MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sszcld Unicode version

Theorem sszcld 18801
Description: Every subset of the integers are closed in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
sszcld  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem sszcld
StepHypRef Expression
1 recld2.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21zcld2 18799 . 2  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )
3 id 20 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  C_  ZZ )
4 difss 3434 . . . . . 6  |-  ( ZZ 
\  A )  C_  ZZ
5 zex 10247 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
65elpw2 4324 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  A )  e.  ~P ZZ  <->  ( ZZ  \  A )  C_  ZZ )
74, 6mpbir 201 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  A )  e. 
~P ZZ
81zdis 18800 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
97, 8eleqtrri 2477 . . . 4  |-  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ )
109a1i 11 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ ) )
111cnfldtopon 18770 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
12 zsscn 10246 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
13 resttopon 17179 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ZZ  C_  CC )  ->  ( Jt  ZZ )  e.  (TopOn `  ZZ ) )
1411, 12, 13mp2an 654 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  (TopOn `  ZZ )
1514topontopi 16951 . . . 4  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
1614toponunii 16952 . . . . 5  |-  ZZ  =  U. ( Jt  ZZ )
1716iscld 17046 . . . 4  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  ZZ ) )  <->  ( A  C_  ZZ  /\  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ ) ) ) )
1815, 17ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  ( Jt  ZZ ) )  <->  ( A  C_  ZZ  /\  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ ) ) )
193, 10, 18sylanbrc 646 . 2  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Jt  ZZ ) ) )
20 restcldr 17192 . 2  |-  ( ( ZZ  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  ( Clsd `  ( Jt  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J ) )
212, 19, 20sylancr 645 1  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ZZcz 10238   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035
This theorem is referenced by:  lgamucov  24775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-xms 18303  df-ms 18304
  Copyright terms: Public domain W3C validator