Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssuzfz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ssuzfz 37582
Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssuzfz.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ssuzfz.2  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
ssuzfz.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ssuzfz  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )

Proof of Theorem ssuzfz
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssuzfz.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21sselda 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
3 ssuzfz.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3syl6eleq 2541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 eluzel2 11171 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
7 uzssz 11185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
83, 7eqsstri 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  ZZ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  C_  ZZ )
101, 9sstrd 3444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
1110adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  C_  ZZ )
12 ne0i 3739 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
1312adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  =/=  (/) )
14 ssuzfz.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1514adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
16 suprfinzcl 11057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  A  e. 
Fin )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
1711, 13, 15, 16syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
1811, 17sseldd 3435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
1910sselda 3434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
206, 18, 193jca 1189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)
21 eluzle 11178 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  k )
224, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  <_  k )
23 zssre 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  RR )
2510, 24sstrd 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2625adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  C_  RR )
27 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
28 eqidd 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2926, 15, 27, 28supfirege 10605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3020, 22, 29jca32 538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\ 
sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) ) )
31 elfz2 11798 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) ) )
3230, 31sylibr 216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
3332ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) ) ) )
3433ralrimiv 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  k  e.  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
35 dfss3 3424 . 2  |-  ( A 
C_  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) )  <->  A. k  e.  A  k  e.  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
3634, 35sylibr 216 1  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739    C_ wss 3406   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   supcsup 7959   RRcr 9543    < clt 9680    <_ cle 9681   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  sge0isum  38279
  Copyright terms: Public domain W3C validator