Theorem stirlinglem11 31412

Description: B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem11.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem11.3	|- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem11	|- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n   n, K   k, N, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)   K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9596	. . . 4 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
3		stirlinglem11.3	. . . . . 6 |- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
5		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> k = 1 )
6	5	oveq2d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. 1 ) )
7	6	oveq1d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq2d 6300	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) )
9	6	oveq2d 6300	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) )
10	8, 9	oveq12d 6302	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
11		1nn 10547	. . . . . 6 |- 1 e. NN
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. NN )
13		2cnd 10608	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
14		ax-1cn 9550	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
16	13, 15	mulcld 9616	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
17	16, 15	addcld 9615	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. CC )
18		2cn 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
19	18	mulid1i 9598	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
20	19	oveq1i 6294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
21		2p1e3 10659	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 1 ) = 3
22	20, 21	eqtri 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
23		3ne0 10630	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
24	22, 23	eqnetri 2763	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0 )
26	17, 25	reccld 10313	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. CC )
27		nncn 10544	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
28	13, 27	mulcld 9616	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
29	28, 15	addcld 9615	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
30		1re 9595	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
32		2re 10605	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
34		nnre 10543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
35	33, 34	remulcld 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
36	35, 31	readdcld 9623	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
37		0lt1 10075	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
39		2rp 11225	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
41		nnrp 11229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
42	40, 41	rpmulcld 11272	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
43	31, 42	ltaddrp2d 11286	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
44	2, 31, 36, 38, 43	lttrd 9742	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
45	44	gt0ne0d 10117	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
46	29, 45	reccld 10313	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
47		2nn0 10812	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
49		1nn0 10811	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
51	48, 50	nn0mulcld 10857	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. NN0 )
52	46, 51	expcld 12278	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. CC )
53	26, 52	mulcld 9616	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. CC )
54	4, 10, 12, 53	fvmptd 5955	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
55	32, 30	remulcli 9610	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
56	55, 30	readdcli 9609	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR
57	56, 24	rereccli 10309	. . . . . 6 |- ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR
58	57	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR )
59	36, 45	rereccld 10371	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
60	59, 51	reexpcld 12295	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR )
61	58, 60	remulcld 9624	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR )
62	54, 61	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR )
63		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
64	63	stirlinglem2 31403	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
65	64	relogcld 22764	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
66		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ n N
67		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ n log
68		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
69	63, 68	nfcxfr 2627	. . . . . . . . 9 |- F/_ n A
70	69, 66	nffv 5873	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` N )
71	67, 70	nffv 5873	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
72		fveq2 5866	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
73	72	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
74		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
75	66, 71, 73, 74	fvmptf 5966	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
76	65, 75	mpdan 668	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
77	76, 65	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
78		peano2nn 10548	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
79	63	stirlinglem2 31403	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
80	78, 79	syl 16	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
81	80	relogcld 22764	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
82		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ n ( N + 1 )
83	69, 82	nffv 5873	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` ( N + 1 ) )
84	67, 83	nffv 5873	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) )
85		fveq2 5866	. . . . . . . 8 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( N + 1 ) ) )
86	85	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
87	82, 84, 86, 74	fvmptf 5966	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
88	78, 81, 87	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
89	88, 81	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. RR )
90	77, 89	resubcld 9987	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
91	33, 31	remulcld 9624	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
92		0le2 10626	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
94		0le1 10076	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
95	94	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
96	33, 31, 93, 95	mulge0d 10129	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. 1 ) )
97	91, 96	ge0p1rpd 11282	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR+ )
98	97	rpreccld 11266	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR+ )
99	41	rpge0d 11260	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
100	33, 34, 93, 99	mulge0d 10129	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
101	35, 100	ge0p1rpd 11282	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
102	101	rpreccld 11266	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
103		2z 10896	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
104	103	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
105		1z 10894	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
106	105	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
107	104, 106	zmulcld 10972	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. ZZ )
108	102, 107	rpexpcld 12301	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR+ )
109	98, 108	rpmulcld 11272	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR+ )
110	54, 109	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR+ )
111	110	rpgt0d 11259	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < ( K ` 1 ) )
112	90, 62	resubcld 9987	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) e. RR )
113		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
114	106	peano2zd 10969	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
115		nnuz 11117	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
116	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
117		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. j ) )
118	117	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
119	118	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
120	117	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
121	119, 120	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
122	121	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ k = j ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
123		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
124		2cnd 10608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
125		nncn 10544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. CC )
126	125	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
127	124, 126	mulcld 9616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
128	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
