Theorem ssunsn2 4135

Description: The property of being sandwiched between two sets naturally splits under union with a singleton. This is the induction hypothesis for the determination of large powersets such as pwtp 4191. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssunsn2	|- ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )

Proof of Theorem ssunsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4120	. . . . 5 |- ( D e. A -> { D } C_ A )
2		unss 3633	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ { D } C_ A ) <-> ( B u. { D } ) C_ A )
3	2	bicomi 202	. . . . . 6 |- ( ( B u. { D } ) C_ A <-> ( B C_ A /\ { D } C_ A ) )
4	3	rbaibr 899	. . . . 5 |- ( { D } C_ A -> ( B C_ A <-> ( B u. { D } ) C_ A ) )
5	1, 4	syl 16	. . . 4 |- ( D e. A -> ( B C_ A <-> ( B u. { D } ) C_ A ) )
6	5	anbi1d 704	. . 3 |- ( D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )
7	2	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ { D } C_ A ) -> ( B u. { D } ) C_ A )
8	7	expcom 435	. . . . . 6 |- ( { D } C_ A -> ( B C_ A -> ( B u. { D } ) C_ A ) )
9	1, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( D e. A -> ( B C_ A -> ( B u. { D } ) C_ A ) )
10		ssun3 3624	. . . . . 6 |- ( A C_ C -> A C_ ( C u. { D } ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( D e. A -> ( A C_ C -> A C_ ( C u. { D } ) ) )
12	9, 11	anim12d 563	. . . 4 |- ( D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) -> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )
13		pm4.72 871	. . . 4 |- ( ( ( B C_ A /\ A C_ C ) -> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) <-> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
14	12, 13	sylib 196	. . 3 |- ( D e. A -> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
15	6, 14	bitrd 253	. 2 |- ( D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
16		disjsn 4039	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { D } ) = (/) <-> -. D e. A )
17		disj3 3826	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { D } ) = (/) <-> A = ( A \ { D } ) )
18	16, 17	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( -. D e. A <-> A = ( A \ { D } ) )
19		sseq1 3480	. . . . . 6 |- ( A = ( A \ { D } ) -> ( A C_ C <-> ( A \ { D } ) C_ C ) )
20	18, 19	sylbi 195	. . . . 5 |- ( -. D e. A -> ( A C_ C <-> ( A \ { D } ) C_ C ) )
21		uncom 3603	. . . . . . 7 |- ( { D } u. C ) = ( C u. { D } )
22	21	sseq2i 3484	. . . . . 6 |- ( A C_ ( { D } u. C ) <-> A C_ ( C u. { D } ) )
23		ssundif 3865	. . . . . 6 |- ( A C_ ( { D } u. C ) <-> ( A \ { D } ) C_ C )
24	22, 23	bitr3i 251	. . . . 5 |- ( A C_ ( C u. { D } ) <-> ( A \ { D } ) C_ C )
25	20, 24	syl6rbbr 264	. . . 4 |- ( -. D e. A -> ( A C_ ( C u. { D } ) <-> A C_ C ) )
26	25	anbi2d 703	. . 3 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( B C_ A /\ A C_ C ) ) )
27	3	simplbi 460	. . . . . . 7 |- ( ( B u. { D } ) C_ A -> B C_ A )
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. D e. A -> ( ( B u. { D } ) C_ A -> B C_ A ) )
29	25	biimpd 207	. . . . . 6 |- ( -. D e. A -> ( A C_ ( C u. { D } ) -> A C_ C ) )
30	28, 29	anim12d 563	. . . . 5 |- ( -. D e. A -> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B C_ A /\ A C_ C ) ) )
31		pm4.72 871	. . . . 5 |- ( ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B C_ A /\ A C_ C ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) <-> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) \/ ( B C_ A /\ A C_ C ) ) ) )
32	30, 31	sylib 196	. . . 4 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) <-> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) \/ ( B C_ A /\ A C_ C ) ) ) )
33		orcom 387	. . . 4 |- ( ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) \/ ( B C_ A /\ A C_ C ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )
34	32, 33	syl6bb 261	. . 3 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
35	26, 34	bitrd 253	. 2 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
36	15, 35	pm2.61i 164	1 |- ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   \ cdif 3428   u. cun 3429   i^i cin 3430   C_ wss 3431   (/)c0 3740   {csn 3980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ral 2801  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-sn 3981

This theorem is referenced by:  ssunsn  4136  ssunpr  4138  sstp  4140