Theorem stdbdxmet 20746

Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )

Assertion

Ref	Expression
stdbdxmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 991	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C e. ( *Met ` X ) )
2		xmetcl 20562	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
3		xmetge0 20575	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
4		elxrge0 11618	. . . . . . 7 |- ( ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( x C y ) e. RR* /\ 0 <_ ( x C y ) ) )
5	2, 3, 4	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	5	3expb 1192	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
7	1, 6	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xmetf 20560	. . . . . . 7 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	3ad2ant1 1012	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C : ( X X. X ) --> RR* )
10		ffn 5722	. . . . . 6 |- ( C : ( X X. X ) --> RR* -> C Fn ( X X. X ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C Fn ( X X. X ) )
12		fnov 6385	. . . . 5 |- ( C Fn ( X X. X ) <-> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
13	11, 12	sylib 196	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> C = ( x e. X , y e. X |-> ( x C y ) ) )
14		eqidd 2461	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) )
15		breq1 4443	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> ( z <_ R <-> ( x C y ) <_ R ) )
16		id 22	. . . . 5 |- ( z = ( x C y ) -> z = ( x C y ) )
17	15, 16	ifbieq1d 3955	. . . 4 |- ( z = ( x C y ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
18	7, 13, 14, 17	fmpt2co 6856	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
19		stdbdmet.1	. . 3 |- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
20	18, 19	syl6eqr 2519	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) = D )
21		elxrge0 11618	. . . . . 6 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( z e. RR* /\ 0 <_ z ) )
22	21	simplbi 460	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) -> z e. RR* )
23		simp2 992	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R e. RR* )
24		ifcl 3974	. . . . 5 |- ( ( z e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
25	22, 23, 24	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ z e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( z <_ R , z , R ) e. RR* )
26		eqid 2460	. . . 4 |- ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) = ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) )
27	25, 26	fmptd 6036	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
28		id 22	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
29		vex 3109	. . . . . . 7 |- a e. _V
30		ifexg 4002	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
31	29, 23, 30	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. _V )
32		breq1 4443	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( z <_ R <-> a <_ R ) )
33		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> z = a )
34	32, 33	ifbieq1d 3955	. . . . . . 7 |- ( z = a -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( a <_ R , a , R ) )
35	34, 26	fvmptg 5939	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( a <_ R , a , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
36	28, 31, 35	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
37	36	eqeq1d 2462	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
38		eqeq1 2464	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
39	38	bibi1d 319	. . . . 5 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( a = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
40		eqeq1 2464	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R = 0 <-> if ( a <_ R , a , R ) = 0 ) )
41	40	bibi1d 319	. . . . 5 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( ( R = 0 <-> a = 0 ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) ) )
42		biidd 237	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ a <_ R ) -> ( a = 0 <-> a = 0 ) )
43		simp3 993	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 < R )
44	43	gt0ne0d 10106	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> R =/= 0 )
45	44	neneqd 2662	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> -. R = 0 )
46	45	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. R = 0 )
47		0xr 9629	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
48		xrltle 11344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
49	47, 23, 48	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( 0 < R -> 0 <_ R ) )
50	43, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> 0 <_ R )
51	50	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ R )
52		breq1 4443	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( a <_ R <-> 0 <_ R ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a = 0 -> a <_ R ) )
54	53	con3dimp 441	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> -. a = 0 )
55	46, 54	2falsed 351	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. a <_ R ) -> ( R = 0 <-> a = 0 ) )
56	39, 41, 42, 55	ifbothda 3967	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) = 0 <-> a = 0 ) )
57	37, 56	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = 0 <-> a = 0 ) )
58		elxrge0 11618	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( a e. RR* /\ 0 <_ a ) )
59	58	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> a e. RR* )
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> a e. RR* )
61	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R e. RR* )
62		xrmin1 11367	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ a )
64		ifcl 3974	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
65	60, 61, 64	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) e. RR* )
66		elxrge0 11618	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( b e. RR* /\ 0 <_ b ) )
67	66	simplbi 460	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> b e. RR* )
68	67	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> b e. RR* )
69		xrletr 11350	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
70	65, 60, 68, 69	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( if ( a <_ R , a , R ) <_ a /\ a <_ b ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
71	63, 70	mpand 675	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ b ) )
72		xrmin2 11368	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
73	60, 61, 72	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( a <_ R , a , R ) <_ R )
74	71, 73	jctird 544	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
75		xrlemin 11374	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ R , a , R ) e. RR* /\ b e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
76	65, 68, 61, 75	syl3anc 1223	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) <-> ( if ( a <_ R , a , R ) <_ b /\ if ( a <_ R , a , R ) <_ R ) ) )
77	74, 76	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
78	36	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) = if ( a <_ R , a , R ) )
79		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> b e. ( 0 [,] +oo ) )
80		vex 3109	. . . . . . 7 |- b e. _V
81		ifexg 4002	. . . . . . 7 |- ( ( b e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
82	80, 23, 81	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. _V )
83		breq1 4443	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> ( z <_ R <-> b <_ R ) )
84		id 22	. . . . . . . 8 |- ( z = b -> z = b )
85	83, 84	ifbieq1d 3955	. . . . . . 7 |- ( z = b -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( b <_ R , b , R ) )
