Theorem stadd 5687

Description: If the sum of 2 states is 2, then each state is 1.

Hypotheses

Ref	Expression
stle.1	|- A e. CH
stle.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
stadd	|- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> (S` A) = 1))

Proof of Theorem stadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddrcl 4067	. . . . . 6 |- (((S` A) e. RR /\ (S` B) e. RR) -> ((S` A) + (S` B)) e. RR)
2		stle.1	. . . . . . 7 |- A e. CH
3		stclt 5672	. . . . . . 7 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))
4	2, 3	mpi 44	. . . . . 6 |- (S e. States -> (S` A) e. RR)
5		stle.2	. . . . . . 7 |- B e. CH
6		stclt 5672	. . . . . . 7 |- (S e. States -> (B e. CH -> (S` B) e. RR))
7	5, 6	mpi 44	. . . . . 6 |- (S e. States -> (S` B) e. RR)
8	1, 4, 7	sylanc 361	. . . . 5 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` B)) e. RR)
9		2re 4470	. . . . 5 |- 2 e. RR
10	8, 9	jctir 241	. . . 4 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) e. RR /\ 2 e. RR))
11		ltnet 4282	. . . 4 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ 2 e. RR) -> (((S` A) + (S` B)) < 2 -> -. ((S` A) + (S` B)) = 2))
12	10, 11	syl 12	. . 3 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) < 2 -> -. ((S` A) + (S` B)) = 2))
13	12	con2d 83	. 2 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> -. ((S` A) + (S` B)) < 2))
14		stle1t 5674	. . . . . . . . . 10 |- (S e. States -> (B e. CH -> (S` B) <_ 1))
15	5, 14	mpi 44	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> (S` B) <_ 1)
16		leadd2t 4351	. . . . . . . . . 10 |- (((S` B) e. RR /\ 1 e. RR /\ (S` A) e. RR) -> ((S` B) <_ 1 <-> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1)))
17		ax1re 4064	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
18	17	a1i 7	. . . . . . . . . 10 |- (S e. States -> 1 e. RR)
19	16, 7, 18, 4	syl3anc 629	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> ((S` B) <_ 1 <-> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1)))
20	15, 19	mpbid 170	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1))
21	20	adantr 306	. . . . . . 7 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1))
22		ltadd1t 4348	. . . . . . . . . 10 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) < 1 <-> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
23	22	biimpd 135	. . . . . . . . 9 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
24	23, 4, 18, 18	syl3anc 629	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
25	24	imp 277	. . . . . . 7 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + 1) < (1 + 1))
26		lelttrt 4289	. . . . . . . . 9 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + 1) e. RR /\ (1 + 1) e. RR) -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
27	4, 17	jctir 241	. . . . . . . . . 10 |- (S e. States -> ((S` A) e. RR /\ 1 e. RR))
28		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . 10 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) + 1) e. RR)
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> ((S` A) + 1) e. RR)
30	17, 17	readdcl 4118	. . . . . . . . . 10 |- (1 + 1) e. RR
31	30	a1i 7	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> (1 + 1) e. RR)
32	26, 8, 29, 31	syl3anc 629	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
33	32	adantr 306	. . . . . . 7 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
34	21, 25, 33	mp2and 526	. . . . . 6 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1))
35		df-2 4462	. . . . . . 7 |- 2 = (1 + 1)
36	35	cleqcomi 1105	. . . . . 6 |- (1 + 1) = 2
37	34, 36	syl6breq 2093	. . . . 5 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) < 2)
38	37	exp 291	. . . 4 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + (S` B)) < 2))
39	38	con3d 87	. . 3 |- (S e. States -> (-. ((S` A) + (S` B)) < 2 -> -. (S` A) < 1))
40		stle1t 5674	. . . . . 6 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) <_ 1))
41	2, 40	mpi 44	. . . . 5 |- (S e. States -> (S` A) <_ 1)
42		leloet 4284	. . . . . 6 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) <_ 1 <-> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1)))
43	27, 42	syl 12	. . . . 5 |- (S e. States -> ((S` A) <_ 1 <-> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1)))
44	41, 43	mpbid 170	. . . 4 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1))
45	44	ord 202	. . 3 |- (S e. States -> (-. (S` A) < 1 -> (S` A) = 1))
46	39, 45	syld 27	. 2 |- (S e. States -> (-. ((S` A) + (S` B)) < 2 -> (S` A) = 1))
47	13, 46	syld 27	1 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> (S` A) = 1))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   <_ cle 4092  2c2 4454  CHcch 4968  Statescst 4979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-2 4462  df-sh 5114  df-ch 5127  df-st 5670

metamath.org