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Theorem stdbdbl 20092
Description: The standard bounded metric corresponding to  C generates the same balls as  C for radii less than  R. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdbl  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  ( P ( ball `  C ) S ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, P, y    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem stdbdbl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
2 simpr1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  P  e.  X )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  P  e.  X )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5 stdbdmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
65stdbdmetval 20089 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  =  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R ) )
71, 3, 4, 6syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  =  if ( ( P C z )  <_  R , 
( P C z ) ,  R ) )
87breq1d 4302 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P D z )  <  S  <->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <  S )
)
9 simplr3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  S  <_  R )
109biantrud 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  ( P C z )  <->  ( S  <_  ( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
11 simpr2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  S  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
13 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
15 xmetcl 19906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P C z )  e. 
RR* )
1614, 3, 4, 15syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( P C z )  e.  RR* )
17 xrlemin 11156 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( P C z )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  <->  ( S  <_  ( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
1812, 16, 1, 17syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <->  ( S  <_ 
( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
1910, 18bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  ( P C z )  <->  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2019notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  S  <_ 
( P C z )  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
21 xrltnle 9443 . . . . . 6  |-  ( ( ( P C z )  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( P C z )  <  S  <->  -.  S  <_  ( P C z ) ) )
2216, 12, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P C z )  <  S  <->  -.  S  <_  ( P C z ) ) )
23 ifcl 3831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P C z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  e.  RR* )
2416, 1, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  e.  RR* )
25 xrltnle 9443 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  < 
S  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2624, 12, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  < 
S  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2720, 22, 263bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P C z )  <  S  <->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <  S )
)
288, 27bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P D z )  <  S  <->  ( P C z )  <  S ) )
2928rabbidva 2963 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <  S }  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  <  S } )
305stdbdxmet 20090 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
32 blval 19961 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) S )  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  < 
S } )
3331, 2, 11, 32syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <  S } )
34 blval 19961 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) S )  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  < 
S } )
3513, 2, 11, 34syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  C
) S )  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  <  S } )
3629, 33, 353eqtr4d 2485 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  ( P ( ball `  C ) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   ifcif 3791   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   0cc0 9282   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-icc 11307  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-bl 17812
This theorem is referenced by:  stdbdmopn  20093  xlebnum  20537
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