HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Unicode version

Theorem stge1i 27556
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stge1i  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stle1 27543 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  <_  1
) )
31, 2mpi 18 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  <_  1
)
43anim1i 566 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  1  <_  ( S `  A
) )  ->  (
( S `  A
)  <_  1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) )
54ex 432 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 27534 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 18 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 1re 9624 . . . 4  |-  1  e.  RR
9 letri3 9700 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  1  <-> 
( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 660 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  1  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 234 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( S `  A )  =  1 ) )
12 1le1 10217 . . 3  |-  1  <_  1
13 breq2 4398 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  (
1  <_  ( S `  A )  <->  1  <_  1 ) )
1412, 13mpbiri 233 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  1  <_  ( S `  A
) )
1511, 14impbid1 203 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   RRcr 9520   1c1 9522    <_ cle 9658   CHcch 26246   Statescst 26279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-hilex 26316
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-icc 11588  df-sh 26524  df-ch 26539  df-st 27529
This theorem is referenced by:  stm1i  27561
  Copyright terms: Public domain W3C validator