MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssunpr Structured version   Unicode version

Theorem ssunpr 4134
Description: Possible values for a set sandwiched between another set and it plus a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssunpr  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem ssunpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3975 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
21uneq2i 3594 . . . . 5  |-  ( B  u.  { C ,  D } )  =  ( B  u.  ( { C }  u.  { D } ) )
3 unass 3600 . . . . 5  |-  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )  =  ( B  u.  ( { C }  u.  { D } ) )
42, 3eqtr4i 2434 . . . 4  |-  ( B  u.  { C ,  D } )  =  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )
54sseq2i 3467 . . 3  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C ,  D }
)  <->  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )
65anbi2i 692 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( B  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u. 
{ D } ) ) )
7 ssunsn2 4131 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C }
)  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  (
( B  u.  { C } )  u.  { D } ) ) ) )
8 ssunsn 4132 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C } ) )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) ) )
9 un23 3602 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )  =  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } )
109sseq2i 3467 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( ( B  u.  { C }
)  u.  { D } )  <->  A  C_  (
( B  u.  { D } )  u.  { C } ) )
1110anbi2i 692 . . . 4  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) ) )
12 ssunsn 4132 . . . 4  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) ) )
134, 9eqtr2i 2432 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } )  =  ( B  u.  { C ,  D } )
1413eqeq2i 2420 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  u.  { D }
)  u.  { C } )  <->  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) )
1514orbi2i 517 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  { D }
)  \/  A  =  ( ( B  u.  { D } )  u. 
{ C } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D }
) ) )
1611, 12, 153bitri 271 . . 3  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) )
178, 16orbi12i 519 . 2  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C }
) )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) ) )  <-> 
( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D }
) ) ) )
186, 7, 173bitri 271 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    u. cun 3412    C_ wss 3414   {csn 3972   {cpr 3974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ral 2759  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-sn 3973  df-pr 3975
This theorem is referenced by:  sspr  4135  sstp  4136
  Copyright terms: Public domain W3C validator