Theorem stdbdxmet 20090

Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )

Assertion

Ref	Expression
stdbdxmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 988	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C e. ( *Met ` X ) )
2		xmetcl 19906	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
3		xmetge0 19919	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
4		elxrge0 11394	. . . . . . 7 |- ( ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x C y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x C y ) ) )
5	2, 3, 4	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	5	3expb 1188	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
7	1, 6	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xmetf 19904	. . . . . . 7 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	3ad2ant1 1009	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
10		ffn 5559	. . . . . 6 |- ( C : ( X X. X ) --> RR* -> C Fn ( X X. X ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C Fn ( X X. X ) )
12		fnov 6198	. . . . 5 |- ( C Fn ( X X. X ) <-> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
13	11, 12	sylib 196	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
14		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) )
15		breq1 4295	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> ( z <_ R <-> ( x C y ) <_ R ) )
16		id 22	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> z = ( x C y ) )
17	15, 16	ifbieq1d 3812	. . . 4 |- ( z = ( x C y ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
18	7, 13, 14, 17	fmpt2co 6656	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
19		stdbdmet.1	. . 3 |- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
20	18, 19	syl6eqr 2493	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = D )
21		elxrge0 11394	. . . . . 6 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( z e. RR* /\ 0 <_ z ) )
22	21	simplbi 460	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) -> z e. RR* )
23		simp2 989	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R e. RR* )
24		ifcl 3831	. . . . 5 |- ( ( z e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
25	22, 23, 24	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ z e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
26		eqid 2443	. . . 4 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) )
27	25, 26	fmptd 5867	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28		id 22	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
29		vex 2975	. . . . . . 7 |- a e. _V
30		ifexg 3859	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
31	29, 23, 30	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
32		breq1 4295	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( z <_ R <-> a <_ R ) )
33		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> z = a )
34	32, 33	ifbieq1d 3812	. . . . . . 7 |- ( z = a -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( a <_ R , a , R ) )
35	34, 26	fvmptg 5772	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( a <_ R , a , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
36	28, 31, 35	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
37	36	eqeq1d 2451	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
38		eqeq1 2449	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
39	38	bibi1d 319	. . . . 5 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( a = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
40		eqeq1 2449	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
41	40	bibi1d 319	. . . . 5 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( R = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
42		biidd 237	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ a <_ R ) -> ( a = 0 <-> a = 0 ) )
43		simp3 990	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 < R )
44	43	gt0ne0d 9904	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R =/= 0 )
45	44	neneqd 2624	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> -. R = 0 )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. R = 0 )
47		0xr 9430	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
48		xrltle 11126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
49	47, 23, 48	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
50	43, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 <_ R )
51	50	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ R )
52		breq1 4295	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( a <_ R <-> 0 <_ R ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a = 0 -> a <_ R ) )
54	53	con3dimp 441	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. a = 0 )
55	46, 54	2falsed 351	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> ( R = 0 <-> a = 0 ) )
56	39, 41, 42, 55	ifbothda 3824	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) )
57	37, 56	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> a = 0 ) )
58		elxrge0 11394	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( a e. RR* /\ 0 <_ a ) )
59	58	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. RR* )
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> a e. RR* )
61	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R e. RR* )
62		xrmin1 11149	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
64		ifcl 3831	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
65	60, 61, 64	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
66		elxrge0 11394	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( b e. RR* /\ 0 <_ b ) )
67	66	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> b e. RR* )
68	67	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> b e. RR* )
69		xrletr 11132	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
70	65, 60, 68, 69	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
71	63, 70	mpand 675	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
72		xrmin2 11150	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
73	60, 61, 72	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
74	71, 73	jctird 544	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
75		xrlemin 11156	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ b e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
76	65, 68, 61, 75	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
77	74, 76	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
78	36	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
79		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> b e. ( 0 [,] +oo ) )
