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Theorem stdbdbl 20752
Description: The standard bounded metric corresponding to  C generates the same balls as  C for radii less than  R. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdbl  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  ( P ( ball `  C ) S ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, P, y    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem stdbdbl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
2 simpr1 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  P  e.  X )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  P  e.  X )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5 stdbdmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
65stdbdmetval 20749 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  =  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R ) )
71, 3, 4, 6syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  =  if ( ( P C z )  <_  R , 
( P C z ) ,  R ) )
87breq1d 4457 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P D z )  <  S  <->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <  S )
)
9 simplr3 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  S  <_  R )
109biantrud 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  ( P C z )  <->  ( S  <_  ( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
11 simpr2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  S  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
13 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
15 xmetcl 20566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P C z )  e. 
RR* )
1614, 3, 4, 15syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( P C z )  e.  RR* )
17 xrlemin 11381 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( P C z )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  <->  ( S  <_  ( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
1812, 16, 1, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <->  ( S  <_ 
( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
1910, 18bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  ( P C z )  <->  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2019notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  S  <_ 
( P C z )  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
21 xrltnle 9649 . . . . . 6  |-  ( ( ( P C z )  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( P C z )  <  S  <->  -.  S  <_  ( P C z ) ) )
2216, 12, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P C z )  <  S  <->  -.  S  <_  ( P C z ) ) )
23 ifcl 3981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P C z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  e.  RR* )
2416, 1, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  e.  RR* )
25 xrltnle 9649 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  < 
S  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2624, 12, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  < 
S  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2720, 22, 263bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P C z )  <  S  <->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <  S )
)
288, 27bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P D z )  <  S  <->  ( P C z )  <  S ) )
2928rabbidva 3104 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <  S }  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  <  S } )
305stdbdxmet 20750 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
32 blval 20621 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) S )  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  < 
S } )
3331, 2, 11, 32syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <  S } )
34 blval 20621 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) S )  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  < 
S } )
3513, 2, 11, 34syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  C
) S )  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  <  S } )
3629, 33, 353eqtr4d 2518 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  ( P ( ball `  C ) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   0cc0 9488   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   *Metcxmt 18171   ballcbl 18173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-bl 18182
This theorem is referenced by:  stdbdmopn  20753  xlebnum  21197
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