Theorem stfincomp 14959

Description: The subspace topology induced by a finite part of the underlying set of a topology is compact.

Hypothesis

Ref	Expression
stfincomp.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
stfincomp	|- ((J e. Top /\ A e. (~PX i^i Fin)) -> (subSp` <.A, J>.) e. Comp)

Proof of Theorem stfincomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 2786	. . . . 5 |- (A e. (~PX i^i Fin) <-> (A e. ~PX /\ A e. Fin))
2		elpwi 3039	. . . . . 6 |- (A e. ~PX -> A C_ X)
3	2	anim1i 361	. . . . 5 |- ((A e. ~PX /\ A e. Fin) -> (A C_ X /\ A e. Fin))
4	1, 3	sylbi 216	. . . 4 |- (A e. (~PX i^i Fin) -> (A C_ X /\ A e. Fin))
5		stfincomp.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
6	5	sseq2i 2642	. . . . . 6 |- (A C_ X <-> A C_ U.J)
7	6	biimpi 168	. . . . 5 |- (A C_ X -> A C_ U.J)
8	7	anim1i 361	. . . 4 |- ((A C_ X /\ A e. Fin) -> (A C_ U.J /\ A e. Fin))
9		stoig3 10253	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> (subSp` <.A, J>.) e. Top)
10	9	expcom 403	. . . . . . . 8 |- (A C_ U.J -> (J e. Top -> (subSp` <.A, J>.) e. Top))
11	10	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((A C_ U.J /\ A e. Fin) -> (J e. Top -> (subSp` <.A, J>.) e. Top))
12	11	imp 377	. . . . . 6 |- (((A C_ U.J /\ A e. Fin) /\ J e. Top) -> (subSp` <.A, J>.) e. Top)
13		stoig2 10252	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ A C_ U.J) -> U.(subSp` <.A, J>.) = A)
14	13	expcom 403	. . . . . . . . 9 |- (A C_ U.J -> (J e. Top -> U.(subSp` <.A, J>.) = A))
15	14	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A C_ U.J /\ A e. Fin) -> (J e. Top -> U.(subSp` <.A, J>.) = A))
16	15	imp 377	. . . . . . 7 |- (((A C_ U.J /\ A e. Fin) /\ J e. Top) -> U.(subSp` <.A, J>.) = A)
17		simplr 449	. . . . . . 7 |- (((A C_ U.J /\ A e. Fin) /\ J e. Top) -> A e. Fin)
18	16, 17	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- (((A C_ U.J /\ A e. Fin) /\ J e. Top) -> U.(subSp` <.A, J>.) e. Fin)
19	12, 18	jca 310	. . . . 5 |- (((A C_ U.J /\ A e. Fin) /\ J e. Top) -> ((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ U.(subSp` <.A, J>.) e. Fin))
20	19	ex 402	. . . 4 |- ((A C_ U.J /\ A e. Fin) -> (J e. Top -> ((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ U.(subSp` <.A, J>.) e. Fin)))
21	4, 8, 20	3syl 24	. . 3 |- (A e. (~PX i^i Fin) -> (J e. Top -> ((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ U.(subSp` <.A, J>.) e. Fin)))
22	21	impcom 378	. 2 |- ((J e. Top /\ A e. (~PX i^i Fin)) -> ((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ U.(subSp` <.A, J>.) e. Fin))
23		topunfincomp 14957	. 2 |- (((subSp` <.A, J>.) e. Top /\ U.(subSp` <.A, J>.) e. Fin) -> (subSp` <.A, J>.) e. Comp)
24	22, 23	syl 12	1 |- ((J e. Top /\ A e. (~PX i^i Fin)) -> (subSp` <.A, J>.) e. Comp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  <.cop 3046  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Fincfn 5426  Topctop 8857  subSpcsubsp 10242  Compccomp 10328

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-top 8861  df-topsp 8862  df-subsp 10243  df-comp 10329

Copyright terms: Public domain