Theorem stcl 11788

Description: Real closure of the value of a state.

Assertion

Ref	Expression
stcl	|- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))

Proof of Theorem stcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 4787	. . 3 |- ((S:CH-->RR /\ A e. CH) -> (S` A) e. RR)
2		stel 11786	. . . . 5 |- (S e. States <-> ((S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)) /\ ((S` ~H) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x C_ (_|_` y) -> (S` (x vH y)) = ((S` x) + (S` y))))))
3	2	simplbi 349	. . . 4 |- (S e. States -> (S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)))
4	3	simplld 348	. . 3 |- (S e. States -> S:CH-->RR)
5	1, 4	sylan 497	. 2 |- ((S e. States /\ A e. CH) -> (S` A) e. RR)
6	5	ex 402	1 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ~Hchil 10420  CHcch 10430  _|_cort 10431   vH chj 10434  Statescst 10463

This theorem is referenced by:  sto2i 11809  stge1i 11810  stle0i 11811  stlei 11812  stlesi 11813  staddi 11818  stadd3i 11820  strlem6 11828  golem1 11843  stcltrlem1 11848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-sh 10709  df-ch 10725  df-st 11784

Copyright terms: Public domain