Theorem stirlinglem12 31413

Description: The sequence B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem12.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem12.3	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem12	|- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10547	. . . . 5 |- 1 e. NN
2		stirlinglem12.1	. . . . . . 7 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
3	2	stirlinglem2 31403	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
4		relogcl 22719	. . . . . 6 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
6		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ n 1
7		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ n log
8		nfmpt1 4536	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
9	2, 8	nfcxfr 2627	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
10	9, 6	nffv 5873	. . . . . . 7 |- F/_ n ( A ` 1 )
11	7, 10	nffv 5873	. . . . . 6 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
12		fveq2 5866	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
13	12	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
14		stirlinglem12.2	. . . . . 6 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
15	6, 11, 13, 14	fvmptf 5966	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
16	1, 5, 15	mp2an 672	. . . 4 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
17	16, 5	eqeltri 2551	. . 3 |- ( B ` 1 ) e. RR
18	17	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` 1 ) e. RR )
19	2	stirlinglem2 31403	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
20	19	relogcld 22764	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
21		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ n N
22	9, 21	nffv 5873	. . . . . 6 |- F/_ n ( A ` N )
23	7, 22	nffv 5873	. . . . 5 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
24		fveq2 5866	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
25	24	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
26	21, 23, 25, 14	fvmptf 5966	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
27	20, 26	mpdan 668	. . 3 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
28	27, 20	eqeltrd 2555	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
29		4re 10612	. . . 4 |- 4 e. RR
30		4ne0 10632	. . . 4 |- 4 =/= 0
31	29, 30	rereccli 10309	. . 3 |- ( 1 / 4 ) e. RR
32	31	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
33		fveq2 5866	. . . . 5 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
34		fveq2 5866	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( B ` k ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
35		fveq2 5866	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( B ` k ) = ( B ` 1 ) )
36		fveq2 5866	. . . . 5 |- ( k = N -> ( B ` k ) = ( B ` N ) )
37		elnnuz 11118	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	biimpi 194	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
39		elfznn 11714	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
40	2	stirlinglem2 31403	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. RR+ )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. RR+ )
42	41	relogcld 22764	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. RR )
43		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ n k
44	9, 43	nffv 5873	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` k )
45	7, 44	nffv 5873	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
46		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
47	46	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
48	43, 45, 47, 14	fvmptf 5966	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. RR ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
49	39, 42, 48	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
50	49	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
51	41	rpcnd 11258	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. CC )
52	51	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
53	40	rpne0d 11261	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
54	39, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
55	54	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
56	52, 55	logcld 22714	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
57	50, 56	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
58	33, 34, 35, 36, 38, 57	telfsumo 13579	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) )
59		nnz 10886	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
60		fzoval 11798	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	59, 60	syl 16	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
62	61	sumeq1d 13486	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
63	58, 62	eqtr3d 2510	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
64		fzfid 12051	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
65		elfznn 11714	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN )
66	65	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN )
67	2	stirlinglem2 31403	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` j ) e. RR+ )
68	67	relogcld 22764	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` j ) ) e. RR )
69		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n j
70	9, 69	nffv 5873	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( A ` j )
71	7, 70	nffv 5873	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
72		fveq2 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
73	72	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
74	69, 71, 73, 14	fvmptf 5966	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ ( log ` ( A ` j ) ) e. RR ) -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
75	68, 74	mpdan 668	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
76	75, 68	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
77	66, 76	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
78		peano2nn 10548	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
79	2	stirlinglem2 31403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
80	78, 79	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
81	80	relogcld 22764	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
82		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( j + 1 )
83	9, 82	nffv 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
84	7, 83	nffv 5873	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
85		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
86	85	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
87	82, 84, 86, 14	fvmptf 5966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
88	78, 81, 87	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
89	88, 81	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
90	65, 89	syl 16	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
91	90	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
92	77, 91	resubcld 9987	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
93	64, 92	fsumrecl 13519	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
94	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
95	65	nnred 10551	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. RR )
96		1re 9595	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. RR )
98	95, 97	readdcld 9623	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
99	95, 98	remulcld 9624	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
100	95	recnd 9622	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. CC )
101		ax-1cn 9550	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. CC )
103	100, 102	addcld 9615	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
104	65	nnne0d 10580	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j =/= 0 )
105	78	nnne0d 10580	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
106	65, 105	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
107	100, 103, 104, 106	mulne0d 10201	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
108	99, 107	rereccld 10371	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
109	108	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
110	94, 109	remulcld 9624	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
111	64, 110	fsumrecl 13519	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
112		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) )
113		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )
114	2, 14, 112, 113	stirlinglem10 31411	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
115	66, 114	syl 16	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
116	64, 92, 110, 115	fsumle 13576	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
117	64, 109	fsumrecl 13519	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
118	96	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
119		4pos 10631	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
120	29, 119	elrpii 11223	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. RR+ )
122		0re 9596	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
123	122	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
124		0lt1 10075	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
