Theorem stirlinglem11 27700

Description: B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem11.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem11.3	|- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem11	|- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n   n, K   k, N, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)   K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9047	. . . 4 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
3		stirlinglem11.3	. . . . . 6 |- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
5		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> k = 1 )
6	5	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. 1 ) )
7	6	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) )
9	6	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) )
10	8, 9	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k = 1 ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
11		1nn 9967	. . . . . 6 |- 1 e. NN
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. NN )
13		2cn 10026	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
15		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
17	14, 16	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
18	17, 16	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. CC )
19	13	mulid1i 9048	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
20	19	oveq1i 6050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
21		2p1e3 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 1 ) = 3
22	20, 21	eqtri 2424	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) = 3
23		3ne0 10041	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
24	22, 23	eqnetri 2584	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) =/= 0 )
26	18, 25	reccld 9739	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. CC )
27		nncn 9964	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
28	14, 27	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
29	28, 16	addcld 9063	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
30		1re 9046	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
32		2re 10025	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
34		nnre 9963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
35	33, 34	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
36	35, 31	readdcld 9071	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
37		0lt1 9506	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
39		2rp 10573	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
41		nnrp 10577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
42	40, 41	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
43	31, 42	ltaddrp2d 10634	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
44	2, 31, 36, 38, 43	lttrd 9187	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
45	44	gt0ne0d 9547	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
46	29, 45	reccld 9739	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
47		2nn0 10194	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
49		1nn0 10193	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
51	48, 50	nn0mulcld 10235	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. NN0 )
52	46, 51	expcld 11478	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. CC )
53	26, 52	mulcld 9064	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. CC )
54	4, 10, 12, 53	fvmptd 5769	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) )
55	32, 30	remulcli 9060	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
56	55, 30	readdcli 9059	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR
57	56, 24	rereccli 9735	. . . . . 6 |- ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR
58	57	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR )
59	36, 45	rereccld 9797	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
60	59, 51	reexpcld 11495	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR )
61	58, 60	remulcld 9072	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR )
62	54, 61	eqeltrd 2478	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR )
63		stirlinglem11.1	. . . . . . . 8 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
64	63	stirlinglem2 27691	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
65	64	relogcld 20471	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
66		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ n N
67		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ n log
68		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
69	63, 68	nfcxfr 2537	. . . . . . . . 9 |- F/_ n A
70	69, 66	nffv 5694	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` N )
71	67, 70	nffv 5694	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
72		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
73	72	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
74		stirlinglem11.2	. . . . . . 7 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
75	66, 71, 73, 74	fvmptf 5780	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
76	65, 75	mpdan 650	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
77	76, 65	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
78		peano2nn 9968	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
79	63	stirlinglem2 27691	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
80	78, 79	syl 16	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. RR+ )
81	80	relogcld 20471	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
82		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ n ( N + 1 )
83	69, 82	nffv 5694	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( A ` ( N + 1 ) )
84	67, 83	nffv 5694	. . . . . . 7 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) )
85		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( N + 1 ) ) )
86	85	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
87	82, 84, 86, 74	fvmptf 5780	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
88	78, 81, 87	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( N + 1 ) ) ) )
89	88, 81	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. RR )
90	77, 89	resubcld 9421	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. RR )
91	33, 31	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
92	47	nn0ge0i 10205	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 2 )
94		0le1 9507	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
95	94	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
96	33, 31, 93, 95	mulge0d 9559	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. 1 ) )
97	91, 96	ge0p1rpd 10630	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) e. RR+ )
98	97	rpreccld 10614	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) e. RR+ )
99	41	rpge0d 10608	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
100	33, 34, 93, 99	mulge0d 9559	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
101	35, 100	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
102	101	rpreccld 10614	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR+ )
103		2z 10268	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
104	103	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
105		1z 10267	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
106	105	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
107	104, 106	zmulcld 10337	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 1 ) e. ZZ )
108	102, 107	rpexpcld 11501	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) e. RR+ )
109	98, 108	rpmulcld 10620	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( 2 x. 1 ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. 1 ) ) ) e. RR+ )
110	54, 109	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. RR+ )
111	110	rpgt0d 10607	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 < ( K ` 1 ) )
112	90, 62	resubcld 9421	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) e. RR )
113		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
114	106	peano2zd 10334	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
115		nnuz 10477	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
116	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
117		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. j ) )
118	117	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
119	118	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
120	117	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
121	119, 120	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
122	121	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ k = j ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
123		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
124	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
125		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. CC )
126	125	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
127	124, 126	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
128	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
