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Theorem stdbdxmet 21517
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetcl 21333 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
3 xmetge0 21346 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
4 elxrge0 11742 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x C y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x C y ) ) )
52, 3, 4sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
653expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71, 6sylan 473 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xmetf 21331 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
983ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C : ( X  X.  X ) -->
RR* )
10 ffn 5743 . . . . . 6  |-  ( C : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
12 fnov 6415 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( X  X.  X )  <->  C  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
1311, 12sylib 199 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
14 eqidd 2423 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) )
15 breq1 4423 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  (
z  <_  R  <->  ( x C y )  <_  R ) )
16 id 23 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  z  =  ( x C y ) )
1715, 16ifbieq1d 3932 . . . 4  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
187, 13, 14, 17fmpt2co 6887 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
19 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2018, 19syl6eqr 2481 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  D )
21 elxrge0 11742 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
2221simplbi 461 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
23 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  e.  RR* )
24 ifcl 3951 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
2522, 23, 24syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
26 eqid 2422 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )
2725, 26fmptd 6058 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28 id 23 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29 vex 3084 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
30 ifexg 3978 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )
3129, 23, 30sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e. 
_V )
32 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  (
z  <_  R  <->  a  <_  R ) )
33 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  z  =  a )
3432, 33ifbieq1d 3932 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( a  <_  R , 
a ,  R ) )
3534, 26fvmptg 5959 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R ) )
3628, 31, 35syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
3736eqeq1d 2424 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
38 eqeq1 2426 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
3938bibi1d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( a  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
40 eqeq1 2426 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4140bibi1d 320 . . . . 5  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( R  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
42 biidd 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  a  <_  R )  ->  (
a  =  0  <->  a  =  0 ) )
43 simp3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <  R
)
4443gt0ne0d 10179 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  =/=  0
)
4544neneqd 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  -.  R  = 
0 )
4645ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  R  =  0
)
47 0xr 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
48 xrltle 11449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
4947, 23, 48sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <_  R
)
5150adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  R )
52 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5351, 52syl5ibrcom 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
a  =  0  -> 
a  <_  R )
)
5453con3dimp 442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  a  =  0
)
5546, 542falsed 352 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
a  =  0 ) )
5639, 41, 42, 55ifbothda 3944 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  =  0  <->  a  =  0 ) )
5737, 56bitrd 256 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  a  =  0 ) )
58 elxrge0 11742 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( a  e. 
RR*  /\  0  <_  a ) )
5958simplbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e. 
RR* )
6059ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  a  e.  RR* )
6123adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  e.  RR* )
62 xrmin1 11473 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6360, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6460, 61ifcld 3952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
65 elxrge0 11742 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( b  e. 
RR*  /\  0  <_  b ) )
6665simplbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  b  e. 
RR* )
6766ad2antll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  b  e.  RR* )
68 xrletr 11456 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
6964, 60, 67, 68syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7063, 69mpand 679 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  b )
)
71 xrmin2 11474 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7260, 61, 71syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7370, 72jctird 546 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  b  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  R
) ) )
74 xrlemin 11480 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7564, 67, 61, 74syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7673, 75sylibrd 237 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
7736adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
78 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  b  e.  ( 0 [,] +oo )
)
79 vex 3084 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
80 ifexg 3978 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )
8179, 23, 80sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e. 
_V )
82 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
z  <_  R  <->  b  <_  R ) )
83 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  z  =  b )
8482, 83ifbieq1d 3932 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )
8584, 26fvmptg 5959 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
8678, 81, 85syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )
8777, 86breq12d 4433 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  <_ 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  <->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
8876, 87sylibrd 237 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  <_  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b ) ) )
8960, 67xaddcld 11588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e b )  e.  RR* )
90 xrmin1 11473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b ) )
9189, 61, 90syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
b ) )
9289, 61ifcld 3952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e. 
RR* )
9360, 61xaddcld 11588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e R )  e.  RR* )
94 xrmin2 11474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
9589, 61, 94syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
96 xaddid2 11534 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( 0 +e R )  =  R )
9761, 96syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  =  R )
9847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  e.  RR* )
9958simprbi 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
10099ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  a )
101 xleadd1a 11540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  a )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10298, 60, 61, 100, 101syl31anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10397, 102eqbrtrrd 4443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( a +e
R ) )
10492, 61, 93, 95, 103xrletrd 11460 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )
105 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
b )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
106105breq2d 4432 . . . . . . 7  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e b )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
107 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
R )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
108107breq2d 4432 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e R )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
109106, 108ifboth 3945 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11091, 104, 109syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11167, 61ifcld 3952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11261, 111xaddcld 11588 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  e.  RR* )
113 xaddid1 11533 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11461, 113syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11565simprbi 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
b )
116115ad2antll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  b )
11750adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  R )
118 breq2 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  b  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
119 breq2 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
120118, 119ifboth 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  b  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) )
121116, 117, 120syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
122 xleadd2a 11541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12398, 111, 61, 121, 122syl31anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
124114, 123eqbrtrrd 4443 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12592, 61, 112, 95, 124xrletrd 11460 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
126 oveq1 6309 . . . . . . 7  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
127126breq2d 4432 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
128 oveq1 6309 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
129128breq2d 4432 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
130127, 129ifboth 3945 . . . . 5  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
131110, 125, 130syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
132 ge0xaddcl 11747 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( a +e b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133 ovex 6330 . . . . . 6  |-  ( a +e b )  e.  _V
134 ifexg 3978 . . . . . 6  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )
135133, 23, 134sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  e.  _V )
136 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
( z  <_  R  <->  ( a +e b )  <_  R )
)
137 id 23 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
z  =  ( a +e b ) )
138136, 137ifbieq1d 3932 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( a +e b )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( a +e
b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
139138, 26fvmptg 5959 . . . . 5  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 ( a +e b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
) )
140132, 135, 139syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
14177, 86oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
142131, 140, 1413brtr4d 4451 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  <_ 
( ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
) ) `  b
) ) )
1431, 27, 57, 88, 142comet 21515 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  e.  ( *Met `  X ) )
14420, 143eqeltrrd 2511 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   ifcif 3909   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    X. cxp 4848    o. ccom 4854    Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    |-> cmpt2 6304   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675    < clt 9676    <_ cle 9677   +ecxad 11408   [,]cicc 11639   *Metcxmt 18943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-2 10669  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-icc 11643  df-xmet 18951
This theorem is referenced by:  stdbdmet  21518  stdbdbl  21519  stdbdmopn  21520
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