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Theorem sstotbnd2 32170
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
Distinct variable groups:   v, d, x, M   X, d, v, x   N, d, v, x   Y, d, v, x
Proof of Theorem sstotbnd2
Dummy variables c f w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . . 5 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
2 metres2 21456 . . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( M |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) )
31, 2syl5eqel 2553 . . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> N e. ( Met ` Y ) )
4 istotbnd3 32167 . . . . 5 |- ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> ( N e. ( Met ` Y ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) )
54baib 919 . . . 4 |- ( N e. ( Met ` Y ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) )
63, 5syl 17 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) )
7 simpllr 777 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> Y C_ X )
8 sspwb 4649 . . . . . . . . . 10 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
97, 8sylib 201 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> ~P Y C_ ~P X )
10 ssrin 3648 . . . . . . . . 9 |- ( ~P Y C_ ~P X -> ( ~P Y i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> ( ~P Y i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin ) )
12 simprl 772 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> v e. ( ~P Y i^i Fin ) )
1311, 12sseldd 3419 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> v e. ( ~P X i^i Fin ) )
14 simprr 774 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y )
15 metxmet 21427 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
1615ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> M e. ( *Met ` X ) )
17 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) <-> ( v C_ Y /\ v e. Fin ) )
1817simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) -> v C_ Y )
1918adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) -> v C_ Y )
2019sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> x e. Y )
21 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> Y C_ X )
22 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y C_ X <-> ( X i^i Y ) = Y )
2321, 22sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> ( X i^i Y ) = Y )
2420, 23eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> x e. ( X i^i Y ) )
25 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> d e. RR+ )
2625rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> d e. RR* )
271blres 21524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. ( X i^i Y ) /\ d e. RR* ) -> ( x ( ball ` N ) d ) = ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) )
2816, 24, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` N ) d ) = ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) )
29 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) C_ ( x ( ball ` M ) d )
3028, 29syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` N ) d ) C_ ( x ( ball ` M ) d ) )
3130ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) -> A. x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ ( x ( ball ` M ) d ) )
32 ss2iun 4285 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ ( x ( ball ` M ) d ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3433adantrr 731 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3514, 34eqsstr3d 3453 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3613, 35jca 541 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3736ex 441 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) -> ( ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) -> ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
3837reximdv2 2855 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) -> ( E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3938ralimdva 2805 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
406, 39sylbid 223 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
41 simpr 468 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> c e. RR+ )
4241rphalfcld 11376 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( c / 2 ) e. RR+ )
43 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10 |- ( d = ( c / 2 ) -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
4443iuneq2d 4296 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( c / 2 ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
4544sseq2d 3446 . . . . . . . 8 |- ( d = ( c / 2 ) -> ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) <-> Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
4645rexbidv 2892 . . . . . . 7 |- ( d = ( c / 2 ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
4746rspcv 3132 . . . . . 6 |- ( ( c / 2 ) e. RR+ -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
4842, 47syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
49 elfpw 7894 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v C_ X /\ v e. Fin ) )
5049simprbi 471 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v e. Fin )
5150ad2antrl 742 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> v e. Fin )
52 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9 |- { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } C_ v
53 ssfi 7810 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. Fin /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } C_ v ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin )
5451, 52, 53sylancl 675 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin )
55 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) = ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
5655ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) )
57 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( Y i^i ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
5856, 57syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( Y i^i ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
59 dfin5 3398 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y i^i ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) = { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) }
6058, 59syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) } )
6160neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) <-> { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) } =/= (/) ) )
62 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) } =/= (/) <-> E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
6361, 62syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) <-> E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6463elrab 3184 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } <-> ( y e. v /\ E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6564simprbi 471 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } -> E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
6665rgen 2766 . . . . . . . 8 |- A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) )
67 eleq1 2537 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( f ` y ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) <-> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6867ac6sfi 7833 . . . . . . . 8 |- ( ( { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> E. f ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6954, 66, 68sylancl 675 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> E. f ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
70 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> dom f = { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } )
7170ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> dom f = { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } )
7271, 52syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> dom f C_ v )
73 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y )
7471feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f : dom f --> Y <-> f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y ) )
7573, 74mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> f : dom f --> Y )
76 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
77 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> f Fn { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } )
78 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
8079baibd 923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ) -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8180ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> ( A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8281ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8376, 82mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> y = x )
85 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) = ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
8685imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) = ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8784, 86eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
8887ralrab2 3192 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
8983, 88sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
9072, 75, 893jca 1210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) )
9190ex 441 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. Fin -> ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) )
9251, 91syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) )
93 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> f : dom f --> Y )
94 frn 5747 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : dom f --> Y -> ran f C_ Y )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ran f C_ Y )
