Theorem stdbdxmet 21517

Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )

Assertion

Ref	Expression
stdbdxmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1005	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C e. ( *Met ` X ) )
2		xmetcl 21333	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
3		xmetge0 21346	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
4		elxrge0 11742	. . . . . . 7 |- ( ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x C y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x C y ) ) )
5	2, 3, 4	sylanbrc 668	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	5	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
7	1, 6	sylan 473	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xmetf 21331	. . . . . . 7 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	3ad2ant1 1026	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
10		ffn 5743	. . . . . 6 |- ( C : ( X X. X ) --> RR* -> C Fn ( X X. X ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C Fn ( X X. X ) )
12		fnov 6415	. . . . 5 |- ( C Fn ( X X. X ) <-> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
13	11, 12	sylib 199	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
14		eqidd 2423	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) )
15		breq1 4423	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> ( z <_ R <-> ( x C y ) <_ R ) )
16		id 23	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> z = ( x C y ) )
17	15, 16	ifbieq1d 3932	. . . 4 |- ( z = ( x C y ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
18	7, 13, 14, 17	fmpt2co 6887	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
19		stdbdmet.1	. . 3 |- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
20	18, 19	syl6eqr 2481	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = D )
21		elxrge0 11742	. . . . . 6 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( z e. RR* /\ 0 <_ z ) )
22	21	simplbi 461	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) -> z e. RR* )
23		simp2 1006	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R e. RR* )
24		ifcl 3951	. . . . 5 |- ( ( z e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
25	22, 23, 24	syl2anr 480	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ z e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
26		eqid 2422	. . . 4 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) )
27	25, 26	fmptd 6058	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28		id 23	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
29		vex 3084	. . . . . . 7 |- a e. _V
30		ifexg 3978	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
31	29, 23, 30	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
32		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( z <_ R <-> a <_ R ) )
33		id 23	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> z = a )
34	32, 33	ifbieq1d 3932	. . . . . . 7 |- ( z = a -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( a <_ R , a , R ) )
35	34, 26	fvmptg 5959	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( a <_ R , a , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
36	28, 31, 35	syl2anr 480	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
37	36	eqeq1d 2424	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
38		eqeq1 2426	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
39	38	bibi1d 320	. . . . 5 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( a = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
40		eqeq1 2426	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
41	40	bibi1d 320	. . . . 5 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( R = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
42		biidd 240	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ a <_ R ) -> ( a = 0 <-> a = 0 ) )
43		simp3 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 < R )
44	43	gt0ne0d 10179	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R =/= 0 )
45	44	neneqd 2625	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> -. R = 0 )
46	45	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. R = 0 )
47		0xr 9688	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
48		xrltle 11449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
49	47, 23, 48	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
50	43, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 <_ R )
51	50	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ R )
52		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( a <_ R <-> 0 <_ R ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 225	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a = 0 -> a <_ R ) )
54	53	con3dimp 442	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. a = 0 )
55	46, 54	2falsed 352	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> ( R = 0 <-> a = 0 ) )
56	39, 41, 42, 55	ifbothda 3944	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) )
57	37, 56	bitrd 256	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> a = 0 ) )
58		elxrge0 11742	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( a e. RR* /\ 0 <_ a ) )
59	58	simplbi 461	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. RR* )
60	59	ad2antrl 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> a e. RR* )
61	23	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R e. RR* )
62		xrmin1 11473	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
63	60, 61, 62	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
64	60, 61	ifcld 3952	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
65		elxrge0 11742	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( b e. RR* /\ 0 <_ b ) )
66	65	simplbi 461	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> b e. RR* )
67	66	ad2antll 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> b e. RR* )
68		xrletr 11456	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
69	64, 60, 67, 68	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
70	63, 69	mpand 679	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
71		xrmin2 11474	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
72	60, 61, 71	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
73	70, 72	jctird 546	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
74		xrlemin 11480	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ b e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
75	64, 67, 61, 74	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
76	73, 75	sylibrd 237	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
77	36	adantrr 721	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
