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Theorem stirlinglem1 38048
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11218 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10992 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
4 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
5 divcnv 13988 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
73, 6eqbrtri 4415 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  L  ~~>  0 )
9 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
10 nnex 10637 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1110mptex 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
129, 11eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  G  e.  _V )
143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
15 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1615oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
17 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
18 nnrp 11334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1918rpreccld 11374 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2014, 16, 17, 19fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
21 nnrecre 10668 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2220, 21eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2322adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
249a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2515oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2625oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2726oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
28 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
30 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3129, 30remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
32 0le2 10722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
3418rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
3529, 30, 33, 34mulge0d 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
3631, 35ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
3736rpreccld 11374 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
3824, 27, 17, 37fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
3937rpred 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4038, 39eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4140adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
42 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
43 0le1 10158 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
4531, 42readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
46 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4746mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
48 1lt2 10799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5042, 29, 18, 49ltmul1dd 11416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5147, 50eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
5231ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5330, 31, 45, 51, 52lttrd 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5430, 45, 53ltled 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5518, 36, 42, 44, 54lediv2ad 11386 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5655, 38, 203brtr4d 4426 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
5756adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
5837rpge0d 11368 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5958, 38breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6059adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
611, 2, 8, 13, 23, 41, 57, 60climsqz2 13782 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  G  ~~>  0 )
62 1cnd 9677 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
63 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6410mptex 6152 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6563, 64eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  F  e.  _V )
6741recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
6863a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
6927oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
70 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
71 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7271, 46mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7372, 70addcld 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
7436rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
7573, 74reccld 10398 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
7670, 75subcld 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7768, 69, 17, 76fvmptd 5969 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
7838eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
7978oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8077, 79eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8180adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
821, 2, 61, 62, 66, 67, 81climsubc2 13779 . . . . 5  |-  ( T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
83 1m0e1 10742 . . . . 5  |-  ( 1  -  0 )  =  1
8482, 83syl6breq 4435 . . . 4  |-  ( T. 
->  F  ~~>  1 )
8562halfcld 10880 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
86 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
8710mptex 6152 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
8886, 87eqeltri 2545 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
8988a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  H  e.  _V )
9077, 76eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9190adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
92 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9392sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9493mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
9594eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
96 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
9796, 92mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
98 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9992, 97, 98adddid 9685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
10092, 96, 92mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
10192sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
102101eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
103102oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
104100, 103eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10592mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
106104, 105oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
107 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
10992, 96, 108divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
110109eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
111110oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
11292halfcld 10880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
11396, 93, 112adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
114111, 113eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
11599, 106, 1143eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
11695, 115oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
11793, 112addcld 9680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
118 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
119 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
121118, 120rpexpcld 12477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
122118rphalfcld 11376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
123121, 122rpaddcld 11379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
124123rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
12598, 96, 93, 117, 108, 124divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
12693, 112pncand 10006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
127126eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
128127oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
129117, 112, 117, 124divsubdird 10444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
130117, 124dividd 10403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
131130oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
132128, 129, 1313eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
133 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
13496, 92, 133divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
13596, 92, 108, 133divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
136112, 117, 134, 124, 135divcan5rd 10432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
13792, 96, 133, 108divcan6d 10424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
13893, 112, 134adddird 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
13993, 96, 92, 133div12d 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
140 1e2m1 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 2  -  1 )
141140oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
14292exp1d 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
14392, 133, 120expm1d 12464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
144141, 142, 1433eqtr3a 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
145144eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
146145oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
147139, 146eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
148147, 137oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
149138, 148eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
150137, 149oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
151136, 150eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
152151oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
153132, 152eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
154153oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
155116, 125, 1543eqtr2d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
156155mpteq2ia 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
15786, 156eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
158157a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
15969oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
16070halfcld 10880 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
161160, 76mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
162158, 159, 17, 161fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
16377oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
164162, 163eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
165164adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1661, 2, 84, 85, 89, 91, 165climmulc2 13777 . . 3  |-  ( T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
167166trud 1461 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
168 halfcn 10852 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
169168mulid1i 9663 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
170167, 169breqtri 4419 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ^cexp 12310    ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  38062
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