Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stgoldbwt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stgoldbwt 38877
Description: If the strong ternary Goldbach conjecture is valid, then the weak ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
stgoldbwt  |-  ( A. n  e. Odd  ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )  ->  A. n  e. Odd  (
5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )

Proof of Theorem stgoldbwt
StepHypRef Expression
1 pm3.35 591 . . . . . 6  |-  ( ( 7  <  n  /\  ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
2 gboagbo 38857 . . . . . . 7  |-  ( n  e. GoldbachOddALTV  ->  n  e. GoldbachOdd  )
32a1d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e. GoldbachOddALTV  ->  ( 5  < 
n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
41, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ( 7  <  n  /\  ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) )  -> 
( 5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
54ex 436 . . . 4  |-  ( 7  <  n  ->  (
( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )  ->  (
5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) )
65a1d 26 . . 3  |-  ( 7  <  n  ->  (
n  e. Odd  ->  ( ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )  ->  (
5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
7 oddz 38760 . . . . . . . 8  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  ZZ )
87zred 11040 . . . . . . 7  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  RR )
9 7re 10692 . . . . . . . 8  |-  7  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e. Odd  ->  7  e.  RR )
118, 10lenltd 9781 . . . . . 6  |-  ( n  e. Odd  ->  ( n  <_ 
7  <->  -.  7  <  n ) )
128, 10leloed 9778 . . . . . . . 8  |-  ( n  e. Odd  ->  ( n  <_ 
7  <->  ( n  <  7  \/  n  =  7 ) ) )
137adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e. Odd  /\  5  <  n )  ->  n  e.  ZZ )
14 6nn 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN
1514nnzi 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  ZZ
1613, 15jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e. Odd  /\  5  <  n )  ->  (
n  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )
)
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  <  7  /\  ( n  e. Odd  /\  5  <  n ) )  ->  ( n  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ ) )
18 df-7 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  =  ( 6  +  1 )
1918breq2i 4410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  <  7  <->  n  <  ( 6  +  1 ) )
2019biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  <  7  ->  n  <  ( 6  +  1 ) )
21 df-6 10672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  =  ( 5  +  1 )
22 5nn 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  5  e.  NN
2322nnzi 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  ZZ
24 zltp1le 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  n  <->  ( 5  +  1 )  <_  n ) )
2523, 7, 24sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e. Odd  ->  ( 5  < 
n  <->  ( 5  +  1 )  <_  n
) )
2625biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e. Odd  /\  5  <  n )  ->  (
5  +  1 )  <_  n )
2721, 26syl5eqbr 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e. Odd  /\  5  <  n )  ->  6  <_  n )
2820, 27anim12ci 571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  <  7  /\  ( n  e. Odd  /\  5  <  n ) )  ->  ( 6  <_  n  /\  n  <  (
6  +  1 ) ) )
29 zgeltp1eq 38717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( ( 6  <_  n  /\  n  <  (
6  +  1 ) )  ->  n  = 
6 ) )
3017, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  <  7  /\  ( n  e. Odd  /\  5  <  n ) )  ->  n  =  6 )
3130orcd 394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  <  7  /\  ( n  e. Odd  /\  5  <  n ) )  ->  ( n  =  6  \/  n  =  7 ) )
3231ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  <  7  ->  (
( n  e. Odd  /\  5  <  n )  -> 
( n  =  6  \/  n  =  7 ) ) )
33 olc 386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  7  ->  (
n  =  6  \/  n  =  7 ) )
3433a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  7  ->  (
( n  e. Odd  /\  5  <  n )  -> 
( n  =  6  \/  n  =  7 ) ) )
3532, 34jaoi 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  <  7  \/  n  =  7 )  ->  ( ( n  e. Odd  /\  5  <  n )  ->  ( n  =  6  \/  n  =  7 ) ) )
3635expd 438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  <  7  \/  n  =  7 )  ->  ( n  e. Odd 
->  ( 5  <  n  ->  ( n  =  6  \/  n  =  7 ) ) ) )
3736com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( n  e. Odd  ->  ( ( n  <  7  \/  n  =  7 )  -> 
( 5  <  n  ->  ( n  =  6  \/  n  =  7 ) ) ) )
3812, 37sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( n  e. Odd  ->  ( n  <_ 
7  ->  ( 5  <  n  ->  (
n  =  6  \/  n  =  7 ) ) ) )
39 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  6  ->  (
n  e. Odd  <->  6  e. Odd  )
)
40 6even 38838 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e. Even
41 evennodd 38773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e. Even  ->  -.  6  e. Odd  )
4241pm2.21d 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 6  e. Even  ->  ( 6  e. Odd 
->  n  e. GoldbachOdd  ) )
4340, 42mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  6  ->  (
6  e. Odd  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
4439, 43sylbid 219 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  6  ->  (
n  e. Odd  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
45 7gbo 38873 . . . . . . . . . . 11  |-  7  e. GoldbachOdd
46 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  7  ->  (
n  e. GoldbachOdd  <->  7  e. GoldbachOdd  ) )
4745, 46mpbiri 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  7  ->  n  e. GoldbachOdd  )
4847a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  7  ->  (
n  e. Odd  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
4944, 48jaoi 381 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  6  \/  n  =  7 )  ->  ( n  e. Odd 
->  n  e. GoldbachOdd  ) )
5049com12 32 . . . . . . 7  |-  ( n  e. Odd  ->  ( ( n  =  6  \/  n  =  7 )  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
5138, 50syl6d 71 . . . . . 6  |-  ( n  e. Odd  ->  ( n  <_ 
7  ->  ( 5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) )
5211, 51sylbird 239 . . . . 5  |-  ( n  e. Odd  ->  ( -.  7  <  n  ->  ( 5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) )
5352com12 32 . . . 4  |-  ( -.  7  <  n  -> 
( n  e. Odd  ->  ( 5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) )
5453a1dd 47 . . 3  |-  ( -.  7  <  n  -> 
( n  e. Odd  ->  ( ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )  ->  (
5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
556, 54pm2.61i 168 . 2  |-  ( n  e. Odd  ->  ( ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV 
)  ->  ( 5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) ) )
5655ralimia 2779 1  |-  ( A. n  e. Odd  ( 7  <  n  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )  ->  A. n  e. Odd  (
5  <  n  ->  n  e. GoldbachOdd  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   5c5 10662   6c6 10663   7c7 10664   ZZcz 10937   Even ceven 38753   Odd codd 38754   GoldbachOdd cgbo 38847   GoldbachOddALTV cgboa 38848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-prm 14623  df-even 38755  df-odd 38756  df-gbo 38850  df-gboa 38851
This theorem is referenced by:  stgoldbnnsum4prm  38898
  Copyright terms: Public domain W3C validator