Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirling Unicode version

Theorem stirling 27499
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial. The proof follows two major steps: first it is proven that  S and  n factorial are asymptotically equivalent, up to an unknown constant. Then, using Wallis' formula for π it is proven that the unknown constant is the square root of π and then the exact Stirling's formula is established. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirling.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirling  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1

Proof of Theorem stirling
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  n ) ) )
31, 2stirlinglem14 27497 . 2  |-  E. c  e.  RR+  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c
4 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ n  c  e.  RR+
5 nfmpt1 4232 . . . . . 6  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6 nfcv 2516 . . . . . 6  |-  F/_ n  ~~>
7 nfcv 2516 . . . . . 6  |-  F/_ n
c
85, 6, 7nfbr 4190 . . . . 5  |-  F/ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c
94, 8nfan 1836 . . . 4  |-  F/ n
( c  e.  RR+  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c )
10 stirling.1 . . . 4  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
11 eqid 2380 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )
12 eqid 2380 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13 eqid 2380 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
14 eqid 2380 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ^ 4 )  /  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  (
2  x.  n ) ) ) `  n
) ^ 2 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ^ 4 )  /  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  (
2  x.  n ) ) ) `  n
) ^ 2 ) ) )
15 eqid 2380 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
16 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
c  e.  RR+ )
17 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c )
189, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17stirlinglem15 27498 . . 3  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
1918rexlimiva 2761 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
203, 19ax-mp 8 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   4c4 9976   NN0cn0 10146   RR+crp 10537   ^cexp 11302   !cfa 11486   sqrcsqr 11958    ~~> cli 12198   _eceu 12585   picpi 12589   logclog 20312
This theorem is referenced by:  stirlingr  27500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cc 8241  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-disj 4117  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-e 12591  df-sin 12592  df-cos 12593  df-tan 12594  df-pi 12595  df-dvds 12773  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-cmp 17365  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-ovol 19221  df-vol 19222  df-mbf 19372  df-itg1 19373  df-itg2 19374  df-ibl 19375  df-itg 19376  df-0p 19422  df-limc 19613  df-dv 19614  df-ulm 20153  df-log 20314  df-cxp 20315
  Copyright terms: Public domain W3C validator