Theorem stb3val3 16741

Description: Value of a 3-member constructed structure.

Hypotheses

Ref	Expression
stb3cl.1	|- A e. _V
stb3cl.2	|- B e. _V
stb3cl.c	|- C e. _V
stb3cl.3	|- (ph <-> ((f` 1) = A /\ (f` 2) = B /\ (f` 3) = C))
stb3cl.4	|- F = StrBldr(3, f, ph)

Assertion

Ref	Expression
stb3val3	|- (F` 3) = C

Distinct variable groups:   A,f   B,f   C,f

Proof of Theorem stb3val3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 7184	. 2 |- 3 e. NN
2		3re 7165	. . 3 |- 3 e. RR
3	2	leidi 6790	. 2 |- 3 <_ 3
4		stb3cl.1	. . . 4 |- A e. _V
5		stb3cl.2	. . . . 5 |- B e. _V
6		stb3cl.c	. . . . 5 |- C e. _V
7	5, 6	ifex 3031	. . . 4 |- if(m = 2, B, C) e. _V
8	4, 7	ifex 3031	. . 3 |- if(m = 1, A, if(m = 2, B, C)) e. _V
9		stb3cl.3	. . . 4 |- (ph <-> ((f` 1) = A /\ (f` 2) = B /\ (f` 3) = C))
10		fztpval 7688	. . . 4 |- (A.m e. (1...3)(f` m) = if(m = 1, A, if(m = 2, B, C)) <-> ((f` 1) = A /\ (f` 2) = B /\ (f` 3) = C))
11	9, 10	bitr4i 193	. . 3 |- (ph <-> A.m e. (1...3)(f` m) = if(m = 1, A, if(m = 2, B, C)))
12		stb3cl.4	. . 3 |- F = StrBldr(3, f, ph)
13		1lt3 7214	. . . . . . . 8 |- 1 < 3
14		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
15	14, 2	ltnei 6758	. . . . . . . 8 |- (1 < 3 -> 3 =/= 1)
16	13, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 3 =/= 1
17		pm13.181 2086	. . . . . . 7 |- ((m = 3 /\ 3 =/= 1) -> m =/= 1)
18	16, 17	mpan2 760	. . . . . 6 |- (m = 3 -> m =/= 1)
19		df-ne 2019	. . . . . 6 |- (m =/= 1 <-> -. m = 1)
20	18, 19	sylib 215	. . . . 5 |- (m = 3 -> -. m = 1)
21		iffalse 2991	. . . . 5 |- (-. m = 1 -> if(m = 1, A, if(m = 2, B, C)) = if(m = 2, B, C))
22	20, 21	syl 12	. . . 4 |- (m = 3 -> if(m = 1, A, if(m = 2, B, C)) = if(m = 2, B, C))
23		2lt3 7213	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
24		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
25	24, 2	ltnei 6758	. . . . . . . 8 |- (2 < 3 -> 3 =/= 2)
26	23, 25	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
27		pm13.181 2086	. . . . . . 7 |- ((m = 3 /\ 3 =/= 2) -> m =/= 2)
28	26, 27	mpan2 760	. . . . . 6 |- (m = 3 -> m =/= 2)
29		df-ne 2019	. . . . . 6 |- (m =/= 2 <-> -. m = 2)
30	28, 29	sylib 215	. . . . 5 |- (m = 3 -> -. m = 2)
31		iffalse 2991	. . . . 5 |- (-. m = 2 -> if(m = 2, B, C) = C)
32	30, 31	syl 12	. . . 4 |- (m = 3 -> if(m = 2, B, C) = C)
33	22, 32	eqtrd 1925	. . 3 |- (m = 3 -> if(m = 1, A, if(m = 2, B, C)) = C)
34	8, 11, 12, 33	stbval 16731	. 2 |- ((3 e. NN /\ 3 e. NN /\ 3 <_ 3) -> (F` 3) = C)
35	1, 1, 3, 34	mp3an 1191	1 |- (F` 3) = C

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292  ifcif 2982   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  3c3 7146  ...cfz 7637  StrBldrccstr 16724

This theorem is referenced by:  stb3xpl 16743  stb3v3 16753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-struct 16708  df-strbldr 16725

Copyright terms: Public domain