Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Unicode version

Theorem stdbdmopn 20866
 Description: The standard bounded metric corresponding to generates the same topology as . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1
stdbdmopn.2
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 11237 . . . . . . . 8
21ad2antll 728 . . . . . . 7
3 simpl2 1000 . . . . . . 7
4 ifcl 3986 . . . . . . 7
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . 6
6 rpre 11236 . . . . . . 7
76ad2antll 728 . . . . . 6
8 rpgt0 11241 . . . . . . . . 9
98ad2antll 728 . . . . . . . 8
10 simpl3 1001 . . . . . . . 8
11 breq2 4456 . . . . . . . . 9
12 breq2 4456 . . . . . . . . 9
1311, 12ifboth 3980 . . . . . . . 8
149, 10, 13syl2anc 661 . . . . . . 7
15 0xr 9650 . . . . . . . 8
16 xrltle 11365 . . . . . . . 8
1715, 5, 16sylancr 663 . . . . . . 7
1814, 17mpd 15 . . . . . 6
19 xrmin1 11388 . . . . . . 7
202, 3, 19syl2anc 661 . . . . . 6
21 xrrege0 11385 . . . . . 6
225, 7, 18, 20, 21syl22anc 1229 . . . . 5
2322, 14elrpd 11264 . . . 4
24 simprl 755 . . . . . . 7
25 xrmin2 11389 . . . . . . . 8
262, 3, 25syl2anc 661 . . . . . . 7
2724, 5, 263jca 1176 . . . . . 6
28 stdbdmet.1 . . . . . . 7
2928stdbdbl 20865 . . . . . 6
3027, 29syldan 470 . . . . 5
3130eqcomd 2475 . . . 4
32 breq1 4455 . . . . . 6
33 oveq2 6302 . . . . . . 7
34 oveq2 6302 . . . . . . 7
3533, 34eqeq12d 2489 . . . . . 6
3632, 35anbi12d 710 . . . . 5
3736rspcev 3219 . . . 4
3823, 20, 31, 37syl12anc 1226 . . 3
3938ralrimivva 2888 . 2
40 simp1 996 . . 3
4128stdbdxmet 20863 . . 3
42 stdbdmopn.2 . . . 4
43 eqid 2467 . . . 4
4442, 43metequiv2 20858 . . 3
4540, 41, 44syl2anc 661 . 2
4639, 45mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cif 3944   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6294   cmpt2 6296  cr 9501  cc0 9502  cxr 9637   clt 9638   cle 9639  crp 11230  cxmt 18250  cbl 18252  cmopn 18255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-icc 11546  df-topgen 14711  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-bases 19247 This theorem is referenced by:  mopnex  20867  xlebnum  21310
 Copyright terms: Public domain W3C validator