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Theorem stirlinglem11 37515
Description:  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem11.3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9643 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
2 stirlinglem11.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) ) ) )
4 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  k  =  1 )
54oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
65oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )
76oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )
85oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )
97, 8oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) ) )
10 1nn 10620 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
12 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
13 1cnd 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1412, 13mulcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
1514, 13addcld 9661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  CC )
16 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1716oveq1i 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
18 2p1e3 10733 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  +  1 )  =  3
1917, 18eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
20 3ne0 10704 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
2119, 20eqnetri 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0 )
2315, 22reccld 10375 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
24 nncn 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2512, 24mulcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
2625, 13addcld 9661 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
27 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
28 2re 10679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
30 nnre 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3129, 30remulcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
3231, 27readdcld 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
33 0lt1 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
35 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
37 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3836, 37rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3927, 38ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
401, 27, 32, 34, 39lttrd 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4140gt0ne0d 10177 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
4226, 41reccld 10375 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
43 2nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
45 1nn0 10885 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
4744, 46nn0mulcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  NN0 )
4842, 47expcld 12413 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  CC )
4923, 48mulcld 9662 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  CC )
503, 9, 11, 49fvmptd 5970 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  1 ) ) ) )
51 1re 9641 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
5228, 51remulcli 9656 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
5352, 51readdcli 9655 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR
5453, 21rereccli 10371 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR
5554a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
5632, 41rereccld 10433 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
5756, 47reexpcld 12430 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR )
5855, 57remulcld 9670 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR )
5950, 58eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR )
60 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6160stirlinglem2 37506 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
6261relogcld 23437 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
63 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ n N
64 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
65 nfmpt1 4515 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6660, 65nfcxfr 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
6766, 63nffv 5888 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  N
)
6864, 67nffv 5888 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
69 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7069fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
71 stirlinglem11.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7263, 68, 70, 71fvmptf 5982 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
7362, 72mpdan 672 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
7473, 62eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
75 peano2nn 10621 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
7660stirlinglem2 37506 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
7877relogcld 23437 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
79 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( N  +  1 )
8066, 79nffv 5888 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  ( N  +  1 ) )
8164, 80nffv 5888 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
82 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8382fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8479, 81, 83, 71fvmptf 5982 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8575, 78, 84syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8685, 78eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
8774, 86resubcld 10046 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
8829, 27remulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
89 0le2 10700 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
9089a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
91 0le1 10136 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
9291a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
9329, 27, 90, 92mulge0d 10189 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  1 ) )
9488, 93ge0p1rpd 11368 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9594rpreccld 11351 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9637rpge0d 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
9729, 30, 90, 96mulge0d 10189 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
9831, 97ge0p1rpd 11368 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
9998rpreccld 11351 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
100 2z 10969 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
101100a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
102 1z 10967 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
103102a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
104101, 103zmulcld 11046 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  ZZ )
10599, 104rpexpcld 12436 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR+ )
10695, 105rpmulcld 11357 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR+ )
10750, 106eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR+ )
108107rpgt0d 11344 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( K `  1
) )
10987, 59resubcld 10046 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  e.  RR )
110 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
111103peano2zd 11043 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  ZZ )
112 nnuz 11194 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1132a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) ) ) )
114 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
115114oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
116115oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
117114oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) )
118116, 117oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) ) ) )
119118adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  k  =  j )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) ) )
120 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
121 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
122 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
123122adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
124121, 123mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  CC )
125 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
126124, 125addcld 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
127 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
128 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
12928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
130 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
131130adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR )
132129, 131remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR )
133132, 128readdcld 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
13433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  1 )
13535a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
136 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
137136adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
138135, 137rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR+ )
139128, 138ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
140127, 128, 133, 134, 139lttrd 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
141140gt0ne0d 10177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
142126, 141reccld 10375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
14324adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
144121, 143mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
145144, 125addcld 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
14641adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
147145, 146reccld 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
14843a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
149 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
150149adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
151148, 150nn0mulcld 10930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
152147, 151expcld 12413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  CC )
153142, 152mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
154113, 119, 120, 153fvmptd 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
155 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
156 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
158157, 130remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
159158, 156readdcld 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
16033a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
16135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
162161, 136rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
163156, 162ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
164155, 156, 159, 160, 163lttrd 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
165164gt0ne0d 10177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
166165adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
167126, 166reccld 10375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
168167, 152mulcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
169154, 168eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  e.  CC )
170 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
17160, 71, 170, 2stirlinglem9 37513 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
172112, 11, 169, 171clim2ser 13696 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq ( 1  +  1 ) (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  1 )
) )
173 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
174 uznnssnn 11206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
17510, 173, 174mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  C_  NN
176175a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
177176sseld 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN ) )
178177imdistani 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )
179178, 154syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
18028a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  e.  RR )
181 eluzelre 11169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  RR )
182180, 181remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
183 1red 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
184182, 183readdcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
185175sseli 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
186185, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
187184, 186rereccld 10433 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR )
188187adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  RR )
18932adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
19041adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
191189, 190rereccld 10433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
192178, 151syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
193191, 192reexpcld 12430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  RR )
194188, 193remulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  RR )
195179, 194eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  e.  RR )
196 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
1  e.  RR )
19728a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
2  e.  RR )
198178, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
199197, 198remulcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  RR )
20089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  2 )
201 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
20289a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  2 )
203 1p1e2 10723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
204 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_ 
j )
205203, 204syl5eqbrr 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  <_  j )
206201, 180, 181, 202, 205letrd 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  j )
207206adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
208197, 198, 200, 207mulge0d 10189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  j ) )
209199, 208ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR+ )
21091a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  1 )
211196, 209, 210divge0d 11378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
21230adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
213197, 212remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
21496adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  N )
215197, 212, 200, 214mulge0d 10189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  N ) )
216213, 215ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
217196, 216, 210divge0d 11378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
218191, 192, 217expge0d 12431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )
219188, 193, 211, 218mulge0d 10189 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
220219, 179breqtrrd 4452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( K `  j ) )
221110, 111, 172, 195, 220iserge0 13702 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
) ) )
222 seq1 12223 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
223102, 222mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
224223oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  1
) )  =  ( ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
225221, 224breqtrd 4450 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
2261, 109, 59, 225leadd1dd 10226 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  <_  ( ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  +  ( K `  1
) ) )
22750, 49eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  CC )
228227addid2d 9833 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  =  ( K ` 
1 ) )
22974recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  CC )
23086recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
231229, 230subcld 9985 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
232231, 227npcand 9989 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  +  ( K ` 
1 ) )  =  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
233226, 228, 2323brtr3d 4455 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  <_  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
2341, 59, 87, 108, 233ltletrd 9794 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
23586, 74posdifd 10199 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `
 N )  <->  0  <  ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
236234, 235mpbird 235 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302    seqcseq 12210   ^cexp 12269   !cfa 12456   sqrcsqrt 13275   _eceu 14093   logclog 23369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-e 14100  df-sin 14101  df-cos 14102  df-tan 14103  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-ulm 23197  df-log 23371  df-cxp 23372
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  37517
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