9849 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
126123, 118, 125ltled 9509 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
127118, 121, 126divge0d 11050 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
128 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
129 nnuz 10883 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
130129uztrn2 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
131 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
133 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
134133oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
135133, 134oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
136135oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
137 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
138 nnre 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
13996a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
140138, 139readdcld 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
141138, 140remulcld 9401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
142 nncn 10317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
143101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
144142, 143addcld 9392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
145 nnne0 10341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
146142, 144, 145, 105mulne0d 9975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
147141, 146rereccld 10145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
148132, 136, 137, 147fvmptd 5767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
149130, 148syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
150130nnred 10324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
15196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
152150, 151readdcld 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
153150, 152remulcld 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
154150recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
155101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
156154, 155addcld 9392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
157130nnne0d 10353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
158130, 105syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
159154, 156, 157, 158mulne0d 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
160153, 159rereccld 10145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
161 seqeq1 11792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq N (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  F ) )
162131trireciplem 13306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
163 climrel 12953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  ~~>
164163releldmi 5063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
165162, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
167161, 166eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
168167adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
169 simpl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
170 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
171 elnn1uz2 10918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
172169, 171sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
173172ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
174170, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
175 uz2m1nn 10916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
177 nncn 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
178177adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
179101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
180178, 179npcand 9710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
181180eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
182181seqeq1d 11795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  =  seq ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
183 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
184147recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
185148, 184eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
186185adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
187162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
188129, 183, 186, 187clim2ser 13115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
189188adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
190182, 189eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
191163releldmi 5063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
192190, 191syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
193169, 176, 192syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
194168, 193pm2.61dan 782 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
195128, 59, 149, 160, 194isumrecl 13215 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
196130nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
197196rpge0d 11018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
198150, 197ge0p1rpd 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
199196, 198rpmulcld 11030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
200126adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
201151, 199, 200divge0d 11050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
202128, 59, 149, 160, 194, 201isumge0 13216 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
203123, 195, 117, 202leadd2dd 9941 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
204117recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
205204addid1d 9556 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
206205eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
207 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
208148adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
209142adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
210101a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
211209, 210addcld 9392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
212209, 211mulcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
213145adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
214105adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
215209, 211, 213, 214mulne0d 9975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
216212, 215reccld 10087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
217165a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
218129, 128, 207, 208, 216, 217isumsplit 13285 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
219203, 206, 2183brtr4d 4310 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
220 1z 10663 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
221220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
222148adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
223184adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
224162a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
225129, 221, 222, 223, 224isumclim 13207 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
226225trud 1371 . . . . . . . 8  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
227226a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1 )
228219, 227breqtrd 4304 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
229117, 118, 32, 127, 228lemul2ad 10260 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
230 4cn 10386 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
231230a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
232119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
233232gt0ne0d 9891 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
234231, 233reccld 10087 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
235109recnd 9399 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
23664, 234, 235fsummulc2 13233 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
237234mulid1d 9390 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
238229, 236, 2373brtr3d 4309 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
23993, 111, 32, 116, 238letrd 9515 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
24063, 239eqbrtrd 4300 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
24118, 28, 32, 240subled 9929 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   4c4 10360   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   ...cfz 11423  ..^cfzo 11531    seqcseq 11789   ^cexp 11848   !cfa 12034   sqrcsqr 12705    ~~> cli 12945   sum_csu 13146   _eceu 13330   logclog 21890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-e 13336  df-sin 13337  df-cos 13338  df-tan 13339  df-pi 13340  df-dvds 13518  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-ulm 21726  df-log 21892  df-cxp 21893
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  29724
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