Theorem stirlinglem11 32048

Description: B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem11.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem11.3	|- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem11	|- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n   n, K   k, N, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)   K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9614	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
2		stirlinglem11.3	. . . . . 6 |- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
4		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> k = 1 )
5	4	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. 1 ) )
6	5	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) )
7	6	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) )
8	5	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) )
9	7, 8	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
10		1nn 10567	. . . . . 6 |- 1 e. NN
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. NN )
12		2cnd 10629	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1cnd 9629	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
14	12, 13	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
15	14, 13	addcld 9632	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. CC )
16		2t1e2 10705	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	16	oveq1i 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
18		2p1e3 10680	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 1 ) = 3
19	17, 18	eqtri 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
20		3ne0 10651	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
21	19, 20	eqnetri 2753	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0 )
23	15, 22	reccld 10334	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. CC )
24		nncn 10564	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
25	12, 24	mulcld 9633	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
26	25, 13	addcld 9632	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
27		1red 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
28		2re 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
30		nnre 10563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
31	29, 30	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
32	31, 27	readdcld 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33		0lt1 10096	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
35		2rp 11250	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
37		nnrp 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
38	36, 37	rpmulcld 11297	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
39	27, 38	ltaddrp2d 11311	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
40	1, 27, 32, 34, 39	lttrd 9760	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
41	40	gt0ne0d 10138	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
42	26, 41	reccld 10334	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
43		2nn0 10833	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
45		1nn0 10832	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
47	44, 46	nn0mulcld 10878	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. NN0 )
48	42, 47	expcld 12313	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. CC )
49	23, 48	mulcld 9633	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. CC )
50	3, 9, 11, 49	fvmptd 5961	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
51		1re 9612	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
52	28, 51	remulcli 9627	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
53	52, 51	readdcli 9626	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR
54	53, 21	rereccli 10330	. . . . . 6 |- ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR
55	54	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR )
56	32, 41	rereccld 10392	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
57	56, 47	reexpcld 12330	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR )
58	55, 57	remulcld 9641	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR )
59	50, 58	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR )
60		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
61	60	stirlinglem2 32039	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
62	61	relogcld 23134	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
63		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ n N
64		nfcv 2619	. . . . . . . 8 |- F/_ n log
65		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
66	60, 65	nfcxfr 2617	. . . . . . . . 9 |- F/_ n A
67	66, 63	nffv 5879	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` N )
68	64, 67	nffv 5879	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
69		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
70	69	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
71		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
72	63, 68, 70, 71	fvmptf 5973	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
73	62, 72	mpdan 668	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
74	73, 62	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
75		peano2nn 10568	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
76	60	stirlinglem2 32039	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
78	77	relogcld 23134	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
79		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ n ( N + 1 )
80	66, 79	nffv 5879	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` ( N + 1 ) )
81	64, 80	nffv 5879	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) )
82		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( N + 1 ) ) )
83	82	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
84	79, 81, 83, 71	fvmptf 5973	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
85	75, 78, 84	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
86	85, 78	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. RR )
87	74, 86	resubcld 10008	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
88	29, 27	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
89		0le2 10647	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
91		0le1 10097	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
93	29, 27, 90, 92	mulge0d 10150	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. 1 ) )
94	88, 93	ge0p1rpd 11307	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR+ )
95	94	rpreccld 11291	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR+ )
96	37	rpge0d 11285	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
97	29, 30, 90, 96	mulge0d 10150	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
98	31, 97	ge0p1rpd 11307	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
99	98	rpreccld 11291	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
100		2z 10917	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
101	100	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
102		1z 10915	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 10996	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. ZZ )
105	99, 104	rpexpcld 12336	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR+ )
106	95, 105	rpmulcld 11297	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR+ )
107	50, 106	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR+ )
108	107	rpgt0d 11284	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < ( K ` 1 ) )
109	87, 59	resubcld 10008	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) e. RR )
110		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
111	103	peano2zd 10993	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
112		nnuz 11141	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
114		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. j ) )
115	114	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
116	115	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
117	114	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
118	116, 117	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
119	118	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ k = j ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
120		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
121		2cnd 10629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
122		nncn 10564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. CC )
123	122	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
124	121, 123	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
125		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
126	124, 125	addcld 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. CC )
127		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 e. RR )
