MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sszcld Structured version   Unicode version

Theorem sszcld 20512
Description: Every subset of the integers are closed in the topology on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
sszcld  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem sszcld
StepHypRef Expression
1 recld2.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21zcld2 20510 . 2  |-  ZZ  e.  ( Clsd `  J )
3 id 22 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  C_  ZZ )
4 difss 3583 . . . . . 6  |-  ( ZZ 
\  A )  C_  ZZ
5 zex 10758 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
65elpw2 4556 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  A )  e.  ~P ZZ  <->  ( ZZ  \  A )  C_  ZZ )
74, 6mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  A )  e. 
~P ZZ
81zdis 20511 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  =  ~P ZZ
97, 8eleqtrri 2538 . . . 4  |-  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ )
109a1i 11 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ ) )
111cnfldtopon 20480 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
12 zsscn 10757 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
13 resttopon 18883 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ZZ  C_  CC )  ->  ( Jt  ZZ )  e.  (TopOn `  ZZ ) )
1411, 12, 13mp2an 672 . . . . 5  |-  ( Jt  ZZ )  e.  (TopOn `  ZZ )
1514topontopi 18654 . . . 4  |-  ( Jt  ZZ )  e.  Top
1614toponunii 18655 . . . . 5  |-  ZZ  =  U. ( Jt  ZZ )
1716iscld 18749 . . . 4  |-  ( ( Jt  ZZ )  e.  Top  ->  ( A  e.  (
Clsd `  ( Jt  ZZ ) )  <->  ( A  C_  ZZ  /\  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ ) ) ) )
1815, 17ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  ( Clsd `  ( Jt  ZZ ) )  <->  ( A  C_  ZZ  /\  ( ZZ 
\  A )  e.  ( Jt  ZZ ) ) )
193, 10, 18sylanbrc 664 . 2  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  e.  ( Clsd `  ( Jt  ZZ ) ) )
20 restcldr 18896 . 2  |-  ( ( ZZ  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  ( Clsd `  ( Jt  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J ) )
212, 19, 20sylancr 663 1  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3425    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   ZZcz 10749   ↾t crest 14463   TopOpenctopn 14464  ℂfldccnfld 17929   Topctop 18616  TopOnctopon 18617   Clsdccld 18738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-fz 11541  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-rest 14465  df-topn 14466  df-topgen 14486  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-xms 20013  df-ms 20014
This theorem is referenced by:  lgamucov  27160
  Copyright terms: Public domain W3C validator