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Theorem stdbdxmet 20995
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
2 xmetcl 20811 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
3 xmetge0 20824 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
4 elxrge0 11639 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( x C y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( x C y ) ) )
52, 3, 4sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
653expb 1198 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71, 6sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xmetf 20809 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
983ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C : ( X  X.  X ) -->
RR* )
10 ffn 5721 . . . . . 6  |-  ( C : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
12 fnov 6395 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( X  X.  X )  <->  C  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
1311, 12sylib 196 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
14 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) )
15 breq1 4440 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  (
z  <_  R  <->  ( x C y )  <_  R ) )
16 id 22 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  z  =  ( x C y ) )
1715, 16ifbieq1d 3949 . . . 4  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
187, 13, 14, 17fmpt2co 6868 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
19 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2018, 19syl6eqr 2502 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  D )
21 elxrge0 11639 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
2221simplbi 460 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
23 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  e.  RR* )
24 ifcl 3968 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
2522, 23, 24syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
26 eqid 2443 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )
2725, 26fmptd 6040 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29 vex 3098 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
30 ifexg 3996 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )
3129, 23, 30sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e. 
_V )
32 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  (
z  <_  R  <->  a  <_  R ) )
33 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  z  =  a )
3432, 33ifbieq1d 3949 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( a  <_  R , 
a ,  R ) )
3534, 26fvmptg 5939 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R ) )
3628, 31, 35syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
3736eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
38 eqeq1 2447 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
3938bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( a  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
40 eqeq1 2447 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4140bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( R  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
42 biidd 237 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  a  <_  R )  ->  (
a  =  0  <->  a  =  0 ) )
43 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <  R
)
4443gt0ne0d 10124 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  =/=  0
)
4544neneqd 2645 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  -.  R  = 
0 )
4645ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  R  =  0
)
47 0xr 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
48 xrltle 11365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
4947, 23, 48sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <_  R
)
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  R )
52 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5351, 52syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
a  =  0  -> 
a  <_  R )
)
5453con3dimp 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  a  =  0
)
5546, 542falsed 351 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
a  =  0 ) )
5639, 41, 42, 55ifbothda 3961 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  =  0  <->  a  =  0 ) )
5737, 56bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  a  =  0 ) )
58 elxrge0 11639 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( a  e. 
RR*  /\  0  <_  a ) )
5958simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  a  e. 
RR* )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  a  e.  RR* )
6123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  e.  RR* )
62 xrmin1 11388 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6460, 61ifcld 3969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
65 elxrge0 11639 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( b  e. 
RR*  /\  0  <_  b ) )
6665simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  b  e. 
RR* )
6766ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  b  e.  RR* )
68 xrletr 11371 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
6964, 60, 67, 68syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7063, 69mpand 675 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  b )
)
71 xrmin2 11389 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7260, 61, 71syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7370, 72jctird 544 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  b  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  R
) ) )
74 xrlemin 11395 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7564, 67, 61, 74syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7673, 75sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
7736adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
78 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  b  e.  ( 0 [,] +oo )
)
79 vex 3098 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
80 ifexg 3996 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )
8179, 23, 80sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e. 
_V )
82 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
z  <_  R  <->  b  <_  R ) )
83 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  z  =  b )
8482, 83ifbieq1d 3949 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )
8584, 26fvmptg 5939 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
8678, 81, 85syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )
8777, 86breq12d 4450 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  <_ 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  <->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
8876, 87sylibrd 234 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  <_  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b ) ) )
8960, 67xaddcld 11503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e b )  e.  RR* )
90 xrmin1 11388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b ) )
9189, 61, 90syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
b ) )
9289, 61ifcld 3969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e. 
RR* )
9360, 61xaddcld 11503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
a +e R )  e.  RR* )
94 xrmin2 11389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
9589, 61, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  R )
96 xaddid2 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( 0 +e R )  =  R )
9761, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  =  R )
9847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  e.  RR* )
9958simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
a )
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  a )
101 xleadd1a 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  a )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10298, 60, 61, 100, 101syl31anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
0 +e R )  <_  ( a +e R ) )
10397, 102eqbrtrrd 4459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( a +e
R ) )
10492, 61, 93, 95, 103xrletrd 11375 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )
105 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
b )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
106105breq2d 4449 . . . . . . 7  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e b )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
107 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a +e
R )  =  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
108107breq2d 4449 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e R )  <-> 
if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) ) )
109106, 108ifboth 3962 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e b )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
R ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11091, 104, 109syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
11167, 61ifcld 3969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11261, 111xaddcld 11503 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  e.  RR* )
113 xaddid1 11448 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11461, 113syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  =  R )
11565simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
b )
116115ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  b )
11750adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  R )
118 breq2 4441 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  b  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
119 breq2 4441 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
120118, 119ifboth 3962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  b  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) )
121116, 117, 120syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
122 xleadd2a 11456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12398, 111, 61, 121, 122syl31anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( R +e 0 )  <_  ( R +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
124114, 123eqbrtrrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  R  <_  ( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
12592, 61, 112, 95, 124xrletrd 11375 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
126 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
127126breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( a +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
128 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R +e
if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
129128breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  <->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
130127, 129ifboth 3962 . . . . 5  |-  ( ( if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_  ( a +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  <_  ( R +e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
131110, 125, 130syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  <_ 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
132 ge0xaddcl 11644 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( a +e b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( a +e b )  e.  _V
134 ifexg 3996 . . . . . 6  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )
135133, 23, 134sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
)  e.  _V )
136 breq1 4440 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
( z  <_  R  <->  ( a +e b )  <_  R )
)
137 id 22 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
z  =  ( a +e b ) )
138136, 137ifbieq1d 3949 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( a +e b )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( a +e
b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
139138, 26fvmptg 5939 . . . . 5  |-  ( ( ( a +e
b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 ( a +e b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R , 
( a +e
b ) ,  R
) )
140132, 135, 139syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  =  if ( ( a +e b )  <_  R ,  ( a +e b ) ,  R ) )
14177, 86oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) +e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
142131, 140, 1413brtr4d 4467 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a +e
b ) )  <_ 
( ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  a ) +e ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
) ) `  b
) ) )
1431, 27, 57, 88, 142comet 20993 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  e.  ( *Met `  X ) )
14420, 143eqeltrrd 2532 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987    o. ccom 4993    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   +ecxad 11326   [,]cicc 11542   *Metcxmt 18381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-icc 11546  df-xmet 18390
This theorem is referenced by:  stdbdmet  20996  stdbdbl  20997  stdbdmopn  20998
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