129	127, 128	addcld 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. CC )
130	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 e. RR )
131	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
132	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR )
133		nnre 10543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
134	133	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR )
135	132, 134	remulcld 9624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
136	135, 131	readdcld 9623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
137	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < 1 )
138	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR+ )
139		nnrp 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
140	139	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR+ )
141	138, 140	rpmulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
142	131, 141	ltaddrp2d 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
143	130, 131, 136, 137, 142	lttrd 9742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
144	143	gt0ne0d 10117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
145	129, 144	reccld 10313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
146	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> N e. CC )
147	124, 146	mulcld 9616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
148	147, 128	addcld 9615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
149	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
150	148, 149	reccld 10313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
151	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. NN0 )
152		nnnn0 10802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
153	152	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
154	151, 153	nn0mulcld 10857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
155	150, 154	expcld 12278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
156	145, 155	mulcld 9616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
157	116, 122, 123, 156	fvmptd 5955	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
158	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
159	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
160	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR )
161	160, 133	remulcld 9624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR )
162	161, 159	readdcld 9623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
163	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < 1 )
164	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
165	164, 139	rpmulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
166	159, 165	ltaddrp2d 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
167	158, 159, 162, 163, 166	lttrd 9742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
168	167	gt0ne0d 10117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
169	168	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
170	129, 169	reccld 10313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
171	170, 155	mulcld 9616	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
172	157, 171	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) e. CC )
173		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) )
174	63, 74, 173, 3	stirlinglem9 31410	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , K ) ~~> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
175	115, 12, 172, 174	clim2ser 13440	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> seq ( 1 + 1 ) ( + , K ) ~~> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
176		peano2nn 10548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> ( 1 + 1 ) e. NN )
177		uznnssnn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
178	11, 176, 177	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
180	179	sseld 3503	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN ) )
181	180	imdistani 690	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N e. NN /\ j e. NN ) )
182	181, 157	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
183	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 e. RR )
184		eluzelre 11092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. RR )
185	183, 184	remulcld 9624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
186	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
187	185, 186	readdcld 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
188	178	sseli 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN )
189	188, 168	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
190	187, 189	rereccld 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
191	190	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
192	36	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
193	45	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
194	192, 193	rereccld 10371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
195	181, 154	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
196	194, 195	reexpcld 12295	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. RR )
197	191, 196	remulcld 9624	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. RR )
198	182, 197	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) e. RR )
199	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
200	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
201	181, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> j e. RR )
202	200, 201	remulcld 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
203	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 2 )
204	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 e. RR )
205	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ 2 )
206		1p1e2 10649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 + 1 ) = 2
207		eluzle 11094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ j )
208	206, 207	syl5eqbrr 4481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 <_ j )
209	204, 183, 184, 205, 208	letrd 9738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ j )
210	209	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
211	200, 201, 203, 210	mulge0d 10129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. j ) )
212	202, 211	ge0p1rpd 11282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR+ )
213	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
214	199, 212, 213	divge0d 11292	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
215	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> N e. RR )
216	200, 215	remulcld 9624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
217	99	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ N )
218	200, 215, 203, 217	mulge0d 10129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
219	216, 218	ge0p1rpd 11282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
220	199, 219, 213	divge0d 11292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
221	194, 195, 220	expge0d 12296	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
222	191, 196, 214, 221	mulge0d 10129	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
223	222, 182	breqtrrd 4473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
224	113, 114, 175, 198, 223	iserge0 13446	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
225		seq1 12088	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
226	105, 225	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
227	226	oveq2d 6300	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) = ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
228	224, 227	breqtrd 4471	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
229	2, 112, 62, 228	leadd1dd 10166	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) <_ ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) )
230	54, 53	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. CC )
231	230	addid2d 9780	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) = ( K ` 1 ) )
232	77	recnd 9622	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. CC )
233	89	recnd 9622	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. CC )
234	232, 233	subcld 9930	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. CC )
235	234, 230	npcand 9934	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) = ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
236	229, 231, 235	3brtr3d 4476	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) <_ ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
237	2, 62, 90, 111, 236	ltletrd 9741	. 2 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
238	89, 77	posdifd 10139	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) <-> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) ) )
239	237, 238	mpbird 232	1 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   seqcseq 12075   ^cexp 12134   !cfa 12321   sqrcsqrt 13029   _eceu 13660   logclog 22698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-tan 13669  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-ulm 22534  df-log 22700  df-cxp 22701

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  31414