MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Unicode version

Theorem stdbdmet 20113
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdmet  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 11019 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 11023 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
54stdbdxmet 20112 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
653expb 1188 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
73, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 xmetcl 19928 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 ifcl 3852 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR* )
14 rpre 11018 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 19941 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 11024 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 breq2 4317 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  =  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  -> 
( 0  <_  (
x C y )  <->  0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) ) )
22 breq2 4317 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
2321, 22ifboth 3846 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
2418, 20, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
25 xrmin2 11171 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  <_  R )
27 xrrege0 11167 . . . . 5  |-  ( ( ( if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R )  /\  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  <_  R ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
2928ralrimivva 2829 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
304fmpt2 6662 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 196 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 19930 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 664 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   ifcif 3812   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   RRcr 9302   0cc0 9303   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   RR+crp 11012   *Metcxmt 17823   Metcme 17824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-2 10401  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-icc 11328  df-xmet 17832  df-met 17833
This theorem is referenced by:  mopnex  20116  xlebnum  20559
  Copyright terms: Public domain W3C validator