Theorem stcltr2i 11847

Description: Property of a strong classical state.

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	|- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x C_ y)))
stcltr1.2	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
stcltr2i	|- (ph -> ((S` A) = 1 -> A = ~H))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,S,y

Proof of Theorem stcltr2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . 4 |- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x C_ y)))
2		helch 10749	. . . 4 |- ~H e. CH
3		stcltr1.2	. . . 4 |- A e. CH
4	1, 2, 3	stcltr1i 11846	. . 3 |- (ph -> (((S` ~H) = 1 -> (S` A) = 1) -> ~H C_ A))
5		ax-1 4	. . 3 |- ((S` A) = 1 -> ((S` ~H) = 1 -> (S` A) = 1))
6	4, 5	syl5 20	. 2 |- (ph -> ((S` A) = 1 -> ~H C_ A))
7		eqss 2631	. . 3 |- (A = ~H <-> (A C_ ~H /\ ~H C_ A))
8	3	chssii 10734	. . 3 |- A C_ ~H
9	7, 8	mpbiran 798	. 2 |- (A = ~H <-> ~H C_ A)
10	6, 9	syl6ibr 230	1 |- (ph -> ((S` A) = 1 -> A = ~H))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  ` cfv 3998  1c1 6387  ~Hchil 10420  CHcch 10430  Statescst 10463

This theorem is referenced by:  stcltrlem1 11848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725

Copyright terms: Public domain