78		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> b e. ( 0 [,] +oo ) )
79		vex 3084	. . . . . . 7 |- b e. _V
80		ifexg 3978	. . . . . . 7 |- ( ( b e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
81	79, 23, 80	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
82		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> ( z <_ R <-> b <_ R ) )
83		id 23	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> z = b )
84	82, 83	ifbieq1d 3932	. . . . . . 7 |- ( z = b -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( b <_ R , b , R ) )
85	84, 26	fvmptg 5959	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( b <_ R , b , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
86	78, 81, 85	syl2anr 480	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
87	77, 86	breq12d 4433	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) <-> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
88	76, 87	sylibrd 237	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
89	60, 67	xaddcld 11588	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e b ) e. RR* )
90		xrmin1 11473	. . . . . . 7 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
91	89, 61, 90	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
92	89, 61	ifcld 3952	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
93	60, 61	xaddcld 11588	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e R ) e. RR* )
94		xrmin2 11474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
95	89, 61, 94	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
96		xaddid2 11534	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR* -> ( 0 +e R ) = R )
97	61, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) = R )
98	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 e. RR* )
99	58	simprbi 465	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
100	99	ad2antrl 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ a )
101		xleadd1a 11540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ a ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
102	98, 60, 61, 100, 101	syl31anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
103	97, 102	eqbrtrrd 4443	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( a +e R ) )
104	92, 61, 93, 95, 103	xrletrd 11460	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) )
105		oveq2 6310	. . . . . . . 8 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e b ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
106	105	breq2d 4432	. . . . . . 7 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
107		oveq2 6310	. . . . . . . 8 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e R ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
108	107	breq2d 4432	. . . . . . 7 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
109	106, 108	ifboth 3945	. . . . . 6 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
110	91, 104, 109	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
111	67, 61	ifcld 3952	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
112	61, 111	xaddcld 11588	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) e. RR* )
113		xaddid1 11533	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR* -> ( R +e 0 ) = R )
114	61, 113	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) = R )
115	65	simprbi 465	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ b )
116	115	ad2antll 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ b )
117	50	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ R )
118		breq2 4424	. . . . . . . . . 10 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ b <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
119		breq2 4424	. . . . . . . . . 10 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
120	118, 119	ifboth 3945	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ b /\ 0 <_ R ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
121	116, 117, 120	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
122		xleadd2a 11541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ if ( b <_ R , b , R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
123	98, 111, 61, 121, 122	syl31anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
124	114, 123	eqbrtrrd 4443	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
125	92, 61, 112, 95, 124	xrletrd 11460	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
126		oveq1 6309	. . . . . . 7 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
127	126	breq2d 4432	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
128		oveq1 6309	. . . . . . 7 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
129	128	breq2d 4432	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
130	127, 129	ifboth 3945	. . . . 5 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
131	110, 125, 130	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
132		ge0xaddcl 11747	. . . . 5 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133		ovex 6330	. . . . . 6 |- ( a +e b ) e. _V
134		ifexg 3978	. . . . . 6 |- ( ( ( a +e b ) e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
135	133, 23, 134	sylancr 667	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
136		breq1 4423	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> ( z <_ R <-> ( a +e b ) <_ R ) )
137		id 23	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> z = ( a +e b ) )
138	136, 137	ifbieq1d 3932	. . . . . 6 |- ( z = ( a +e b ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
139	138, 26	fvmptg 5959	. . . . 5 |- ( ( ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
140	132, 135, 139	syl2anr 480	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
141	77, 86	oveq12d 6320	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
142	131, 140, 141	3brtr4d 4451	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) <_ ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
143	1, 27, 57, 88, 142	comet 21515	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) e. ( *Met ` X ) )
144	20, 143	eqeltrrd 2511	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   ifcif 3909   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   X. cxp 4848   o. ccom 4854   Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   |-> cmpt2 6304   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675   < clt 9676   <_ cle 9677   +ecxad 11408   [,]cicc 11639   *Metcxmt 18943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-2 10669  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-icc 11643  df-xmet 18951

This theorem is referenced by:  stdbdmet  21518  stdbdbl  21519  stdbdmopn  21520