129	127, 128	addcld 9063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. CC )
130	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 e. RR )
131	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. RR )
132	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR )
133		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR )
134	133	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR )
135	132, 134	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
136	135, 131	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
137	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < 1 )
138	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. RR+ )
139		nnrp 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
140	139	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. RR+ )
141	138, 140	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
142	131, 141	ltaddrp2d 10634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
143	130, 131, 136, 137, 142	lttrd 9187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
144	143	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
145	129, 144	reccld 9739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
146	27	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> N e. CC )
147	124, 146	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
148	147, 128	addcld 9063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
149	45	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
150	148, 149	reccld 9739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
151	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 2 e. NN0 )
152		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
153	152	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
154	151, 153	nn0mulcld 10235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
155	150, 154	expcld 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. CC )
156	145, 155	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
157	116, 122, 123, 156	fvmptd 5769	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
158	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 e. RR )
159	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
160	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR )
161	160, 133	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR )
162	161, 159	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
163	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 0 < 1 )
164	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> 2 e. RR+ )
165	164, 139	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) e. RR+ )
166	159, 165	ltaddrp2d 10634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> 1 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
167	158, 159, 162, 163, 166	lttrd 9187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < ( ( 2 x. j ) + 1 ) )
168	167	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
169	168	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
170	129, 169	reccld 9739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. CC )
171	170, 155	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. CC )
172	157, 171	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( K ` j ) e. CC )
173		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) )
174	63, 74, 173, 3	stirlinglem9 27698	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , K ) ~~> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
175	115, 12, 172, 174	clim2ser 12403	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> seq ( 1 + 1 ) ( + , K ) ~~> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
176		peano2nn 9968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> ( 1 + 1 ) e. NN )
177		uznnssnn 10480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
178	11, 176, 177	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) C_ NN )
180	179	sseld 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN ) )
181	180	imdistani 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( N e. NN /\ j e. NN ) )
182	181, 157	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
183	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 e. RR )
184		eluzelre 10453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. RR )
185	183, 184	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
186	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
187	185, 186	readdcld 9071	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR )
188	178	sseli 3304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> j e. NN )
189	188, 168	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) =/= 0 )
190	187, 189	rereccld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
191	190	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) e. RR )
192	36	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
193	45	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
194	192, 193	rereccld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
195	181, 154	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. NN0 )
196	194, 195	reexpcld 11495	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) e. RR )
197	191, 196	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) e. RR )
198	182, 197	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( K ` j ) e. RR )
199	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
200	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 2 e. RR )
201	181, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> j e. RR )
202	200, 201	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. j ) e. RR )
203	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 2 )
204	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 e. RR )
205	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ 2 )
206		1p1e2 10050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 + 1 ) = 2
207		eluzle 10454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ j )
208	206, 207	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 2 <_ j )
209	204, 183, 184, 205, 208	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) -> 0 <_ j )
210	209	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
211	200, 201, 203, 210	mulge0d 9559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. j ) )
212	202, 211	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. j ) + 1 ) e. RR+ )
213	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
214	199, 212, 213	divge0d 10640	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) )
215	34	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> N e. RR )
216	200, 215	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
217	99	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ N )
218	200, 215, 203, 217	mulge0d 9559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
219	216, 218	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
220	199, 219, 213	divge0d 10640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) )
221	194, 195, 220	expge0d 11496	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) )
222	191, 196, 214, 221	mulge0d 9559	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. j ) ) ) )
223	222, 182	breqtrrd 4198	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
224	113, 114, 175, 198, 223	iserge0 12409	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) )
225		seq1 11291	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
226	105, 225	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) = ( K ` 1 ) )
227	226	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( seq 1 ( + , K ) ` 1 ) ) = ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
228	224, 227	breqtrd 4196	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) )
229	2, 112, 62, 228	leadd1dd 9596	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) <_ ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) )
230	54, 53	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) e. CC )
231	230	addid2d 9223	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0 + ( K ` 1 ) ) = ( K ` 1 ) )
232	77	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. CC )
233	89	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) e. CC )
234	232, 233	subcld 9367	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) e. CC )
235	234, 230	npcand 9371	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) - ( K ` 1 ) ) + ( K ` 1 ) ) = ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
236	229, 231, 235	3brtr3d 4201	. . 3 |- ( N e. NN -> ( K ` 1 ) <_ ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
237	2, 62, 90, 111, 236	ltletrd 9186	. 2 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
238	89, 77	posdifd 9569	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) <-> 0 < ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) ) )
239	237, 238	mpbird 224	1 |- ( N e. NN -> ( B ` ( N + 1 ) ) < ( B ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993   _eceu 12620   logclog 20405

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27702

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408