80		vex 2975	. . . . . . 7 |- b e. _V
81		ifexg 3859	. . . . . . 7 |- ( ( b e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
82	80, 23, 81	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
83		breq1 4295	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> ( z <_ R <-> b <_ R ) )
84		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> z = b )
85	83, 84	ifbieq1d 3812	. . . . . . 7 |- ( z = b -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( b <_ R , b , R ) )
86	85, 26	fvmptg 5772	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( b <_ R , b , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
87	79, 82, 86	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
88	78, 87	breq12d 4305	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) <-> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
89	77, 88	sylibrd 234	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
90	60, 68	xaddcld 11264	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e b ) e. RR* )
91		xrmin1 11149	. . . . . . 7 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
92	90, 61, 91	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
93		ifcl 3831	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
94	90, 61, 93	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
95	60, 61	xaddcld 11264	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e R ) e. RR* )
96		xrmin2 11150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
97	90, 61, 96	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
98		xaddid2 11210	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR* -> ( 0 +e R ) = R )
99	61, 98	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) = R )
100	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 e. RR* )
101	58	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
102	101	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ a )
103		xleadd1a 11216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ a ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
104	100, 60, 61, 102, 103	syl31anc 1221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
105	99, 104	eqbrtrrd 4314	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( a +e R ) )
106	94, 61, 95, 97, 105	xrletrd 11136	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) )
107		oveq2 6099	. . . . . . . 8 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e b ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
108	107	breq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
109		oveq2 6099	. . . . . . . 8 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e R ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
110	109	breq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
111	108, 110	ifboth 3825	. . . . . 6 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
112	92, 106, 111	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
113		ifcl 3831	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
114	68, 61, 113	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
115	61, 114	xaddcld 11264	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) e. RR* )
116		xaddid1 11209	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR* -> ( R +e 0 ) = R )
117	61, 116	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) = R )
118	66	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ b )
119	118	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ b )
120	50	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ R )
121		breq2 4296	. . . . . . . . . 10 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ b <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
122		breq2 4296	. . . . . . . . . 10 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
123	121, 122	ifboth 3825	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ b /\ 0 <_ R ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
124	119, 120, 123	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
125		xleadd2a 11217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ if ( b <_ R , b , R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
126	100, 114, 61, 124, 125	syl31anc 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
127	117, 126	eqbrtrrd 4314	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
128	94, 61, 115, 97, 127	xrletrd 11136	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
129		oveq1 6098	. . . . . . 7 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
130	129	breq2d 4304	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
131		oveq1 6098	. . . . . . 7 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
132	131	breq2d 4304	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
133	130, 132	ifboth 3825	. . . . 5 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
134	112, 128, 133	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
135		ge0xaddcl 11399	. . . . 5 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
136		ovex 6116	. . . . . 6 |- ( a +e b ) e. _V
137		ifexg 3859	. . . . . 6 |- ( ( ( a +e b ) e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
138	136, 23, 137	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
139		breq1 4295	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> ( z <_ R <-> ( a +e b ) <_ R ) )
140		id 22	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> z = ( a +e b ) )
141	139, 140	ifbieq1d 3812	. . . . . 6 |- ( z = ( a +e b ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
142	141, 26	fvmptg 5772	. . . . 5 |- ( ( ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
143	135, 138, 142	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
144	78, 87	oveq12d 6109	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
145	134, 143, 144	3brtr4d 4322	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) <_ ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
146	1, 27, 57, 89, 145	comet 20088	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) e. ( *Met ` X ) )
147	20, 146	eqeltrrd 2518	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2972   ifcif 3791   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   X. cxp 4838   o. ccom 4844   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   e. cmpt2 6093   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   < clt 9418   <_ cle 9419   +ecxad 11087   [,]cicc 11303   *Metcxmt 17801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-icc 11307  df-xmet 17810

This theorem is referenced by:  stdbdmet  20091  stdbdbl  20092  stdbdmopn  20093