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Theorem sstotbnd 26374
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x    N, d, v, x    Y, b, d, v, x
Allowed substitution hint:    N( b)

Proof of Theorem sstotbnd
Dummy variables  f  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . 3  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26373 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elfpw 7366 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  X  /\  u  e. 
Fin ) )
43simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
5 mptfi 7364 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
6 rnfi 7350 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
87ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
9 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
10 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )
1110rnmpt 5075 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }
123simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  C_  X )
13 ssrexv 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  X  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1514ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1615ss2abdv 3376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } )
1711, 16syl5eqss 3352 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
18 unieq 3984 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
19 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( ball `  M
) d )  e. 
_V
2019dfiun3 5083 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )
2118, 20syl6eqr 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U_ x  e.  u  (
x ( ball `  M
) d ) )
2221sseq2d 3336 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( Y  C_  U. v  <->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
23 ssabral 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
24 sseq1 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( v  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) }  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } ) )
2523, 24syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )
2622, 25anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) ) )
2726rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  e. 
Fin  /\  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
288, 9, 17, 27syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2928rexlimdvaa 2791 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
30 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
3130eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  <->  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
3231ac6sfi 7310 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3332adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. f
( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
35 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( f : v --> X  ->  ran  f  C_  X )
3635ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  C_  X )
37 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  v  e.  Fin )
38 ffn 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : v --> X  -> 
f  Fn  v )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f  Fn  v
)
40 dffn4 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  v  <->  f :
v -onto-> ran  f )
4139, 40sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f : v
-onto->
ran  f )
42 fofi 7351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  f : v -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
44 elfpw 7366 . . . . . . . 8  |-  ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  X  /\  ran  f  e.  Fin ) )
4536, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
4746adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
48 uniiun 4104 . . . . . . . . . . 11  |-  U. v  =  U_ b  e.  v  b
49 iuneq2 4069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U_ b  e.  v  b  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5048, 49syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5150ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5247, 51sseqtrd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ b  e.  v  ( (
f `  b )
( ball `  M )
d ) )
5330eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
5453rexrn 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  v  ->  ( E. x  e.  ran  f  y  e.  (
x ( ball `  M
) d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
55 eliun 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  ran  f  y  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
56 eliun 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5754, 55, 563bitr4g 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  v  ->  (
y  e.  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) ) )
5857eqrdv 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  v  ->  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  = 
U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5939, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  M )
d )  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
6052, 59sseqtr4d 3345 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
61 iuneq1 4066 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ran  f  ->  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
6261sseq2d 3336 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  f  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) ) )
6362rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6445, 60, 63syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6534, 64exlimddv 1645 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6665rexlimdvaa 2791 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
6729, 66impbid 184 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
6867ralbidv 2686 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
692, 68bitrd 245 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   U_ciun 4053    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   RR+crp 10568   Metcme 16642   ballcbl 16643   TotBndctotbnd 26365
This theorem is referenced by:  totbndss  26376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-totbnd 26367
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