MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssunsn2 Structured version   Unicode version

Theorem ssunsn2 4135
Description: The property of being sandwiched between two sets naturally splits under union with a singleton. This is the induction hypothesis for the determination of large powersets such as pwtp 4191. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssunsn2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )

Proof of Theorem ssunsn2
StepHypRef Expression
1 snssi 4120 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  { D }  C_  A )
2 unss 3633 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
)  <->  ( B  u.  { D } )  C_  A )
32bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  <->  ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
) )
43rbaibr 899 . . . . 5  |-  ( { D }  C_  A  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  u.  { D } ) 
C_  A ) )
65anbi1d 704 . . 3  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
72biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
)  ->  ( B  u.  { D } ) 
C_  A )
87expcom 435 . . . . . 6  |-  ( { D }  C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
10 ssun3 3624 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  C  ->  A  C_  ( C  u.  { D } ) )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  ( A  C_  C  ->  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) )
129, 11anim12d 563 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  C )  ->  ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) ) )
13 pm4.72 871 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  ->  ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) )  <->  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
1412, 13sylib 196 . . 3  |-  ( D  e.  A  ->  (
( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
156, 14bitrd 253 . 2  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
16 disjsn 4039 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { D } )  =  (/)  <->  -.  D  e.  A )
17 disj3 3826 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { D } )  =  (/)  <->  A  =  ( A  \  { D } ) )
1816, 17bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  <->  A  =  ( A  \  { D } ) )
19 sseq1 3480 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( A  \  { D } )  -> 
( A  C_  C  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
) )
2018, 19sylbi 195 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  C  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
) )
21 uncom 3603 . . . . . . 7  |-  ( { D }  u.  C
)  =  ( C  u.  { D }
)
2221sseq2i 3484 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( { D }  u.  C )  <->  A 
C_  ( C  u.  { D } ) )
23 ssundif 3865 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( { D }  u.  C )  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
)
2422, 23bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( C  u.  { D } )  <->  ( A  \  { D } ) 
C_  C )
2520, 24syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  ( C  u.  { D } )  <->  A  C_  C
) )
2625anbi2d 703 . . 3  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) )
273simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  ->  B  C_  A )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  u.  { D } )  C_  A  ->  B  C_  A
) )
2925biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  ( C  u.  { D } )  ->  A  C_  C ) )
3028, 29anim12d 563 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A  C_  C
) ) )
31 pm4.72 871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B  C_  A  /\  A  C_  C ) )  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  <->  ( (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) ) )
3230, 31sylib 196 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  <->  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) ) )
33 orcom 387 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) )  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
3432, 33syl6bb 261 . . 3  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
3526, 34bitrd 253 . 2  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
3615, 35pm2.61i 164 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3428    u. cun 3429    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   {csn 3980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ral 2801  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-sn 3981
This theorem is referenced by:  ssunsn  4136  ssunpr  4138  sstp  4140
  Copyright terms: Public domain W3C validator