Theorem stirlinglem11 37940

Description: B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem11.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem11.3	|- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem11	|- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n   n, K   k, N, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)   K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9641	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 |- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
4		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> k = 1 )
5	4	oveq2d 6304	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. 1 ) )
6	5	oveq1d 6303	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) )
7	6	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) )
8	5	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) )
9	7, 8	oveq12d 6306	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
10		1nn 10617	. . . . . 6 |- 1 e. NN
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. NN )
12		2cnd 10679	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1cnd 9656	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
14	12, 13	mulcld 9660	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
15	14, 13	addcld 9659	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. CC )
16		2t1e2 10755	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	16	oveq1i 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
18		2p1e3 10730	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 1 ) = 3
19	17, 18	eqtri 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
20		3ne0 10701	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
21	19, 20	eqnetri 2693	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0 )
23	15, 22	reccld 10373	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. CC )
24		nncn 10614	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
25	12, 24	mulcld 9660	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
26	25, 13	addcld 9659	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
27		1red 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
28		2re 10676	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
30		nnre 10613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
31	29, 30	remulcld 9668	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
32	31, 27	readdcld 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33		0lt1 10133	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
35		2rp 11304	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
37		nnrp 11308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
38	36, 37	rpmulcld 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
39	27, 38	ltaddrp2d 11369	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 9793	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
41	40	gt0ne0d 10175	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
42	26, 41	reccld 10373	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
43		2nn0 10883	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
45		1nn0 10882	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
47	44, 46	nn0mulcld 10927	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. NN0 )
48	42, 47	expcld 12413	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. CC )
49	23, 48	mulcld 9660	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. CC )
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 5952	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
51		1re 9639	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
52	28, 51	remulcli 9654	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
53	52, 51	readdcli 9653	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR
54	53, 21	rereccli 10369	. . . . . 6 |- ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR
55	54	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR )
56	32, 41	rereccld 10431	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
57	56, 47	reexpcld 12430	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR )
58	55, 57	remulcld 9668	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR )
59	50, 58	eqeltrd 2528	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR )
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
61	60	stirlinglem2 37931	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
62	61	relogcld 23565	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
63		nfcv 2591	. . . . . . 7 |- F/_ n N
64		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ n log
65		nfmpt1 4491	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
66	60, 65	nfcxfr 2589	. . . . . . . . 9 |- F/_ n A
67	66, 63	nffv 5870	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` N )
68	64, 67	nffv 5870	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
69		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
70	69	fveq2d 5867	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
71		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
72	63, 68, 70, 71	fvmptf 5964	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
73	62, 72	mpdan 673	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
74	73, 62	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
75		peano2nn 10618	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
76	60	stirlinglem2 37931	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
78	77	relogcld 23565	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
79		nfcv 2591	. . . . . . 7 |- F/_ n ( N + 1 )
80	66, 79	nffv 5870	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` ( N + 1 ) )
81	64, 80	nffv 5870	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) )
82		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( N + 1 ) ) )
83	82	fveq2d 5867	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
84	79, 81, 83, 71	fvmptf 5964	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
85	75, 78, 84	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
86	85, 78	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. RR )
87	74, 86	resubcld 10044	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
88	29, 27	remulcld 9668	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
89		0le2 10697	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
91		0le1 10134	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
93	29, 27, 90, 92	mulge0d 10187	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. 1 ) )
94	88, 93	ge0p1rpd 11365	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR+ )
95	94	rpreccld 11348	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR+ )
96	37	rpge0d 11342	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
97	29, 30, 90, 96	mulge0d 10187	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
98	31, 97	ge0p1rpd 11365	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
99	98	rpreccld 11348	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
100		2z 10966	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
102		1z 10964	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 11043	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. ZZ )
105	99, 104	rpexpcld 12436	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR+ )
106	95, 105	rpmulcld 11354	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR+ )
107	50, 106	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR+ )
108	107	rpgt0d 11341	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < ( K ` 1 ) )
109	87, 59	resubcld 10044	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) e. RR )
110		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
111	103	peano2zd 11040	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
112		nnuz 11191	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
114		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. j ) )
115	114	oveq1d 6303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
116	115	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
117	114	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
118	116, 117	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
119	118	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ k = j ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
120		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
121		2cnd 10679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
122		nncn 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. CC )
123	122	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
124	121, 123	mulcld 9660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
125		1cnd 9656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
126	124, 125	addcld 9659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. CC )
127		0red 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 e. RR )
128		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
