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Theorem stirlinglem1 37505
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
4 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
5 divcnv 13889 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
73, 6eqbrtri 4445 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  L  ~~>  0 )
9 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
10 nnex 10615 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1110mptex 6151 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
129, 11eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
15 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1615oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
17 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
18 nnrp 11311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1918rpreccld 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2014, 16, 17, 19fvmptd 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
21 nnrecre 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2220, 21eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2322adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
249a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2515oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2625oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2726oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
28 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
30 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3129, 30remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
32 0le2 10700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
3418rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
3529, 30, 33, 34mulge0d 10189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
3631, 35ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
3736rpreccld 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
3824, 27, 17, 37fvmptd 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3937rpred 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4038, 39eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4140adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
42 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
43 0le1 10136 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
4531, 42readdcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
46 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4746mulid2d 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
48 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5042, 29, 18, 49ltmul1dd 11393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5147, 50eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
5231ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5330, 31, 45, 51, 52lttrd 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5430, 45, 53ltled 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5518, 36, 42, 44, 54lediv2ad 11363 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5655, 38, 203brtr4d 4456 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
5756adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
5837rpge0d 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5958, 38breqtrrd 4452 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6059adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
611, 2, 8, 13, 23, 41, 57, 60climsqz2 13683 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
62 1cnd 9658 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
63 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6410mptex 6151 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6563, 64eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F  e.  _V )
6741recnd 9668 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
6863a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
6927oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
70 1cnd 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
71 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7271, 46mulcld 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7372, 70addcld 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
7436rpne0d 11346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
7573, 74reccld 10375 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
7670, 75subcld 9985 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7768, 69, 17, 76fvmptd 5970 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
7838eqcomd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
7978oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8077, 79eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8180adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
821, 2, 61, 62, 66, 67, 81climsubc2 13680 . . . . 5  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
83 1m0e1 10720 . . . . 5  |-  ( 1  -  0 )  =  1
8482, 83syl6breq 4465 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  1 )
8562halfcld 10857 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
86 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
8710mptex 6151 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
8886, 87eqeltri 2513 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
8988a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  H  e.  _V )
9077, 76eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9190adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
92 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9392sqcld 12411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9493mulid2d 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
9594eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
96 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
9796, 92mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
98 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9992, 97, 98adddid 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
10092, 96, 92mul12d 9841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
10192sqvald 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
102101eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
103102oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
104100, 103eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10592mulid1d 9659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
106104, 105oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
107 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
10992, 96, 108divcan2d 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
110109eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
111110oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
11292halfcld 10857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
11396, 93, 112adddid 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
114111, 113eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
11599, 106, 1143eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
11695, 115oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
11793, 112addcld 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
118 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
119 2z 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
121118, 120rpexpcld 12436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
122118rphalfcld 11353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
123121, 122rpaddcld 11356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
124123rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
12598, 96, 93, 117, 108, 124divmuldivd 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
12693, 112pncand 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
127126eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
128127oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
129117, 112, 117, 124divsubdird 10421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
130117, 124dividd 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
131130oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
132128, 129, 1313eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
133 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
13496, 92, 133divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
13596, 92, 108, 133divne0d 10398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
136112, 117, 134, 124, 135divcan5rd 10409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
13792, 96, 133, 108divcan6d 10401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
13893, 112, 134adddird 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
13993, 96, 92, 133div12d 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
140 1e2m1 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 2  -  1 )
141140oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
14292exp1d 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
14392, 133, 120expm1d 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
144141, 142, 1433eqtr3a 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
145144eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
146145oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
147139, 146eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
148147, 137oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
149138, 148eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
150137, 149oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
151136, 150eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
152151oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
153132, 152eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
154153oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
155116, 125, 1543eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
156155mpteq2ia 4508 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
15786, 156eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
158157a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
15969oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
16070halfcld 10857 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
161160, 76mulcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
162158, 159, 17, 161fvmptd 5970 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
16377oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
164162, 163eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
165164adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1661, 2, 84, 85, 89, 91, 165climmulc2 13678 . . 3  |-  ( T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
167166trud 1446 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
168 halfcn 10829 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
169168mulid1i 9644 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
170167, 169breqtri 4449 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   ^cexp 12269    ~~> cli 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  37519
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