Theorem stdbdxmet 21608

Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )

Assertion

Ref	Expression
stdbdxmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1030	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C e. ( *Met ` X ) )
2		xmetcl 21424	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
3		xmetge0 21437	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
4		elxrge0 11767	. . . . . . 7 |- ( ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x C y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x C y ) ) )
5	2, 3, 4	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	5	3expb 1232	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
7	1, 6	sylan 479	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xmetf 21422	. . . . . . 7 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	3ad2ant1 1051	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
10		ffn 5739	. . . . . 6 |- ( C : ( X X. X ) --> RR* -> C Fn ( X X. X ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C Fn ( X X. X ) )
12		fnov 6423	. . . . 5 |- ( C Fn ( X X. X ) <-> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
13	11, 12	sylib 201	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
14		eqidd 2472	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) )
15		breq1 4398	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> ( z <_ R <-> ( x C y ) <_ R ) )
16		id 22	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> z = ( x C y ) )
17	15, 16	ifbieq1d 3895	. . . 4 |- ( z = ( x C y ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
18	7, 13, 14, 17	fmpt2co 6898	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
19		stdbdmet.1	. . 3 |- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
20	18, 19	syl6eqr 2523	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = D )
21		elxrge0 11767	. . . . . 6 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( z e. RR* /\ 0 <_ z ) )
22	21	simplbi 467	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) -> z e. RR* )
23		simp2 1031	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R e. RR* )
24		ifcl 3914	. . . . 5 |- ( ( z e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
25	22, 23, 24	syl2anr 486	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ z e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
26		eqid 2471	. . . 4 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) )
27	25, 26	fmptd 6061	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28		id 22	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
29		vex 3034	. . . . . . 7 |- a e. _V
30		ifexg 3941	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
31	29, 23, 30	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
32		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( z <_ R <-> a <_ R ) )
33		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> z = a )
34	32, 33	ifbieq1d 3895	. . . . . . 7 |- ( z = a -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( a <_ R , a , R ) )
35	34, 26	fvmptg 5961	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( a <_ R , a , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
36	28, 31, 35	syl2anr 486	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
37	36	eqeq1d 2473	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
38		eqeq1 2475	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
39	38	bibi1d 326	. . . . 5 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( a = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
40		eqeq1 2475	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
41	40	bibi1d 326	. . . . 5 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( R = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
42		biidd 245	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ a <_ R ) -> ( a = 0 <-> a = 0 ) )
43		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 < R )
44	43	gt0ne0d 10199	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R =/= 0 )
45	44	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> -. R = 0 )
46	45	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. R = 0 )
47		0xr 9705	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
48		xrltle 11471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
49	47, 23, 48	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
50	43, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 <_ R )
51	50	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ R )
52		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( a <_ R <-> 0 <_ R ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a = 0 -> a <_ R ) )
54	53	con3dimp 448	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. a = 0 )
55	46, 54	2falsed 358	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> ( R = 0 <-> a = 0 ) )
56	39, 41, 42, 55	ifbothda 3907	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) )
57	37, 56	bitrd 261	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> a = 0 ) )
58		elxrge0 11767	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( a e. RR* /\ 0 <_ a ) )
59	58	simplbi 467	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. RR* )
60	59	ad2antrl 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> a e. RR* )
61	23	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R e. RR* )
62		xrmin1 11495	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
63	60, 61, 62	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
64	60, 61	ifcld 3915	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
65		elxrge0 11767	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( b e. RR* /\ 0 <_ b ) )
66	65	simplbi 467	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> b e. RR* )
67	66	ad2antll 743	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> b e. RR* )
68		xrletr 11478	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
69	64, 60, 67, 68	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
70	63, 69	mpand 689	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
71		xrmin2 11496	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
72	60, 61, 71	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
73	70, 72	jctird 553	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
74		xrlemin 11502	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ b e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
75	64, 67, 61, 74	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
76	73, 75	sylibrd 242	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
77	36	adantrr 731	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
78		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> b e. ( 0 [,] +oo ) )
79		vex 3034	. . . . . . 7 |- b e. _V
80		ifexg 3941	. . . . . . 7 |- ( ( b e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
81	79, 23, 80	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
82		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> ( z <_ R <-> b <_ R ) )
83		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> z = b )
84	82, 83	ifbieq1d 3895	. . . . . . 7 |- ( z = b -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( b <_ R , b , R ) )
85	84, 26	fvmptg 5961	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( b <_ R , b , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
86	78, 81, 85	syl2anr 486	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
87	77, 86	breq12d 4408	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) <-> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
88	76, 87	sylibrd 242	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
89	60, 67	xaddcld 11612	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e b ) e. RR* )
90		xrmin1 11495	. . . . . . 7 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
91	89, 61, 90	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
92	89, 61	ifcld 3915	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
93	60, 61	xaddcld 11612	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e R ) e. RR* )
94		xrmin2 11496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
95	89, 61, 94	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
96		xaddid2 11557	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR* -> ( 0 +e R ) = R )
97	61, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) = R )
98	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 e. RR* )
99	58	simprbi 471	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
100	99	ad2antrl 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ a )
101		xleadd1a 11564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ a ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
102	98, 60, 61, 100, 101	syl31anc 1295	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
103	97, 102	eqbrtrrd 4418	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( a +e R ) )
104	92, 61, 93, 95, 103	xrletrd 11482	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) )
105		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e b ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
106	105	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
107		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e R ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
108	107	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
109	106, 108	ifboth 3908	. . . . . 6 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
110	91, 104, 109	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
111	67, 61	ifcld 3915	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
112	61, 111	xaddcld 11612	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) e. RR* )
113		xaddid1 11556	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR* -> ( R +e 0 ) = R )
114	61, 113	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) = R )
115	65	simprbi 471	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ b )
116	115	ad2antll 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ b )
117	50	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ R )
118		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ b <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
119		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
120	118, 119	ifboth 3908	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ b /\ 0 <_ R ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
121	116, 117, 120	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
122		xleadd2a 11565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ if ( b <_ R , b , R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
123	98, 111, 61, 121, 122	syl31anc 1295	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
124	114, 123	eqbrtrrd 4418	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
125	92, 61, 112, 95, 124	xrletrd 11482	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
126		oveq1 6315	. . . . . . 7 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
127	126	breq2d 4407	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
128		oveq1 6315	. . . . . . 7 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
129	128	breq2d 4407	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
130	127, 129	ifboth 3908	. . . . 5 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
131	110, 125, 130	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
132		ge0xaddcl 11772	. . . . 5 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133		ovex 6336	. . . . . 6 |- ( a +e b ) e. _V
134		ifexg 3941	. . . . . 6 |- ( ( ( a +e b ) e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
135	133, 23, 134	sylancr 676	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
136		breq1 4398	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> ( z <_ R <-> ( a +e b ) <_ R ) )
137		id 22	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> z = ( a +e b ) )
138	136, 137	ifbieq1d 3895	. . . . . 6 |- ( z = ( a +e b ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
139	138, 26	fvmptg 5961	. . . . 5 |- ( ( ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
140	132, 135, 139	syl2anr 486	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
141	77, 86	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
142	131, 140, 141	3brtr4d 4426	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) <_ ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
143	1, 27, 57, 88, 142	comet 21606	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) e. ( *Met ` X ) )
144	20, 143	eqeltrrd 2550	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   *Metcxmt 19032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-xmet 19040

This theorem is referenced by:  stdbdmet  21609  stdbdbl  21610  stdbdmopn  21611