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Theorem stdbdxmet 21608
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetcl 21424 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
3 xmetge0 21437 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
4 elxrge0 11767 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x C y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x C y ) ) )
52, 3, 4sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
653expb 1232 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71, 6sylan 479 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xmetf 21422 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
983ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C : ( X  X.  X ) -->
RR* )
10 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( C : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
12 fnov 6423 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( X  X.  X )  <->  C  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
1311, 12sylib 201 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
14 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) )
15 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  (
z  <_  R  <->  ( x C y )  <_  R ) )
16 id 22 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  z  =  ( x C y ) )
1715, 16ifbieq1d 3895 . . . 4  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
187, 13, 14, 17fmpt2co 6898 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
19 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2018, 19syl6eqr 2523 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  D )
21 elxrge0 11767 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
2221simplbi 467 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
23 simp2 1031 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  e.  RR* )
24 ifcl 3914 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
2522, 23, 24syl2anr 486 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
26 eqid 2471 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )
2725, 26fmptd 6061 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29 vex 3034 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
30 ifexg 3941 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )
3129, 23, 30sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e. 
_V )
32 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  (
z  <_  R  <->  a  <_  R ) )
33 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  z  =  a )
3432, 33ifbieq1d 3895 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( a  <_  R , 
a ,  R ) )
3534, 26fvmptg 5961 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R ) )
3628, 31, 35syl2anr 486 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
3736eqeq1d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
38 eqeq1 2475 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
3938bibi1d 326 . . . . 5  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( a  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
40 eqeq1 2475 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4140bibi1d 326 . . . . 5  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( R  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
42 biidd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  a  <_  R )  ->  (
a  =  0  <->  a  =  0 ) )
43 simp3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <  R
)
4443gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  =/=  0
)
4544neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  -.  R  = 
0 )
4645ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  R  =  0
)
47 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
48 xrltle 11471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
4947, 23, 48sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <_  R
)
5150adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  R )
52 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5351, 52syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
a  =  0  -> 
a  <_  R )
)
5453con3dimp 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  a  =  0
)
5546, 542falsed 358 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
a  =  0 ) )
5639, 41, 42, 55ifbothda 3907 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  =  0  <->  a  =  0 ) )
5737, 56bitrd 261 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  a  =  0 ) )
58 elxrge0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( a  e. 
RR*  /\  0  <_  a ) )
5958simplbi 467 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e. 
RR* )
6059ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  a  e.  RR* )
6123adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  e.  RR* )
62 xrmin1 11495 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6460, 61ifcld 3915 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
65 elxrge0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( b  e. 
RR*  /\  0  <_  b ) )
6665simplbi 467 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  b  e. 
RR* )
6766ad2antll 743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  b  e.  RR* )
68 xrletr 11478 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
6964, 60, 67, 68syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7063, 69mpand 689 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  b )
)
71 xrmin2 11496 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7260, 61, 71syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7370, 72jctird 553 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  b  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  R
) ) )
74 xrlemin 11502 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7564, 67, 61, 74syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7673, 75sylibrd 242 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
7736adantrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
78 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  b  e.  ( 0 [,] +oo )
)
79 vex 3034 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
80 ifexg 3941 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )
8179, 23, 80sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e. 
_V )
82 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
z  <_  R  <->  b  <_  R ) )
83 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  z  =  b )
8482, 83ifbieq1d 3895 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )
8584, 26fvmptg 5961 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
8678, 81, 85syl2anr 486 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )
8777, 86breq12d 4408 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  <_ 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  <->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
8876, 87sylibrd 242 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  <_  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b ) ) )
8960, 67xaddcld 11612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e b )  e.  RR* )
90 xrmin1 11495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b ) )
9189, 61, 90syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
b ) )
9289, 61ifcld 3915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e. 
RR* )
9360, 61xaddcld 11612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e R )  e.  RR* )
94 xrmin2 11496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
9589, 61, 94syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
96 xaddid2 11557 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( 0 +e R )  =  R )
9761, 96syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  =  R )
9847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  e.  RR* )
9958simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
10099ad2antrl 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  a )
101 xleadd1a 11564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  a )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10298, 60, 61, 100, 101syl31anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10397, 102eqbrtrrd 4418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( a +e
R ) )
10492, 61, 93, 95, 103xrletrd 11482 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )
105 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
b )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
106105breq2d 4407 . . . . . . 7  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e b )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
107 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
R )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
108107breq2d 4407 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e R )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
109106, 108ifboth 3908 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11091, 104, 109syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11167, 61ifcld 3915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11261, 111xaddcld 11612 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  e.  RR* )
113 xaddid1 11556 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11461, 113syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11565simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
b )
116115ad2antll 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  b )
11750adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  R )
118 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  b  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
119 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
120118, 119ifboth 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  b  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) )
121116, 117, 120syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
122 xleadd2a 11565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12398, 111, 61, 121, 122syl31anc 1295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
124114, 123eqbrtrrd 4418 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12592, 61, 112, 95, 124xrletrd 11482 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
126 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
127126breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
128 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
129128breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
130127, 129ifboth 3908 . . . . 5  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
131110, 125, 130syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
132 ge0xaddcl 11772 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( a +e b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( a +e b )  e.  _V
134 ifexg 3941 . . . . . 6  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )
135133, 23, 134sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  e.  _V )
136 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
( z  <_  R  <->  ( a +e b )  <_  R )
)
137 id 22 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
z  =  ( a +e b ) )
138136, 137ifbieq1d 3895 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( a +e b )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( a +e
b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
139138, 26fvmptg 5961 . . . . 5  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 ( a +e b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
) )
140132, 135, 139syl2anr 486 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
14177, 86oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
142131, 140, 1413brtr4d 4426 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  <_ 
( ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
) ) `  b
) ) )
1431, 27, 57, 88, 142comet 21606 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  e.  ( *Met `  X ) )
14420, 143eqeltrrd 2550 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   *Metcxmt 19032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-xmet 19040
This theorem is referenced by:  stdbdmet  21609  stdbdbl  21610  stdbdmopn  21611
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