Theorem ssuzfz 37582

Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssuzfz.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
ssuzfz.2	|- ( ph -> A C_ Z )
ssuzfz.3	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ssuzfz	|- ( ph -> A C_ ( M ... sup ( A , RR , < ) ) )

Proof of Theorem ssuzfz

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuzfz.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ Z )
2	1	sselda 3434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
3		ssuzfz.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	2, 3	syl6eleq 2541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzel2 11171	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> M e. ZZ )
7		uzssz 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
8	3, 7	eqsstri 3464	. . . . . . . . . . 11 |- Z C_ ZZ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z C_ ZZ )
10	1, 9	sstrd 3444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ ZZ )
11	10	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A C_ ZZ )
12		ne0i 3739	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> A =/= (/) )
13	12	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A =/= (/) )
14		ssuzfz.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A e. Fin )
16		suprfinzcl 11057	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
18	11, 17	sseldd 3435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> sup ( A , RR , < ) e. ZZ )
19	10	sselda 3434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ZZ )
20	6, 18, 19	3jca 1189	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( M e. ZZ /\ sup ( A , RR , < ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) )
21		eluzle 11178	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
22	4, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> M <_ k )
23		zssre 10951	. . . . . . . . . 10 |- ZZ C_ RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ZZ C_ RR )
25	10, 24	sstrd 3444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
26	25	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A C_ RR )
27		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
28		eqidd 2454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> sup ( A , RR , < ) = sup ( A , RR , < ) )
29	26, 15, 27, 28	supfirege 10605	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k <_ sup ( A , RR , < ) )
30	20, 22, 29	jca32 538	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( M e. ZZ /\ sup ( A , RR , < ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ sup ( A , RR , < ) ) ) )
31		elfz2 11798	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... sup ( A , RR , < ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ sup ( A , RR , < ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ sup ( A , RR , < ) ) ) )
32	30, 31	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. ( M ... sup ( A , RR , < ) ) )
33	32	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A -> k e. ( M ... sup ( A , RR , < ) ) ) )
34	33	ralrimiv 2802	. 2 |- ( ph -> A. k e. A k e. ( M ... sup ( A , RR , < ) ) )
35		dfss3 3424	. 2 |- ( A C_ ( M ... sup ( A , RR , < ) ) <-> A. k e. A k e. ( M ... sup ( A , RR , < ) ) )
36	34, 35	sylibr 216	1 |- ( ph -> A C_ ( M ... sup ( A , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   C_ wss 3406   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   supcsup 7959   RRcr 9543   < clt 9680   <_ cle 9681   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792

This theorem is referenced by:  sge0isum  38279