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Theorem stdbdxmet 20090
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetcl 19906 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
3 xmetge0 19919 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
4 elxrge0 11394 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x C y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x C y ) ) )
52, 3, 4sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
653expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71, 6sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xmetf 19904 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
983ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C : ( X  X.  X ) -->
RR* )
10 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( C : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
12 fnov 6198 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( X  X.  X )  <->  C  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
1311, 12sylib 196 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
14 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) )
15 breq1 4295 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  (
z  <_  R  <->  ( x C y )  <_  R ) )
16 id 22 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  z  =  ( x C y ) )
1715, 16ifbieq1d 3812 . . . 4  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
187, 13, 14, 17fmpt2co 6656 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
19 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2018, 19syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  D )
21 elxrge0 11394 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
2221simplbi 460 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
23 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  e.  RR* )
24 ifcl 3831 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
2522, 23, 24syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
26 eqid 2443 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )
2725, 26fmptd 5867 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29 vex 2975 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
30 ifexg 3859 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )
3129, 23, 30sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e. 
_V )
32 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  (
z  <_  R  <->  a  <_  R ) )
33 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  z  =  a )
3432, 33ifbieq1d 3812 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( a  <_  R , 
a ,  R ) )
3534, 26fvmptg 5772 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R ) )
3628, 31, 35syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
3736eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
38 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
3938bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( a  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
40 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4140bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( R  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
42 biidd 237 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  a  <_  R )  ->  (
a  =  0  <->  a  =  0 ) )
43 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <  R
)
4443gt0ne0d 9904 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  =/=  0
)
4544neneqd 2624 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  -.  R  = 
0 )
4645ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  R  =  0
)
47 0xr 9430 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
48 xrltle 11126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
4947, 23, 48sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <_  R
)
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  R )
52 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5351, 52syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
a  =  0  -> 
a  <_  R )
)
5453con3dimp 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  a  =  0
)
5546, 542falsed 351 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
a  =  0 ) )
5639, 41, 42, 55ifbothda 3824 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  =  0  <->  a  =  0 ) )
5737, 56bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  a  =  0 ) )
58 elxrge0 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( a  e. 
RR*  /\  0  <_  a ) )
5958simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e. 
RR* )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  a  e.  RR* )
6123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  e.  RR* )
62 xrmin1 11149 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
64 ifcl 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
6560, 61, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
66 elxrge0 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( b  e. 
RR*  /\  0  <_  b ) )
6766simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  b  e. 
RR* )
6867ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  b  e.  RR* )
69 xrletr 11132 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7065, 60, 68, 69syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7163, 70mpand 675 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  b )
)
72 xrmin2 11150 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7360, 61, 72syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7471, 73jctird 544 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  b  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  R
) ) )
75 xrlemin 11156 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7665, 68, 61, 75syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7774, 76sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
7836adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
79 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  b  e.  ( 0 [,] +oo )
)
80 vex 2975 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
81 ifexg 3859 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )
8280, 23, 81sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e. 
_V )
83 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
z  <_  R  <->  b  <_  R ) )
84 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  z  =  b )
8583, 84ifbieq1d 3812 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )
8685, 26fvmptg 5772 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
8779, 82, 86syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )
8878, 87breq12d 4305 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  <_ 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  <->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
8977, 88sylibrd 234 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  <_  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b ) ) )
9060, 68xaddcld 11264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e b )  e.  RR* )
91 xrmin1 11149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b ) )
9290, 61, 91syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
b ) )
93 ifcl 3831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  RR* )
9490, 61, 93syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e. 
RR* )
9560, 61xaddcld 11264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e R )  e.  RR* )
96 xrmin2 11150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
9790, 61, 96syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
98 xaddid2 11210 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( 0 +e R )  =  R )
9961, 98syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  =  R )
10047a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  e.  RR* )
10158simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
102101ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  a )
103 xleadd1a 11216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  a )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
104100, 60, 61, 102, 103syl31anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10599, 104eqbrtrrd 4314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( a +e
R ) )
10694, 61, 95, 97, 105xrletrd 11136 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )
107 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
b )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
108107breq2d 4304 . . . . . . 7  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e b )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
109 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
R )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
110109breq2d 4304 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e R )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
111108, 110ifboth 3825 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11292, 106, 111syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
113 ifcl 3831 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11468, 61, 113syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11561, 114xaddcld 11264 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  e.  RR* )
116 xaddid1 11209 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11761, 116syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11866simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
b )
119118ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  b )
12050adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  R )
121 breq2 4296 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  b  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
122 breq2 4296 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
123121, 122ifboth 3825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  b  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) )
124119, 120, 123syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
125 xleadd2a 11217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
126100, 114, 61, 124, 125syl31anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
127117, 126eqbrtrrd 4314 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12894, 61, 115, 97, 127xrletrd 11136 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
129 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
130129breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
131 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
132131breq2d 4304 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
133130, 132ifboth 3825 . . . . 5  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
134112, 128, 133syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
135 ge0xaddcl 11399 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( a +e b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
136 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( a +e b )  e.  _V
137 ifexg 3859 . . . . . 6  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )
138136, 23, 137sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  e.  _V )
139 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
( z  <_  R  <->  ( a +e b )  <_  R )
)
140 id 22 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
z  =  ( a +e b ) )
141139, 140ifbieq1d 3812 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( a +e b )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( a +e
b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
142141, 26fvmptg 5772 . . . . 5  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 ( a +e b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
) )
143135, 138, 142syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
14478, 87oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
145134, 143, 1443brtr4d 4322 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  <_ 
( ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
) ) `  b
) ) )
1461, 27, 57, 89, 145comet 20088 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  e.  ( *Met `  X ) )
14720, 146eqeltrrd 2518 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   +ecxad 11087   [,]cicc 11303   *Metcxmt 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-icc 11307  df-xmet 17810
This theorem is referenced by:  stdbdmet  20091  stdbdbl  20092  stdbdmopn  20093
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