HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Unicode version

Theorem stge1i 25795
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stge1i  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stle1 25782 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  <_  1
) )
31, 2mpi 17 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  <_  1
)
43anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  1  <_  ( S `  A
) )  ->  (
( S `  A
)  <_  1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) )
54ex 434 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 25773 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 1re 9497 . . . 4  |-  1  e.  RR
9 letri3 9572 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  1  <-> 
( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  1  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 234 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( S `  A )  =  1 ) )
12 1le1 10076 . . 3  |-  1  <_  1
13 breq2 4405 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  (
1  <_  ( S `  A )  <->  1  <_  1 ) )
1412, 13mpbiri 233 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  1  <_  ( S `  A
) )
1511, 14impbid1 203 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   ` cfv 5527   RRcr 9393   1c1 9395    <_ cle 9531   CHcch 24484   Statescst 24517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-hilex 24554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-icc 11419  df-sh 24762  df-ch 24777  df-st 25768
This theorem is referenced by:  stm1i  25800
  Copyright terms: Public domain W3C validator