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Theorem stirlinglem1 30016
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11006 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10786 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
5 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6 divcnv 13433 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
84, 7eqbrtri 4418 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  L  ~~>  0 )
10 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
11 nnex 10438 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1211mptex 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
1310, 12eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
154a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1716oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
18 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
19 nnrp 11110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019rpreccld 11147 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2115, 17, 18, 20fvmptd 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
22 nnrecre 10468 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2321, 22eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2423adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2510a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2616oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2726oveq1d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2827oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
29 2re 10501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
31 nnre 10439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3230, 31remulcld 9524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
33 0le2 10522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
3519rpge0d 11141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
3630, 31, 34, 35mulge0d 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
3732, 36ge0p1rpd 11163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
3837rpreccld 11147 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
3925, 28, 18, 38fvmptd 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
4038rpred 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4139, 40eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4241adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
43 1re 9495 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
45 0le1 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
4732, 44readdcld 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
48 nncn 10440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4948mulid2d 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
50 1lt2 10598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5244, 30, 19, 51ltmul1dd 11188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5349, 52eqbrtrrd 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
5432ltp1d 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5531, 32, 47, 53, 54lttrd 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5631, 47, 55ltled 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5719, 37, 44, 46, 56lediv2ad 11159 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5857, 39, 213brtr4d 4429 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
5958adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6038rpge0d 11141 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
6160, 39breqtrrd 4425 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6261adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
631, 3, 9, 14, 24, 42, 59, 62climsqz2 13236 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
65 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6611mptex 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6765, 66eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F  e.  _V )
6942recnd 9522 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7065a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
7128oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
725a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
73 2cnd 10504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7473, 48mulcld 9516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7574, 72addcld 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
7637rpne0d 11142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
7775, 76reccld 10210 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
7872, 77subcld 9829 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7970, 71, 18, 78fvmptd 5887 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
8039eqcomd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
8180oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8279, 81eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8382adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
841, 3, 63, 64, 68, 69, 83climsubc2 13233 . . . . 5  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
85 1m0e1 10542 . . . . 5  |-  ( 1  -  0 )  =  1
8684, 85syl6breq 4438 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  1 )
8764halfcld 10679 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
88 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
8911mptex 6056 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
9088, 89eqeltri 2538 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  H  e.  _V )
9279, 78eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9392adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
94 nncn 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9594sqcld 12122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9695mulid2d 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
9796eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
98 2cnd 10504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
9998, 94mulcld 9516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1005a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
10194, 99, 100adddid 9520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
10294, 98, 94mul12d 9688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
10394sqvald 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
104103eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
105104oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
106102, 105eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10794mulid1d 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
108106, 107oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
109 2ne0 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11194, 98, 110divcan2d 10219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
112111eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
113112oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
11494halfcld 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
11598, 95, 114adddid 9520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
116113, 115eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
117101, 108, 1163eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
11897, 117oveq12d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
11995, 114addcld 9515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
120 nnrp 11110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
121 2z 10788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
123120, 122rpexpcld 12147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
124120rphalfcld 11149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
125123, 124rpaddcld 11152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
126125rpne0d 11142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
127100, 98, 95, 119, 110, 126divmuldivd 10258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
12895, 114pncand 9830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
129128eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
130129oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
131119, 114, 119, 126divsubdird 10256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
132119, 126dividd 10215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
133132oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
134130, 131, 1333eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
135 nnne0 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
13698, 94, 135divcld 10217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
13798, 94, 110, 135divne0d 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
138114, 119, 136, 126, 137divcan5rd 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
13994, 98, 135, 110divcan6d 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
14095, 114, 136adddird 9521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
14195, 98, 94, 135div12d 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
142 1e2m1 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 2  -  1 )
143142oveq2i 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
14494exp1d 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
14594, 135, 122expm1d 12134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
146143, 144, 1453eqtr3a 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
147146eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
148147oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
149141, 148eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
150149, 139oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
151140, 150eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
152139, 151oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
153138, 152eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
154153oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
155134, 154eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
156155oveq2d 6215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
157118, 127, 1563eqtr2d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
158157mpteq2ia 4481 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
15988, 158eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
160159a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
16171oveq2d 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
16272halfcld 10679 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
163162, 78mulcld 9516 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
164160, 161, 18, 163fvmptd 5887 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
16579oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
166164, 165eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
167166adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1681, 3, 86, 87, 91, 93, 167climmulc2 13231 . . 3  |-  ( T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
169168trud 1379 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
170 halfcn 10651 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
171170mulid1i 9498 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
172169, 171breqtri 4422 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2647   _Vcvv 3076   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705    / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   ZZcz 10756   RR+crp 11101   ^cexp 11981    ~~> cli 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-rlim 13084
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  30030
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