Theorem ssunsn2 4156

Description: The property of being sandwiched between two sets naturally splits under union with a singleton. This is the induction hypothesis for the determination of large powersets such as pwtp 4213. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssunsn2	|- ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )

Proof of Theorem ssunsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4141	. . . . 5 |- ( D e. A -> { D } C_ A )
2		unss 3640	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ { D } C_ A ) <-> ( B u. { D } ) C_ A )
3	2	bicomi 205	. . . . . 6 |- ( ( B u. { D } ) C_ A <-> ( B C_ A /\ { D } C_ A ) )
4	3	rbaibr 913	. . . . 5 |- ( { D } C_ A -> ( B C_ A <-> ( B u. { D } ) C_ A ) )
5	1, 4	syl 17	. . . 4 |- ( D e. A -> ( B C_ A <-> ( B u. { D } ) C_ A ) )
6	5	anbi1d 709	. . 3 |- ( D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )
7	2	biimpi 197	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ A /\ { D } C_ A ) -> ( B u. { D } ) C_ A )
8	7	expcom 436	. . . . . 6 |- ( { D } C_ A -> ( B C_ A -> ( B u. { D } ) C_ A ) )
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( D e. A -> ( B C_ A -> ( B u. { D } ) C_ A ) )
10		ssun3 3631	. . . . . 6 |- ( A C_ C -> A C_ ( C u. { D } ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( D e. A -> ( A C_ C -> A C_ ( C u. { D } ) ) )
12	9, 11	anim12d 565	. . . 4 |- ( D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) -> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )
13		pm4.72 884	. . . 4 |- ( ( ( B C_ A /\ A C_ C ) -> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) <-> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
14	12, 13	sylib 199	. . 3 |- ( D e. A -> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
15	6, 14	bitrd 256	. 2 |- ( D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
16		disjsn 4057	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { D } ) = (/) <-> -. D e. A )
17		disj3 3837	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { D } ) = (/) <-> A = ( A \ { D } ) )
18	16, 17	bitr3i 254	. . . . . 6 |- ( -. D e. A <-> A = ( A \ { D } ) )
19		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( A = ( A \ { D } ) -> ( A C_ C <-> ( A \ { D } ) C_ C ) )
20	18, 19	sylbi 198	. . . . 5 |- ( -. D e. A -> ( A C_ C <-> ( A \ { D } ) C_ C ) )
21		uncom 3610	. . . . . . 7 |- ( { D } u. C ) = ( C u. { D } )
22	21	sseq2i 3489	. . . . . 6 |- ( A C_ ( { D } u. C ) <-> A C_ ( C u. { D } ) )
23		ssundif 3879	. . . . . 6 |- ( A C_ ( { D } u. C ) <-> ( A \ { D } ) C_ C )
24	22, 23	bitr3i 254	. . . . 5 |- ( A C_ ( C u. { D } ) <-> ( A \ { D } ) C_ C )
25	20, 24	syl6rbbr 267	. . . 4 |- ( -. D e. A -> ( A C_ ( C u. { D } ) <-> A C_ C ) )
26	25	anbi2d 708	. . 3 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( B C_ A /\ A C_ C ) ) )
27	3	simplbi 461	. . . . . . 7 |- ( ( B u. { D } ) C_ A -> B C_ A )
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. D e. A -> ( ( B u. { D } ) C_ A -> B C_ A ) )
29	25	biimpd 210	. . . . . 6 |- ( -. D e. A -> ( A C_ ( C u. { D } ) -> A C_ C ) )
30	28, 29	anim12d 565	. . . . 5 |- ( -. D e. A -> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B C_ A /\ A C_ C ) ) )
31		pm4.72 884	. . . . 5 |- ( ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B C_ A /\ A C_ C ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) <-> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) \/ ( B C_ A /\ A C_ C ) ) ) )
32	30, 31	sylib 199	. . . 4 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) <-> ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) \/ ( B C_ A /\ A C_ C ) ) ) )
33		orcom 388	. . . 4 |- ( ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) \/ ( B C_ A /\ A C_ C ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )
34	32, 33	syl6bb 264	. . 3 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
35	26, 34	bitrd 256	. 2 |- ( -. D e. A -> ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) ) )
36	15, 35	pm2.61i 167	1 |- ( ( B C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ C ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( C u. { D } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ral 2780  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-sn 3997

This theorem is referenced by:  ssunsn  4157  ssunpr  4159  sstp  4161