126	123, 118, 125	ltled 9732	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
127	118, 121, 126	divge0d 11292	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
128		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
129		nnuz 11117	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
130	129	uztrn2 11099	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. NN )
131		stirlinglem12.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
133		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> n = j )
134	133	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
135	133, 134	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
136	135	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
137		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. NN )
138		nnre 10543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. RR )
139	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
140	138, 139	readdcld 9623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR )
141	138, 140	remulcld 9624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
142		nncn 10544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. CC )
143	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
144	142, 143	addcld 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
145		nnne0 10568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
146	142, 144, 145, 105	mulne0d 10201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
147	141, 146	rereccld 10371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
148	132, 136, 137, 147	fvmptd 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
149	130, 148	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
150	130	nnred 10551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR )
151	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. RR )
152	150, 151	readdcld 9623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
153	150, 152	remulcld 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
154	150	recnd 9622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. CC )
155	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
156	154, 155	addcld 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
157	130	nnne0d 10580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j =/= 0 )
158	130, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
159	154, 156, 157, 158	mulne0d 10201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
160	153, 159	rereccld 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
161		seqeq1 12078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) = seq 1 ( + , F ) )
162	131	trireciplem 13636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1
163		climrel 13278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Rel ~~>
164	163	releldmi 5239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
165	162, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 1 ( + , F ) e. dom ~~>
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
167	161, 166	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
169		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. NN )
170		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> -. N = 1 )
171		elnn1uz2 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
172	169, 171	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
173	172	ord 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( -. N = 1 -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
174	170, 173	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
175		uz2m1nn 11156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
176	174, 175	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
177		nncn 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. CC )
178	177	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
179	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> 1 e. CC )
180	178, 179	npcand 9934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
181	180	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
182	181	seqeq1d 12081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) = seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) )
183		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. NN )
184	147	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
185	148, 184	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) e. CC )
186	185	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
187	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
188	129, 183, 186, 187	clim2ser 13440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
189	188	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
190	182, 189	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
191	163	releldmi 5239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
192	190, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
193	169, 176, 192	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
194	168, 193	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
195	128, 59, 149, 160, 194	isumrecl 13543	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
196	130	nnrpd 11255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR+ )
197	196	rpge0d 11260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ j )
198	150, 197	ge0p1rpd 11282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR+ )
199	196, 198	rpmulcld 11272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
200	126	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ 1 )
201	151, 199, 200	divge0d 11292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
202	128, 59, 149, 160, 194, 201	isumge0 13544	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
203	123, 195, 117, 202	leadd2dd 10167	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) <_ ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
204	117	recnd 9622	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
205	204	addid1d 9779	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
206	205	eqcomd 2475	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) )
207		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN )
208	148	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
209	142	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
210	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
211	209, 210	addcld 9615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) e. CC )
212	209, 211	mulcld 9616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
213	145	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
214	105	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
215	209, 211, 213, 214	mulne0d 10201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
216	212, 215	reccld 10313	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
217	165	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
218	129, 128, 207, 208, 216, 217	isumsplit 13615	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
219	203, 206, 218	3brtr4d 4477	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
220		1z 10894	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
222	148	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
223	184	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
224	162	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
225	129, 221, 222, 223, 224	isumclim 13535	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
226	225	trud 1388	. . . . . . . 8 |- sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1
227	226	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
228	219, 227	breqtrd 4471	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
229	117, 118, 32, 127, 228	lemul2ad 10486	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) )
230		4cn 10613	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
231	230	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. CC )
232	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 4 )
233	232	gt0ne0d 10117	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 =/= 0 )
234	231, 233	reccld 10313	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. CC )
235	109	recnd 9622	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
236	64, 234, 235	fsummulc2 13562	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
237	234	mulid1d 9613	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) = ( 1 / 4 ) )
238	229, 236, 237	3brtr3d 4476	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
239	93, 111, 32, 116, 238	letrd 9738	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
240	63, 239	eqbrtrd 4467	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
241	18, 28, 32, 240	subled 10155	1 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   T. wtru 1380   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   4c4 10587   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   seqcseq 12075   ^cexp 12134   !cfa 12321   sqrcsqrt 13029   ~~> cli 13270   sum_csu 13471   _eceu 13660   logclog 22698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-tan 13669  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-ulm 22534  df-log 22700  df-cxp 22701

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  31414