HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem staddi 11818
Description: If the sum of 2 states is 2, then each state is 1.
Hypotheses
Ref Expression
stle.1 |- A e. CH
stle.2 |- B e. CH
Assertion
Ref Expression
staddi |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> (S` A) = 1))
Proof of Theorem staddi
StepHypRef Expression
1 2re 7163 . . . . . . 7 |- 2 e. RR
2 ltne 6686 . . . . . . 7 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ 2 e. RR /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> 2 =/= ((S` A) + (S` B)))
31, 2mp3an2 1179 . . . . . 6 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> 2 =/= ((S` A) + (S` B)))
43necomd 2095 . . . . 5 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> ((S` A) + (S` B)) =/= 2)
5 stle.1 . . . . . . 7 |- A e. CH
6 stcl 11788 . . . . . . 7 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))
75, 6mpi 55 . . . . . 6 |- (S e. States -> (S` A) e. RR)
8 stle.2 . . . . . . 7 |- B e. CH
9 stcl 11788 . . . . . . 7 |- (S e. States -> (B e. CH -> (S` B) e. RR))
108, 9mpi 55 . . . . . 6 |- (S e. States -> (S` B) e. RR)
11 readdcl 6455 . . . . . 6 |- (((S` A) e. RR /\ (S` B) e. RR) -> ((S` A) + (S` B)) e. RR)
127, 10, 11syl11anc 524 . . . . 5 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` B)) e. RR)
134, 12sylan 497 . . . 4 |- ((S e. States /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> ((S` A) + (S` B)) =/= 2)
1413ex 402 . . 3 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) < 2 -> ((S` A) + (S` B)) =/= 2))
1514necon2bd 2057 . 2 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> -. ((S` A) + (S` B)) < 2))
16 stle1 11797 . . . . . . . . 9 |- (S e. States -> (B e. CH -> (S` B) <_ 1))
178, 16mpi 55 . . . . . . . 8 |- (S e. States -> (S` B) <_ 1)
18 1re 6598 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
1918a1i 8 . . . . . . . . 9 |- (S e. States -> 1 e. RR)
20 leadd2 6809 . . . . . . . . 9 |- (((S` B) e. RR /\ 1 e. RR /\ (S` A) e. RR) -> ((S` B) <_ 1 <-> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1)))
2110, 19, 7, 20syl111anc 1100 . . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((S` B) <_ 1 <-> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1)))
2217, 21mpbid 212 . . . . . . 7 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1))
2322adantr 425 . . . . . 6 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1))
24 ltadd1 6806 . . . . . . . . 9 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) < 1 <-> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
2524biimpd 170 . . . . . . . 8 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
267, 19, 19, 25syl111anc 1100 . . . . . . 7 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
2726imp 377 . . . . . 6 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + 1) < (1 + 1))
287, 18jctir 317 . . . . . . . . 9 |- (S e. States -> ((S` A) e. RR /\ 1 e. RR))
29 readdcl 6455 . . . . . . . . 9 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) + 1) e. RR)
3028, 29syl 12 . . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((S` A) + 1) e. RR)
3118, 18readdcli 6487 . . . . . . . . 9 |- (1 + 1) e. RR
3231a1i 8 . . . . . . . 8 |- (S e. States -> (1 + 1) e. RR)
33 lelttr 6693 . . . . . . . 8 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + 1) e. RR /\ (1 + 1) e. RR) -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
3412, 30, 32, 33syl111anc 1100 . . . . . . 7 |- (S e. States -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
3534adantr 425 . . . . . 6 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
3623, 27, 35mp2and 767 . . . . 5 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1))
37 df-2 7154 . . . . 5 |- 2 = (1 + 1)
3836, 37syl6breqr 3377 . . . 4 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) < 2)
3938ex 402 . . 3 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + (S` B)) < 2))
4039con3d 111 . 2 |- (S e. States -> (-. ((S` A) + (S` B)) < 2 -> -. (S` A) < 1))
41 stle1 11797 . . . . 5 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) <_ 1))
425, 41mpi 55 . . . 4 |- (S e. States -> (S` A) <_ 1)
43 leloe 6688 . . . . 5 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) <_ 1 <-> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1)))
4428, 43syl 12 . . . 4 |- (S e. States -> ((S` A) <_ 1 <-> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1)))
4542, 44mpbid 212 . . 3 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1))
4645ord 249 . 2 |- (S e. States -> (-. (S` A) < 1 -> (S` A) = 1))
4715, 40, 463syld 31 1 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> (S` A) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  CHcch 10430  Statescst 10463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-2 7154  df-sh 10709  df-ch 10725  df-st 11784
Copyright terms: Public domain