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Theorem ssunsn2 4156
Description: The property of being sandwiched between two sets naturally splits under union with a singleton. This is the induction hypothesis for the determination of large powersets such as pwtp 4213. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssunsn2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )

Proof of Theorem ssunsn2
StepHypRef Expression
1 snssi 4141 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  { D }  C_  A )
2 unss 3640 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
)  <->  ( B  u.  { D } )  C_  A )
32bicomi 205 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  <->  ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
) )
43rbaibr 913 . . . . 5  |-  ( { D }  C_  A  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
51, 4syl 17 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  u.  { D } ) 
C_  A ) )
65anbi1d 709 . . 3  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
72biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
)  ->  ( B  u.  { D } ) 
C_  A )
87expcom 436 . . . . . 6  |-  ( { D }  C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
91, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
10 ssun3 3631 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  C  ->  A  C_  ( C  u.  { D } ) )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  ( A  C_  C  ->  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) )
129, 11anim12d 565 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  C )  ->  ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) ) )
13 pm4.72 884 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  ->  ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) )  <->  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
1412, 13sylib 199 . . 3  |-  ( D  e.  A  ->  (
( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
156, 14bitrd 256 . 2  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
16 disjsn 4057 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { D } )  =  (/)  <->  -.  D  e.  A )
17 disj3 3837 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { D } )  =  (/)  <->  A  =  ( A  \  { D } ) )
1816, 17bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  <->  A  =  ( A  \  { D } ) )
19 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( A  \  { D } )  -> 
( A  C_  C  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
) )
2018, 19sylbi 198 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  C  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
) )
21 uncom 3610 . . . . . . 7  |-  ( { D }  u.  C
)  =  ( C  u.  { D }
)
2221sseq2i 3489 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( { D }  u.  C )  <->  A 
C_  ( C  u.  { D } ) )
23 ssundif 3879 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( { D }  u.  C )  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
)
2422, 23bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( C  u.  { D } )  <->  ( A  \  { D } ) 
C_  C )
2520, 24syl6rbbr 267 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  ( C  u.  { D } )  <->  A  C_  C
) )
2625anbi2d 708 . . 3  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) )
273simplbi 461 . . . . . . 7  |-  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  ->  B  C_  A )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  u.  { D } )  C_  A  ->  B  C_  A
) )
2925biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  ( C  u.  { D } )  ->  A  C_  C ) )
3028, 29anim12d 565 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A  C_  C
) ) )
31 pm4.72 884 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B  C_  A  /\  A  C_  C ) )  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  <->  ( (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) ) )
3230, 31sylib 199 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  <->  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) ) )
33 orcom 388 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) )  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
3432, 33syl6bb 264 . . 3  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
3526, 34bitrd 256 . 2  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
3615, 35pm2.61i 167 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ral 2780  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-sn 3997
This theorem is referenced by:  ssunsn  4157  ssunpr  4159  sstp  4161
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