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Theorem stirlinglem11 29879
Description:  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem11.3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9386 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
3 stirlinglem11.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) ) ) )
5 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  k  =  1 )
65oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
76oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )
87oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )
96oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )
108, 9oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) ) )
11 1nn 10333 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
13 2cnd 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
14 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1613, 15mulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
1716, 15addcld 9405 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  CC )
18 2cn 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
1918mulid1i 9388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2019oveq1i 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
21 2p1e3 10445 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2220, 21eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
23 3ne0 10416 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
2422, 23eqnetri 2625 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0 )
2617, 25reccld 10100 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
27 nncn 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2813, 27mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
2928, 15addcld 9405 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
30 1re 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
32 2re 10391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
34 nnre 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3533, 34remulcld 9414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
3635, 31readdcld 9413 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
37 0lt1 9862 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
39 2rp 10996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
41 nnrp 11000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
4240, 41rpmulcld 11043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
4331, 42ltaddrp2d 11057 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
442, 31, 36, 38, 43lttrd 9532 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4544gt0ne0d 9904 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
4629, 45reccld 10100 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
47 2nn0 10596 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
49 1nn0 10595 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
5049a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
5148, 50nn0mulcld 10641 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  NN0 )
5246, 51expcld 12008 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  CC )
5326, 52mulcld 9406 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  CC )
544, 10, 12, 53fvmptd 5779 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  1 ) ) ) )
5532, 30remulcli 9400 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
5655, 30readdcli 9399 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR
5756, 24rereccli 10096 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
5936, 45rereccld 10158 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
6059, 51reexpcld 12025 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR )
6158, 60remulcld 9414 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR )
6254, 61eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR )
63 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6463stirlinglem2 29870 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
6564relogcld 22072 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
66 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ n N
67 nfcv 2579 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
68 nfmpt1 4381 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6963, 68nfcxfr 2576 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
7069, 66nffv 5698 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  N
)
7167, 70nffv 5698 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
72 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7372fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
74 stirlinglem11.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7566, 71, 73, 74fvmptf 5790 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
7665, 75mpdan 668 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
7776, 65eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
78 peano2nn 10334 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
7963stirlinglem2 29870 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8078, 79syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8180relogcld 22072 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
82 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( N  +  1 )
8369, 82nffv 5698 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  ( N  +  1 ) )
8467, 83nffv 5698 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
85 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8685fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8782, 84, 86, 74fvmptf 5790 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8878, 81, 87syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8988, 81eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
9077, 89resubcld 9776 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9133, 31remulcld 9414 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
92 0le2 10412 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
9392a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
94 0le1 9863 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
9633, 31, 93, 95mulge0d 9916 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  1 ) )
9791, 96ge0p1rpd 11053 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9897rpreccld 11037 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9941rpge0d 11031 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
10033, 34, 93, 99mulge0d 9916 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
10135, 100ge0p1rpd 11053 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
102101rpreccld 11037 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
103 2z 10678 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
104103a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
105 1z 10676 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
106105a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
107104, 106zmulcld 10753 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  ZZ )
108102, 107rpexpcld 12031 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR+ )
10998, 108rpmulcld 11043 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR+ )
11054, 109eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR+ )
111110rpgt0d 11030 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( K `  1
) )
11290, 62resubcld 9776 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  e.  RR )
113 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
114106peano2zd 10750 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  ZZ )
115 nnuz 10896 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1163a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) ) ) )
117 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
118117oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
119118oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
120117oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) )
121119, 120oveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) ) ) )
122121adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  k  =  j )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) ) )
123 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
124 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
125 nncn 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
127124, 126mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  CC )
12814a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
129127, 128addcld 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
1301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
13130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
13232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
133 nnre 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR )
135132, 134remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR )
136135, 131readdcld 9413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
13737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  1 )
13839a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
139 nnrp 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
140139adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
141138, 140rpmulcld 11043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR+ )
142131, 141ltaddrp2d 11057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
143130, 131, 136, 137, 142lttrd 9532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
144143gt0ne0d 9904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
145129, 144reccld 10100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
14627adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
147124, 146mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
148147, 128addcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
14945adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
150148, 149reccld 10100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
15147a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
152 nnnn0 10586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
153152adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
154151, 153nn0mulcld 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
155150, 154expcld 12008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  CC )
156145, 155mulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
157116, 122, 123, 156fvmptd 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
1581a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15930a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
161160, 133remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
162161, 159readdcld 9413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
16337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
16439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
165164, 139rpmulcld 11043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
166159, 165ltaddrp2d 11057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
167158, 159, 162, 163, 166lttrd 9532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
168167gt0ne0d 9904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
169168adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
170129, 169reccld 10100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
171170, 155mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
172157, 171eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  e.  CC )
173 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
17463, 74, 173, 3stirlinglem9 29877 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
175115, 12, 172, 174clim2ser 13132 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq ( 1  +  1 ) (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  1 )
) )
176 peano2nn 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
177 uznnssnn 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
17811, 176, 177mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  C_  NN
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
180179sseld 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN ) )
181180imdistani 690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )
182181, 157syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
18332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  e.  RR )
184 eluzelre 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  RR )
185183, 184remulcld 9414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
18630a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
187185, 186readdcld 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
188178sseli 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
189188, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
190187, 189rereccld 10158 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR )
191190adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  RR )
19236adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
19345adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
194192, 193rereccld 10158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
195181, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
196194, 195reexpcld 12025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  RR )
197191, 196remulcld 9414 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  RR )
198182, 197eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  e.  RR )
19930a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
1  e.  RR )
20032a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
2  e.  RR )
201181, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
202200, 201remulcld 9414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  RR )
20392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  2 )
2041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
20592a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  2 )
206 1p1e2 10435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
207 eluzle 10873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_ 
j )
208206, 207syl5eqbrr 4326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  <_  j )
209204, 183, 184, 205, 208letrd 9528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  j )
210209adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
211200, 201, 203, 210mulge0d 9916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  j ) )
212202, 211ge0p1rpd 11053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR+ )
21394a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  1 )
214199, 212, 213divge0d 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
21534adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
216200, 215remulcld 9414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
21799adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  N )
218200, 215, 203, 217mulge0d 9916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  N ) )
219216, 218ge0p1rpd 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
220199, 219, 213divge0d 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
221194, 195, 220expge0d 12026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )
222191, 196, 214, 221mulge0d 9916 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
223222, 182breqtrrd 4318 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( K `  j ) )
224113, 114, 175, 198, 223iserge0 13138 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
) ) )
225 seq1 11819 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
226105, 225mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
227226oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
) )  =  ( ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
228224, 227breqtrd 4316 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
2292, 112, 62, 228leadd1dd 9953 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  <_  ( ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  +  ( K `  1
) ) )
23054, 53eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  CC )
231230addid2d 9570 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  =  ( K ` 
1 ) )
23277recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  CC )
23389recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
234232, 233subcld 9719 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
235234, 230npcand 9723 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  +  ( K ` 
1 ) )  =  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
236229, 231, 2353brtr3d 4321 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  <_  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
2372, 62, 90, 111, 236ltletrd 9531 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
23889, 77posdifd 9926 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `
 N )  <->  0  <  ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
239237, 238mpbird 232 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   3c3 10372   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991    seqcseq 11806   ^cexp 11865   !cfa 12051   sqrcsqr 12722   _eceu 13348   logclog 22006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-e 13354  df-sin 13355  df-cos 13356  df-tan 13357  df-pi 13358  df-dvds 13536  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-ulm 21842  df-log 22008  df-cxp 22009
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