129	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR )
130		nnre 10613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
131	130	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR )
132	129, 131	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
133	132, 128	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
134	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < 1 )
135	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR+ )
136		nnrp 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
137	136	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR+ )
138	135, 137	rpmulcld 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
139	128, 138	ltaddrp2d 11369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
140	127, 128, 133, 134, 139	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
141	140	gt0ne0d 10175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
142	126, 141	reccld 10373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
143	24	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> N e. CC )
144	121, 143	mulcld 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
145	144, 125	addcld 9659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
146	41	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
147	145, 146	reccld 10373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
148	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. NN0 )
149		nnnn0 10873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
150	149	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
151	148, 150	nn0mulcld 10927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
152	147, 151	expcld 12413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
153	142, 152	mulcld 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
154	113, 119, 120, 153	fvmptd 5952	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
155		0red 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
156		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
157	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR )
158	157, 130	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR )
159	158, 156	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
160	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < 1 )
161	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
162	161, 136	rpmulcld 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
163	156, 162	ltaddrp2d 11369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
164	155, 156, 159, 160, 163	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
165	164	gt0ne0d 10175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
166	165	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
167	126, 166	reccld 10373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
168	167, 152	mulcld 9660	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
169	154, 168	eqeltrd 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) e. CC )
170		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) )
171	60, 71, 170, 2	stirlinglem9 37938	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , K ) ~~> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
172	112, 11, 169, 171	clim2ser 13711	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> seq ( 1 + 1 ) ( + , K ) ~~> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
173		peano2nn 10618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> ( 1 + 1 ) e. NN )
174		uznnssnn 11203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
175	10, 173, 174	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
177	176	sseld 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN ) )
178	177	imdistani 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N e. NN /\ j e. NN ) )
179	178, 154	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
180	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 e. RR )
181		eluzelre 11166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. RR )
182	180, 181	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
183		1red 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
184	182, 183	readdcld 9667	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
185	175	sseli 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN )
186	185, 165	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
187	184, 186	rereccld 10431	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
188	187	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
189	32	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
190	41	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
191	189, 190	rereccld 10431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
192	178, 151	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
193	191, 192	reexpcld 12430	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. RR )
194	188, 193	remulcld 9668	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. RR )
195	179, 194	eqeltrd 2528	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) e. RR )
196		1red 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
197	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
198	178, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> j e. RR )
199	197, 198	remulcld 9668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
200	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 2 )
201		0red 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 e. RR )
202	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ 2 )
203		1p1e2 10720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 + 1 ) = 2
204		eluzle 11168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ j )
205	203, 204	syl5eqbrr 4436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 <_ j )
206	201, 180, 181, 202, 205	letrd 9789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ j )
207	206	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
208	197, 198, 200, 207	mulge0d 10187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. j ) )
209	199, 208	ge0p1rpd 11365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR+ )
210	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
211	196, 209, 210	divge0d 11375	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
212	30	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> N e. RR )
213	197, 212	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
214	96	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ N )
215	197, 212, 200, 214	mulge0d 10187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
216	213, 215	ge0p1rpd 11365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
217	196, 216, 210	divge0d 11375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
218	191, 192, 217	expge0d 12431	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
219	188, 193, 211, 218	mulge0d 10187	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
220	219, 179	breqtrrd 4428	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
221	110, 111, 172, 195, 220	iserge0 13717	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
222		seq1 12223	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
223	102, 222	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
224	223	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) = ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
225	221, 224	breqtrd 4426	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
226	1, 109, 59, 225	leadd1dd 10224	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) <_ ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) )
227	50, 49	eqeltrd 2528	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. CC )
228	227	addid2d 9831	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) = ( K ` 1 ) )
229	74	recnd 9666	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. CC )
230	86	recnd 9666	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. CC )
231	229, 230	subcld 9983	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. CC )
232	231, 227	npcand 9987	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) = ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
233	226, 228, 232	3brtr3d 4431	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) <_ ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
234	1, 59, 87, 108, 233	ltletrd 9792	. 2 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
235	86, 74	posdifd 10197	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) <-> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) ) )
236	234, 235	mpbird 236	1 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   C_ wss 3403   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   seqcseq 12210   ^cexp 12269   !cfa 12456   sqrcsqrt 13289   _eceu 14108   logclog 23497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-ulm 23325  df-log 23499  df-cxp 23500

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  37942