Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdxmet Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stdbdxmet 21608
 Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1030 . . . . 5
2 xmetcl 21424 . . . . . . 7
3 xmetge0 21437 . . . . . . 7
4 elxrge0 11767 . . . . . . 7
52, 3, 4sylanbrc 677 . . . . . 6
653expb 1232 . . . . 5
71, 6sylan 479 . . . 4
8 xmetf 21422 . . . . . . 7
983ad2ant1 1051 . . . . . 6
10 ffn 5739 . . . . . 6
119, 10syl 17 . . . . 5
12 fnov 6423 . . . . 5
1311, 12sylib 201 . . . 4
14 eqidd 2472 . . . 4
15 breq1 4398 . . . . 5
16 id 22 . . . . 5
1715, 16ifbieq1d 3895 . . . 4
187, 13, 14, 17fmpt2co 6898 . . 3
19 stdbdmet.1 . . 3
2018, 19syl6eqr 2523 . 2
21 elxrge0 11767 . . . . . 6
2221simplbi 467 . . . . 5
23 simp2 1031 . . . . 5
24 ifcl 3914 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anr 486 . . . 4
26 eqid 2471 . . . 4
2725, 26fmptd 6061 . . 3
28 id 22 . . . . . 6
29 vex 3034 . . . . . . 7
30 ifexg 3941 . . . . . . 7
3129, 23, 30sylancr 676 . . . . . 6
32 breq1 4398 . . . . . . . 8
33 id 22 . . . . . . . 8
3432, 33ifbieq1d 3895 . . . . . . 7
3534, 26fvmptg 5961 . . . . . 6
3628, 31, 35syl2anr 486 . . . . 5
3736eqeq1d 2473 . . . 4
38 eqeq1 2475 . . . . . 6
3938bibi1d 326 . . . . 5
40 eqeq1 2475 . . . . . 6
4140bibi1d 326 . . . . 5
42 biidd 245 . . . . 5
43 simp3 1032 . . . . . . . . 9
4443gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8
4544neneqd 2648 . . . . . . 7
4645ad2antrr 740 . . . . . 6
47 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11
48 xrltle 11471 . . . . . . . . . . 11
4947, 23, 48sylancr 676 . . . . . . . . . 10
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . 9
5150adantr 472 . . . . . . . 8
52 breq1 4398 . . . . . . . 8
5351, 52syl5ibrcom 230 . . . . . . 7
5453con3dimp 448 . . . . . 6
5546, 542falsed 358 . . . . 5
5639, 41, 42, 55ifbothda 3907 . . . 4
5737, 56bitrd 261 . . 3
58 elxrge0 11767 . . . . . . . . . 10
5958simplbi 467 . . . . . . . . 9
6059ad2antrl 742 . . . . . . . 8
6123adantr 472 . . . . . . . 8
62 xrmin1 11495 . . . . . . . 8
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . 7
6460, 61ifcld 3915 . . . . . . . 8
65 elxrge0 11767 . . . . . . . . . 10
6665simplbi 467 . . . . . . . . 9
6766ad2antll 743 . . . . . . . 8
68 xrletr 11478 . . . . . . . 8
6964, 60, 67, 68syl3anc 1292 . . . . . . 7
7063, 69mpand 689 . . . . . 6
71 xrmin2 11496 . . . . . . 7
7260, 61, 71syl2anc 673 . . . . . 6
7370, 72jctird 553 . . . . 5
74 xrlemin 11502 . . . . . 6
7564, 67, 61, 74syl3anc 1292 . . . . 5
7673, 75sylibrd 242 . . . 4
7736adantrr 731 . . . . 5
78 simpr 468 . . . . . 6
79 vex 3034 . . . . . . 7
80 ifexg 3941 . . . . . . 7
8179, 23, 80sylancr 676 . . . . . 6
82 breq1 4398 . . . . . . . 8
83 id 22 . . . . . . . 8
8482, 83ifbieq1d 3895 . . . . . . 7
8584, 26fvmptg 5961 . . . . . 6
8678, 81, 85syl2anr 486 . . . . 5
8777, 86breq12d 4408 . . . 4
8876, 87sylibrd 242 . . 3
8960, 67xaddcld 11612 . . . . . . 7
90 xrmin1 11495 . . . . . . 7
9189, 61, 90syl2anc 673 . . . . . 6
9289, 61ifcld 3915 . . . . . . 7
9360, 61xaddcld 11612 . . . . . . 7
94 xrmin2 11496 . . . . . . . 8
9589, 61, 94syl2anc 673 . . . . . . 7
96 xaddid2 11557 . . . . . . . . 9
9761, 96syl 17 . . . . . . . 8
9847a1i 11 . . . . . . . . 9
9958simprbi 471 . . . . . . . . . 10
10099ad2antrl 742 . . . . . . . . 9
101 xleadd1a 11564 . . . . . . . . 9
10298, 60, 61, 100, 101syl31anc 1295 . . . . . . . 8
10397, 102eqbrtrrd 4418 . . . . . . 7
10492, 61, 93, 95, 103xrletrd 11482 . . . . . 6
105 oveq2 6316 . . . . . . . 8
106105breq2d 4407 . . . . . . 7
107 oveq2 6316 . . . . . . . 8
108107breq2d 4407 . . . . . . 7
109106, 108ifboth 3908 . . . . . 6
11091, 104, 109syl2anc 673 . . . . 5
11167, 61ifcld 3915 . . . . . . 7
11261, 111xaddcld 11612 . . . . . 6
113 xaddid1 11556 . . . . . . . 8
11461, 113syl 17 . . . . . . 7
11565simprbi 471 . . . . . . . . . 10
116115ad2antll 743 . . . . . . . . 9
11750adantr 472 . . . . . . . . 9
118 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
119 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
120118, 119ifboth 3908 . . . . . . . . 9
121116, 117, 120syl2anc 673 . . . . . . . 8
122 xleadd2a 11565 . . . . . . . 8
12398, 111, 61, 121, 122syl31anc 1295 . . . . . . 7
124114, 123eqbrtrrd 4418 . . . . . 6
12592, 61, 112, 95, 124xrletrd 11482 . . . . 5
126 oveq1 6315 . . . . . . 7
127126breq2d 4407 . . . . . 6
128 oveq1 6315 . . . . . . 7
129128breq2d 4407 . . . . . 6
130127, 129ifboth 3908 . . . . 5
131110, 125, 130syl2anc 673 . . . 4
132 ge0xaddcl 11772 . . . . 5
133 ovex 6336 . . . . . 6
134 ifexg 3941 . . . . . 6
135133, 23, 134sylancr 676 . . . . 5
136 breq1 4398 . . . . . . 7
137 id 22 . . . . . . 7
138136, 137ifbieq1d 3895 . . . . . 6
139138, 26fvmptg 5961 . . . . 5
140132, 135, 139syl2anr 486 . . . 4
14177, 86oveq12d 6326 . . . 4
142131, 140, 1413brtr4d 4426 . . 3
1431, 27, 57, 88, 142comet 21606 . 2
14420, 143eqeltrrd 2550 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cxad 11430  cicc 11663  cxmt 19032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-xmet 19040 This theorem is referenced by:  stdbdmet  21609  stdbdbl  21610  stdbdmopn  21611
 Copyright terms: Public domain W3C validator