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Theorem stdbdbl 21312
Description: The standard bounded metric corresponding to  C generates the same balls as  C for radii less than  R. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdbl  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  ( P ( ball `  C ) S ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, P, y    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem stdbdbl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
2 simpr1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  P  e.  X )
32adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  P  e.  X )
4 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5 stdbdmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
65stdbdmetval 21309 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  =  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R ) )
71, 3, 4, 6syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  =  if ( ( P C z )  <_  R , 
( P C z ) ,  R ) )
87breq1d 4405 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P D z )  <  S  <->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <  S )
)
9 simplr3 1041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  S  <_  R )
109biantrud 505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  ( P C z )  <->  ( S  <_  ( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
11 simpr2 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  S  e.  RR* )
1211adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  S  e.  RR* )
13 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
1413adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
15 xmetcl 21126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P C z )  e. 
RR* )
1614, 3, 4, 15syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( P C z )  e.  RR* )
17 xrlemin 11438 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( P C z )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  <->  ( S  <_  ( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
1812, 16, 1, 17syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <->  ( S  <_ 
( P C z )  /\  S  <_  R ) ) )
1910, 18bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( S  <_  ( P C z )  <->  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2019notbid 292 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  S  <_ 
( P C z )  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
21 xrltnle 9683 . . . . . 6  |-  ( ( ( P C z )  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( P C z )  <  S  <->  -.  S  <_  ( P C z ) ) )
2216, 12, 21syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P C z )  <  S  <->  -.  S  <_  ( P C z ) ) )
2316, 1ifcld 3928 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  e.  RR* )
24 xrltnle 9683 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  < 
S  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2523, 12, 24syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R )  < 
S  <->  -.  S  <_  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
) ) )
2620, 22, 253bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P C z )  <  S  <->  if ( ( P C z )  <_  R ,  ( P C z ) ,  R
)  <  S )
)
278, 26bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  < 
R )  /\  ( P  e.  X  /\  S  e.  RR*  /\  S  <_  R ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( ( P D z )  <  S  <->  ( P C z )  <  S ) )
2827rabbidva 3050 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <  S }  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  <  S } )
295stdbdxmet 21310 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
3029adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
31 blval 21181 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) S )  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  < 
S } )
3230, 2, 11, 31syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <  S } )
33 blval 21181 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) S )  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  < 
S } )
3413, 2, 11, 33syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  C
) S )  =  { z  e.  X  |  ( P C z )  <  S } )
3528, 32, 343eqtr4d 2453 1  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( P  e.  X  /\  S  e. 
RR*  /\  S  <_  R ) )  ->  ( P ( ball `  D
) S )  =  ( P ( ball `  C ) S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   ifcif 3885   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   0cc0 9522   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-bl 18734
This theorem is referenced by:  stdbdmopn  21313  xlebnum  21757
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