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Theorem stirlinglem11 37940
Description:  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem11.3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9641 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) ) ) )
4 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  k  =  1 )
54oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
65oveq1d 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )
76oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )
85oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )
97, 8oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) ) )
10 1nn 10617 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
12 2cnd 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
13 1cnd 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1412, 13mulcld 9660 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
1514, 13addcld 9659 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  CC )
16 2t1e2 10755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1716oveq1i 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
18 2p1e3 10730 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  +  1 )  =  3
1917, 18eqtri 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
20 3ne0 10701 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
2119, 20eqnetri 2693 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0 )
2315, 22reccld 10373 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
24 nncn 10614 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2512, 24mulcld 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
2625, 13addcld 9659 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
27 1red 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
28 2re 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
30 nnre 10613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3129, 30remulcld 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
3231, 27readdcld 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
33 0lt1 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
35 2rp 11304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
37 nnrp 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3836, 37rpmulcld 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3927, 38ltaddrp2d 11369 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
401, 27, 32, 34, 39lttrd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4140gt0ne0d 10175 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
4226, 41reccld 10373 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
43 2nn0 10883 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
45 1nn0 10882 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
4744, 46nn0mulcld 10927 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  NN0 )
4842, 47expcld 12413 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  CC )
4923, 48mulcld 9660 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  CC )
503, 9, 11, 49fvmptd 5952 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  1 ) ) ) )
51 1re 9639 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
5228, 51remulcli 9654 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
5352, 51readdcli 9653 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR
5453, 21rereccli 10369 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR
5554a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
5632, 41rereccld 10431 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
5756, 47reexpcld 12430 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR )
5855, 57remulcld 9668 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR )
5950, 58eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR )
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6160stirlinglem2 37931 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
6261relogcld 23565 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
63 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ n N
64 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
65 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6660, 65nfcxfr 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
6766, 63nffv 5870 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  N
)
6864, 67nffv 5870 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
69 fveq2 5863 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7069fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
71 stirlinglem11.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7263, 68, 70, 71fvmptf 5964 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
7362, 72mpdan 673 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
7473, 62eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
75 peano2nn 10618 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
7660stirlinglem2 37931 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
7877relogcld 23565 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
79 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( N  +  1 )
8066, 79nffv 5870 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  ( N  +  1 ) )
8164, 80nffv 5870 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
82 fveq2 5863 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8382fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8479, 81, 83, 71fvmptf 5964 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8575, 78, 84syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8685, 78eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
8774, 86resubcld 10044 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
8829, 27remulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
89 0le2 10697 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
9089a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
91 0le1 10134 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
9291a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
9329, 27, 90, 92mulge0d 10187 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  1 ) )
9488, 93ge0p1rpd 11365 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9594rpreccld 11348 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9637rpge0d 11342 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
9729, 30, 90, 96mulge0d 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
9831, 97ge0p1rpd 11365 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
9998rpreccld 11348 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
100 2z 10966 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
101100a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
102 1z 10964 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
104101, 103zmulcld 11043 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  ZZ )
10599, 104rpexpcld 12436 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR+ )
10695, 105rpmulcld 11354 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR+ )
10750, 106eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR+ )
108107rpgt0d 11341 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( K `  1
) )
10987, 59resubcld 10044 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  e.  RR )
110 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
111103peano2zd 11040 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  ZZ )
112 nnuz 11191 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) ) ) )
114 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
115114oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
116115oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
117114oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) )
118116, 117oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) ) ) )
119118adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  k  =  j )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) ) )
120 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
121 2cnd 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
122 nncn 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
123122adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
124121, 123mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  CC )
125 1cnd 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
126124, 125addcld 9659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
127 0red 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
128 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
12928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
130 nnre 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
131130adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR )
132129, 131remulcld 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR )
133132, 128readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
13433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  1 )
13535a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
136 nnrp 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
137136adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
138135, 137rpmulcld 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR+ )
139128, 138ltaddrp2d 11369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
140127, 128, 133, 134, 139lttrd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
141140gt0ne0d 10175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
142126, 141reccld 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
14324adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
144121, 143mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
145144, 125addcld 9659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
14641adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
147145, 146reccld 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
14843a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
149 nnnn0 10873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
150149adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
151148, 150nn0mulcld 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
152147, 151expcld 12413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  CC )
153142, 152mulcld 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
154113, 119, 120, 153fvmptd 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
155 0red 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
156 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
158157, 130remulcld 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
159158, 156readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
16033a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
16135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
162161, 136rpmulcld 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
163156, 162ltaddrp2d 11369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
164155, 156, 159, 160, 163lttrd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
165164gt0ne0d 10175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
166165adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
167126, 166reccld 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
168167, 152mulcld 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
169154, 168eqeltrd 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  e.  CC )
170 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
17160, 71, 170, 2stirlinglem9 37938 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
172112, 11, 169, 171clim2ser 13711 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq ( 1  +  1 ) (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  1 )
) )
173 peano2nn 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
174 uznnssnn 11203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
17510, 173, 174mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  C_  NN
176175a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
177176sseld 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN ) )
178177imdistani 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )
179178, 154syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
18028a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  e.  RR )
181 eluzelre 11166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  RR )
182180, 181remulcld 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
183 1red 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
184182, 183readdcld 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
185175sseli 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
186185, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
187184, 186rereccld 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR )
188187adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  RR )
18932adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
19041adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
191189, 190rereccld 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
192178, 151syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
193191, 192reexpcld 12430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  RR )
194188, 193remulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  RR )
195179, 194eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  e.  RR )
196 1red 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
1  e.  RR )
19728a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
2  e.  RR )
198178, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
199197, 198remulcld 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  RR )
20089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  2 )
201 0red 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
20289a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  2 )
203 1p1e2 10720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
204 eluzle 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_ 
j )
205203, 204syl5eqbrr 4436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  <_  j )
206201, 180, 181, 202, 205letrd 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  j )
207206adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
208197, 198, 200, 207mulge0d 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  j ) )
209199, 208ge0p1rpd 11365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR+ )
21091a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  1 )
211196, 209, 210divge0d 11375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
21230adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
213197, 212remulcld 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
21496adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  N )
215197, 212, 200, 214mulge0d 10187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  N ) )
216213, 215ge0p1rpd 11365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
217196, 216, 210divge0d 11375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
218191, 192, 217expge0d 12431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )
219188, 193, 211, 218mulge0d 10187 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
220219, 179breqtrrd 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( K `  j ) )
221110, 111, 172, 195, 220iserge0 13717 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
) ) )
222 seq1 12223 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
223102, 222mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
224223oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
) )  =  ( ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
225221, 224breqtrd 4426 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
2261, 109, 59, 225leadd1dd 10224 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  <_  ( ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  +  ( K `  1
) ) )
22750, 49eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  CC )
228227addid2d 9831 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  =  ( K ` 
1 ) )
22974recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  CC )
23086recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
231229, 230subcld 9983 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
232231, 227npcand 9987 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  +  ( K ` 
1 ) )  =  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
233226, 228, 2323brtr3d 4431 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  <_  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
2341, 59, 87, 108, 233ltletrd 9792 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
23586, 74posdifd 10197 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `
 N )  <->  0  <  ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
236234, 235mpbird 236 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621    C_ wss 3403   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299    seqcseq 12210   ^cexp 12269   !cfa 12456   sqrcsqrt 13289   _eceu 14108   logclog 23497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-ulm 23325  df-log 23499  df-cxp 23500
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  37942
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