96 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : dom f --> Y -> f Fn dom f )
9793, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> f Fn dom f )
9851adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> v e. Fin )
99 simpr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> dom f C_ v )
100 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Fin /\ dom f C_ v ) -> dom f e. Fin )
10198, 99, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> dom f e. Fin )
102 fnfi 7867 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn dom f /\ dom f e. Fin ) -> f e. Fin )
10397, 101, 102syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> f e. Fin )
104 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Fin -> ran f e. Fin )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
106 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ( ~P Y i^i Fin ) <-> ( ran f C_ Y /\ ran f e. Fin ) )
10795, 105, 106sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P Y i^i Fin ) )
108 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( x ( ball ` N ) c ) = ( z ( ball ` N ) c ) )
109108cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c )
1103ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> N e. ( Met ` Y ) )
111 metxmet 21427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( Met ` Y ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
11395sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> z e. Y )
114 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR+ -> c e. RR* )
115114ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> c e. RR* )
116 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ z e. Y /\ c e. RR* ) -> ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
117112, 113, 115, 116syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
118117ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> A. z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
119 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y <-> A. z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
120118, 119sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
121 iunin1 4334 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y )
122 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
12355cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) = U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) )
124122, 123syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> Y C_ U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
125 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y C_ U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) <-> ( U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = Y )
126124, 125sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = Y )
127121, 126syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = Y )
128 0ss 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (/) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c )
129 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = (/) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) <-> (/) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
130128, 129mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = (/) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = (/) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
132 simpr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
13356neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) <-> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) ) )
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> x = y )
13555imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) = ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
136134, 135eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
137133, 136imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) )
138137rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
139132, 138sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
14015ad5antr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
141 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) C_ dom f
14249simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v C_ X )
143142ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> v C_ X )
144143adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> v C_ X )
14599, 144sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> dom f C_ X )
146141, 145syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) C_ X )
147146sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> y e. X )
148 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> c e. RR+ )
149148rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> c e. RR )
150 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn dom f -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( y e. dom f /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
151150simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f Fn dom f /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
15297, 151sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
153 blhalf 21498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( c e. RR /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) )
154140, 147, 149, 152, 153syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) )
155 ssrin 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
157141sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> y e. dom f )
158 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : dom f --> Y /\ y e. dom f ) -> ( f ` y ) e. Y )
15993, 157, 158syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. Y )
160 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> Y C_ X )
161160, 22sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( X i^i Y ) = Y )
162159, 161eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ( X i^i Y ) )
163114ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> c e. RR* )
1641blres 21524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( f ` y ) e. ( X i^i Y ) /\ c e. RR* ) -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) = ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
165140, 162, 163, 164syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) = ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
166156, 165sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) )
167 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f Fn dom f /\ y e. dom f ) -> ( f ` y ) e. ran f )
16897, 157, 167syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ran f )
169 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( f ` y ) -> ( z ( ball ` N ) c ) = ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) )
170169ssiun2s 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f ` y ) e. ran f -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
171168, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
172166, 171sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
173172adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
174173ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
175139, 174syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
176131, 175pm2.61dne 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
177176ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> A. y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
178 iunss 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) <-> A. y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
179177, 178sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
180127, 179eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> Y C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
181120, 180eqssd 3435 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) = Y )
182109, 181syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
183 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ran f -> U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) )
184183eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ran f -> ( U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y <-> U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
185184rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
186107, 182, 185syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
187186ex 441 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
18892, 187syld 44 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
189188exlimdv 1787 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( E. f ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
19069, 189mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
191190rexlimdvaa 2872 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
19248, 191syld 44 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
193192ralrimdva 2812 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
194 istotbnd3 32167 . . . . 5 |- ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> ( N e. ( Met ` Y ) /\ A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
195194baib 919 . . . 4 |- ( N e. ( Met ` Y ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
1963, 195syl 17 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
197193, 196sylibrd 242 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> N e. ( TotBnd ` Y ) ) )
19840, 197impbid 195 1 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U_ciun 4269   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   RR*cxr 9692   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   ballcbl 19034   TotBndctotbnd 32162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-totbnd 32164
This theorem is referenced by:  sstotbnd  32171  sstotbnd3  32172
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