86	85, 26	fvmptg 5939	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( b <_ R , b , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
87	79, 82, 86	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) = if ( b <_ R , b , R ) )
88	78, 87	breq12d 4453	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) <-> if ( a <_ R , a , R ) <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
89	77, 88	sylibrd 234	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a <_ b -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) <_ ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
90	60, 68	xaddcld 11482	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e b ) e. RR* )
91		xrmin1 11367	. . . . . . 7 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
92	90, 61, 91	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) )
93		ifcl 3974	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
94	90, 61, 93	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. RR* )
95	60, 61	xaddcld 11482	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( a +e R ) e. RR* )
96		xrmin2 11368	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a +e b ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
97	90, 61, 96	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ R )
98		xaddid2 11428	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR* -> ( 0 +e R ) = R )
99	61, 98	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) = R )
100	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 e. RR* )
101	58	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
102	101	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ a )
103		xleadd1a 11434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ a ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
104	100, 60, 61, 102, 103	syl31anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( 0 +e R ) <_ ( a +e R ) )
105	99, 104	eqbrtrrd 4462	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( a +e R ) )
106	94, 61, 95, 97, 105	xrletrd 11354	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) )
107		oveq2 6283	. . . . . . . 8 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e b ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
108	107	breq2d 4452	. . . . . . 7 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
109		oveq2 6283	. . . . . . . 8 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( a +e R ) = ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
110	109	breq2d 4452	. . . . . . 7 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
111	108, 110	ifboth 3968	. . . . . 6 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e b ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e R ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
112	92, 106, 111	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
113		ifcl 3974	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
114	68, 61, 113	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( b <_ R , b , R ) e. RR* )
115	61, 114	xaddcld 11482	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) e. RR* )
116		xaddid1 11427	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR* -> ( R +e 0 ) = R )
117	61, 116	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) = R )
118	66	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ b )
119	118	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ b )
120	50	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ R )
121		breq2 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( b = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ b <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
122		breq2 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( R = if ( b <_ R , b , R ) -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) )
123	121, 122	ifboth 3968	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ b /\ 0 <_ R ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
124	119, 120, 123	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) )
125		xleadd2a 11435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ if ( b <_ R , b , R ) e. RR* /\ R e. RR* ) /\ 0 <_ if ( b <_ R , b , R ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
126	100, 114, 61, 124, 125	syl31anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( R +e 0 ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
127	117, 126	eqbrtrrd 4462	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> R <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
128	94, 61, 115, 97, 127	xrletrd 11354	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
129		oveq1 6282	. . . . . . 7 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
130	129	breq2d 4452	. . . . . 6 |- ( a = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
131		oveq1 6282	. . . . . . 7 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
132	131	breq2d 4452	. . . . . 6 |- ( R = if ( a <_ R , a , R ) -> ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) <-> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) )
133	130, 132	ifboth 3968	. . . . 5 |- ( ( if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( a +e if ( b <_ R , b , R ) ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( R +e if ( b <_ R , b , R ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
134	112, 128, 133	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) <_ ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
135		ge0xaddcl 11623	. . . . 5 |- ( ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
136		ovex 6300	. . . . . 6 |- ( a +e b ) e. _V
137		ifexg 4002	. . . . . 6 |- ( ( ( a +e b ) e. _V /\ R e. RR* ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
138	136, 23, 137	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V )
139		breq1 4443	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> ( z <_ R <-> ( a +e b ) <_ R ) )
140		id 22	. . . . . . 7 |- ( z = ( a +e b ) -> z = ( a +e b ) )
141	139, 140	ifbieq1d 3955	. . . . . 6 |- ( z = ( a +e b ) -> if ( z <_ R , z , R ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
142	141, 26	fvmptg 5939	. . . . 5 |- ( ( ( a +e b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
143	135, 138, 142	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) = if ( ( a +e b ) <_ R , ( a +e b ) , R ) )
144	78, 87	oveq12d 6293	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) = ( if ( a <_ R , a , R ) +e if ( b <_ R , b , R ) ) )
145	134, 143, 144	3brtr4d 4470	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) /\ ( a e. ( 0 [,] +oo ) /\ b e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` ( a +e b ) ) <_ ( ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` a ) +e ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) ` b ) ) )
146	1, 27, 57, 89, 145	comet 20744	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> ( ( z e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( z <_ R , z , R ) ) o. C ) e. ( *Met ` X ) )
147	20, 146	eqeltrrd 2549	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ifcif 3932   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   X. cxp 4990   o. ccom 4996   Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   |-> cmpt2 6277   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   +ecxad 11305   [,]cicc 11521   *Metcxmt 18167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-2 10583  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-xmet 18176

This theorem is referenced by:  stdbdmet  20747  stdbdbl  20748  stdbdmopn  20749