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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > stdbdxmet | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) |
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stdbdmet.1 |
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stdbdxmet |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 1030 |
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2 | xmetcl 21424 |
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3 | xmetge0 21437 |
. . . . . . 7
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4 | elxrge0 11767 |
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5 | 2, 3, 4 | sylanbrc 677 |
. . . . . 6
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6 | 5 | 3expb 1232 |
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7 | 1, 6 | sylan 479 |
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8 | xmetf 21422 |
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9 | 8 | 3ad2ant1 1051 |
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10 | ffn 5739 |
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11 | 9, 10 | syl 17 |
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12 | fnov 6423 |
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13 | 11, 12 | sylib 201 |
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14 | eqidd 2472 |
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15 | breq1 4398 |
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16 | id 22 |
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17 | 15, 16 | ifbieq1d 3895 |
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18 | 7, 13, 14, 17 | fmpt2co 6898 |
. . 3
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19 | stdbdmet.1 |
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20 | 18, 19 | syl6eqr 2523 |
. 2
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21 | elxrge0 11767 |
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22 | 21 | simplbi 467 |
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23 | simp2 1031 |
. . . . 5
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24 | ifcl 3914 |
. . . . 5
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25 | 22, 23, 24 | syl2anr 486 |
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26 | eqid 2471 |
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27 | 25, 26 | fmptd 6061 |
. . 3
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28 | id 22 |
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29 | vex 3034 |
. . . . . . 7
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30 | ifexg 3941 |
. . . . . . 7
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31 | 29, 23, 30 | sylancr 676 |
. . . . . 6
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32 | breq1 4398 |
. . . . . . . 8
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33 | id 22 |
. . . . . . . 8
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34 | 32, 33 | ifbieq1d 3895 |
. . . . . . 7
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35 | 34, 26 | fvmptg 5961 |
. . . . . 6
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36 | 28, 31, 35 | syl2anr 486 |
. . . . 5
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37 | 36 | eqeq1d 2473 |
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38 | eqeq1 2475 |
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39 | 38 | bibi1d 326 |
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40 | eqeq1 2475 |
. . . . . 6
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41 | 40 | bibi1d 326 |
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42 | biidd 245 |
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43 | simp3 1032 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | gt0ne0d 10199 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | neneqd 2648 |
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46 | 45 | ad2antrr 740 |
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47 | 0xr 9705 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | xrltle 11471 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 47, 23, 48 | sylancr 676 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 43, 49 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | adantr 472 |
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52 | breq1 4398 |
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53 | 51, 52 | syl5ibrcom 230 |
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54 | 53 | con3dimp 448 |
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55 | 46, 54 | 2falsed 358 |
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56 | 39, 41, 42, 55 | ifbothda 3907 |
. . . 4
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57 | 37, 56 | bitrd 261 |
. . 3
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58 | elxrge0 11767 |
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59 | 58 | simplbi 467 |
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60 | 59 | ad2antrl 742 |
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81 | 79, 23, 80 | sylancr 676 |
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104 | 92, 61, 93, 95, 103 | xrletrd 11482 |
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109 | 106, 108 | ifboth 3908 |
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110 | 91, 104, 109 | syl2anc 673 |
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111 | 67, 61 | ifcld 3915 |
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112 | 61, 111 | xaddcld 11612 |
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113 | xaddid1 11556 |
. . . . . . . 8
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114 | 61, 113 | syl 17 |
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115 | 65 | simprbi 471 |
. . . . . . . . . 10
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116 | 115 | ad2antll 743 |
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117 | 50 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . . 10
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120 | 118, 119 | ifboth 3908 |
. . . . . . . . 9
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121 | 116, 117, 120 | syl2anc 673 |
. . . . . . . 8
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122 | xleadd2a 11565 |
. . . . . . . 8
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123 | 98, 111, 61, 121, 122 | syl31anc 1295 |
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124 | 114, 123 | eqbrtrrd 4418 |
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125 | 92, 61, 112, 95, 124 | xrletrd 11482 |
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130 | 127, 129 | ifboth 3908 |
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131 | 110, 125, 130 | syl2anc 673 |
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132 | ge0xaddcl 11772 |
. . . . 5
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133 | ovex 6336 |
. . . . . 6
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134 | ifexg 3941 |
. . . . . 6
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135 | 133, 23, 134 | sylancr 676 |
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136 | breq1 4398 |
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138 | 136, 137 | ifbieq1d 3895 |
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139 | 138, 26 | fvmptg 5961 |
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140 | 132, 135, 139 | syl2anr 486 |
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141 | 77, 86 | oveq12d 6326 |
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142 | 131, 140, 141 | 3brtr4d 4426 |
. . 3
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143 | 1, 27, 57, 88, 142 | comet 21606 |
. 2
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144 | 20, 143 | eqeltrrd 2550 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-er 7381 df-map 7492 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-2 10690 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-icc 11667 df-xmet 19040 |
This theorem is referenced by: stdbdmet 21609 stdbdbl 21610 stdbdmopn 21611 |
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