128		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
129	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR )
130		nnre 10563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR )
132	129, 131	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
133	132, 128	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
134	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < 1 )
135	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR+ )
136		nnrp 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
137	136	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR+ )
138	135, 137	rpmulcld 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
139	128, 138	ltaddrp2d 11311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
140	127, 128, 133, 134, 139	lttrd 9760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
141	140	gt0ne0d 10138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
142	126, 141	reccld 10334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
143	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> N e. CC )
144	121, 143	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
145	144, 125	addcld 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
146	41	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
147	145, 146	reccld 10334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
148	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. NN0 )
149		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
150	149	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
151	148, 150	nn0mulcld 10878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
152	147, 151	expcld 12313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
153	142, 152	mulcld 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
154	113, 119, 120, 153	fvmptd 5961	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
155		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
156		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
157	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR )
158	157, 130	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR )
159	158, 156	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
160	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < 1 )
161	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
162	161, 136	rpmulcld 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
163	156, 162	ltaddrp2d 11311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
164	155, 156, 159, 160, 163	lttrd 9760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
165	164	gt0ne0d 10138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
166	165	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
167	126, 166	reccld 10334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
168	167, 152	mulcld 9633	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
169	154, 168	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) e. CC )
170		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) )
171	60, 71, 170, 2	stirlinglem9 32046	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , K ) ~~> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
172	112, 11, 169, 171	clim2ser 13489	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> seq ( 1 + 1 ) ( + , K ) ~~> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
173		peano2nn 10568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> ( 1 + 1 ) e. NN )
174		uznnssnn 11153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
175	10, 173, 174	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
177	176	sseld 3498	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN ) )
178	177	imdistani 690	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N e. NN /\ j e. NN ) )
179	178, 154	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
180	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 e. RR )
181		eluzelre 11116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. RR )
182	180, 181	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
183		1red 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
184	182, 183	readdcld 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
185	175	sseli 3495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN )
186	185, 165	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
187	184, 186	rereccld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
188	187	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
189	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
190	41	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
191	189, 190	rereccld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
192	178, 151	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
193	191, 192	reexpcld 12330	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. RR )
194	188, 193	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. RR )
195	179, 194	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) e. RR )
196		1red 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
197	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
198	178, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> j e. RR )
199	197, 198	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
200	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 2 )
201		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 e. RR )
202	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ 2 )
203		1p1e2 10670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 + 1 ) = 2
204		eluzle 11118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ j )
205	203, 204	syl5eqbrr 4490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 <_ j )
206	201, 180, 181, 202, 205	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ j )
207	206	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
208	197, 198, 200, 207	mulge0d 10150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. j ) )
209	199, 208	ge0p1rpd 11307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR+ )
210	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
211	196, 209, 210	divge0d 11317	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
212	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> N e. RR )
213	197, 212	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
214	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ N )
215	197, 212, 200, 214	mulge0d 10150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
216	213, 215	ge0p1rpd 11307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
217	196, 216, 210	divge0d 11317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
218	191, 192, 217	expge0d 12331	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
219	188, 193, 211, 218	mulge0d 10150	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
220	219, 179	breqtrrd 4482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
221	110, 111, 172, 195, 220	iserge0 13495	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
222		seq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
223	102, 222	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
224	223	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) = ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
225	221, 224	breqtrd 4480	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
226	1, 109, 59, 225	leadd1dd 10187	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) <_ ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) )
227	50, 49	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. CC )
228	227	addid2d 9798	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) = ( K ` 1 ) )
229	74	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. CC )
230	86	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. CC )
231	229, 230	subcld 9950	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. CC )
232	231, 227	npcand 9954	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) = ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
233	226, 228, 232	3brtr3d 4485	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) <_ ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
234	1, 59, 87, 108, 233	ltletrd 9759	. 2 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
235	86, 74	posdifd 10160	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) <-> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) ) )
236	234, 235	mpbird 232	1 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   seqcseq 12110   ^cexp 12169   !cfa 12356   sqrcsqrt 13078   _eceu 13810   logclog 23068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-ulm 22898  df-log 23070  df-cxp 23071

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  32050