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Theorem sstotbnd2 29901
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd2
Dummy variables  c 
f  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . . 5  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
2 metres2 20629 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
31, 2syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
4 istotbnd3 29898 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
54baib 901 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
7 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  X )
8 sspwb 4696 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
10 ssrin 3723 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P Y  C_  ~P X  ->  ( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
12 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )
)
1311, 12sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
14 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d )  =  Y )
15 metxmet 20600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
1615ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
17 elfpw 7822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  Y  /\  v  e. 
Fin ) )
1817simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  ->  v  C_  Y )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  v  C_  Y )
2019sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  Y )
21 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  Y  C_  X )
22 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2420, 23eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( X  i^i  Y
) )
25 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR+ )
2625rpxrd 11257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR* )
271blres 20697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  d  e.  RR* )  ->  ( x (
ball `  N )
d )  =  ( ( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y ) )
2816, 24, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  =  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
) )
29 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  C_  (
x ( ball `  M
) d )
3028, 29syl6eqss 3554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d ) )
3130ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  (
x ( ball `  M
) d ) )
32 ss2iun 4341 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d )  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )
3433adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3514, 34eqsstr3d 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) )
3613, 35jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3736ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( (
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d )  =  Y )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
3837reximdv2 2934 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3938ralimdva 2872 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
406, 39sylbid 215 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
41 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
4241rphalfcld 11268 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( c  /  2 )  e.  RR+ )
43 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
4443iuneq2d 4352 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
4544sseq2d 3532 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4645rexbidv 2973 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4746rspcv 3210 . . . . . 6  |-  ( ( c  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4842, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
49 elfpw 7822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
5049simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
52 ssrab2 3585 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
53 ssfi 7740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  C_  v )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
55 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
5655ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
) )
57 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  ( Y  i^i  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
5856, 57syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( Y  i^i  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
59 dfin5 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  i^i  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }
6058, 59syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) } )
6160neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  { z  e.  Y  |  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) }  =/=  (/) ) )
62 rabn0 3805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  Y  | 
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6361, 62syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6463elrab 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  <->  ( y  e.  v  /\  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6564simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6665rgen 2824 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )
67 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
6867ac6sfi 7764 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
6954, 66, 68sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
70 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  ->  dom  f  =  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } )
7170ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )
7271, 52syl6eqss 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
73 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y )
7471feq2d 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f : dom  f --> Y  <->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y ) )
7573, 74mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : dom  f --> Y )
76 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
77 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
f  Fn  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } )
78 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8079baibd 907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8180ralbidva 2900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
8281ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8376, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
85 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
8685imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
8784, 86eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8887ralrab2 3269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
8983, 88sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
9072, 75, 893jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )
9190ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
9251, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
93 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f : dom  f
--> Y )
94 frn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  C_  Y )
96 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  f  Fn  dom  f )
9793, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  Fn  dom  f )
9851adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
99 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
100 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  dom  f  C_  v )  ->  dom  f  e.  Fin )
10198, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
102 fnfi 7798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  dom  f  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
10397, 101, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  e.  Fin )
104 rnfi 7805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
106 elfpw 7822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  Y  /\  ran  f  e.  Fin ) )
10795, 105, 106sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )
108 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  N
) c )  =  ( z ( ball `  N ) c ) )
109108cbviunv 4364 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  N
) c )  = 
U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )
1103ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
111 metxmet 20600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  N  e.  ( *Met `  Y
) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
11395sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  z  e.  Y )
114 rpxr 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
115114ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  c  e.  RR* )
116 blssm 20684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  z  e.  Y  /\  c  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  N ) c ) 
C_  Y )
117112, 113, 115, 116syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  C_  Y )
118117ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
119 iunss 4366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  C_  Y 
<-> 
A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
120118, 119sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
121 iunin1 4390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ y  e.  v  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  (
U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )
122 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
12355cbviunv 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) )  =  U_ y  e.  v  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )
124122, 123syl6sseq 3550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
125 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  <-> 
( U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  Y )
126124, 125sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
127121, 126syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
128 0ss 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )
129 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  <->  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
130128, 129mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
132 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
13356neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) ) )
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
13555imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
136134, 135eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
137133, 136imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  <->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) ) )
138137rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  (
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
139132, 138sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
14015ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
141140ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
142 cnvimass 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) 
C_  dom  f
14349simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
144143ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  C_  X )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  C_  X
)
14699, 145sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  X )
147142, 146syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  C_  X )
148147sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
149 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
150149rpred 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR )
151 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  dom  f  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  dom  f  /\  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
152151simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
15397, 152sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
154 blhalf 20671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
155141, 148, 150, 153, 154syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
156 ssrin 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
158142sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  -> 
y  e.  dom  f
)
159 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : dom  f --> Y  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
16093, 158, 159syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  Y
)
161 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
162161, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
163160, 162eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
164114ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR* )
1651blres 20697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  c  e.  RR* )  ->  ( ( f `
 y ) (
ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
166141, 163, 164, 165syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
167157, 166sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  N
) c ) )
168 fnfvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
16997, 158, 168syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ran  f )
170 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  =  ( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) )
171170ssiun2s 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) 
C_  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c ) )
172169, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
173167, 172sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
174173adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  /\  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c ) )
175174ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
176139, 175syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
177131, 176pm2.61dne 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
178177ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
179 iunss 4366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ y  e.  v  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c )  <->  A. y  e.  v 
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
180178, 179sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
181127, 180eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
182120, 181eqssd 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  =  Y )
183109, 182syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
184 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ran  f  ->  U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c ) )
185184eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ran  f  -> 
( U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y  <->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y ) )
186185rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
187107, 183, 186syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y )
188187ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f
--> Y  /\  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
18992, 188syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
190189exlimdv 1700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  ( E. f ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19169, 190mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
192191rexlimdvaa 2956 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19348, 192syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
194193ralrimdva 2882 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
195 istotbnd3 29898 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
196195baib 901 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
1973, 196syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
198194, 197sylibrd 234 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
19940, 198impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   RRcr 9491   RR*cxr 9627    / cdiv 10206   2c2 10585   RR+crp 11220   *Metcxmt 18202   Metcme 18203   ballcbl 18204   TotBndctotbnd 29893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-totbnd 29895
This theorem is referenced by:  sstotbnd  29902  sstotbnd3  29903
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