HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcl Structured version   Unicode version

Theorem stcl 27336
Description: Real closure of the value of a state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
stcl  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem stcl
StepHypRef Expression
1 sticl 27335 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2 unitssre 11670 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
32sseli 3485 . 2  |-  ( ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
41, 3syl6 33 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   [,]cicc 11535   CHcch 26047   Statescst 26080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-hilex 26117
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-icc 11539  df-sh 26325  df-ch 26340  df-st 27331
This theorem is referenced by:  sto2i  27357  stge1i  27358  stle0i  27359  stlei  27360  stlesi  27361  staddi  27366  stadd3i  27368  strlem6  27376  golem1  27391  stcltrlem1  27396
  Copyright terms: Public domain W3C validator