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Theorem ssunpr 4184
Description: Possible values for a set sandwiched between another set and it plus a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssunpr  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem ssunpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4025 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
21uneq2i 3650 . . . . 5  |-  ( B  u.  { C ,  D } )  =  ( B  u.  ( { C }  u.  { D } ) )
3 unass 3656 . . . . 5  |-  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )  =  ( B  u.  ( { C }  u.  { D } ) )
42, 3eqtr4i 2494 . . . 4  |-  ( B  u.  { C ,  D } )  =  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )
54sseq2i 3524 . . 3  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C ,  D }
)  <->  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )
65anbi2i 694 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( B  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u. 
{ D } ) ) )
7 ssunsn2 4181 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C }
)  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  (
( B  u.  { C } )  u.  { D } ) ) ) )
8 ssunsn 4182 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C } ) )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) ) )
9 un23 3658 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )  =  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } )
109sseq2i 3524 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( ( B  u.  { C }
)  u.  { D } )  <->  A  C_  (
( B  u.  { D } )  u.  { C } ) )
1110anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) ) )
12 ssunsn 4182 . . . 4  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) ) )
134, 9eqtr2i 2492 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } )  =  ( B  u.  { C ,  D } )
1413eqeq2i 2480 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  u.  { D }
)  u.  { C } )  <->  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) )
1514orbi2i 519 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  { D }
)  \/  A  =  ( ( B  u.  { D } )  u. 
{ C } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D }
) ) )
1611, 12, 153bitri 271 . . 3  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) )
178, 16orbi12i 521 . 2  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C }
) )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) ) )  <-> 
( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D }
) ) ) )
186, 7, 173bitri 271 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    u. cun 3469    C_ wss 3471   {csn 4022   {cpr 4024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ral 2814  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-sn 4023  df-pr 4025
This theorem is referenced by:  sspr  4185  sstp  4186
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