Theorem ssres2OLD 4241

Description: Subclass theorem for restriction.

Assertion

Ref	Expression
ssres2OLD	|- (A C_ B -> (C |` A) C_ (C |` B))

Proof of Theorem ssres2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2634	. . . 4 |- _V C_ _V
2		xpss12 4089	. . . 4 |- ((A C_ B /\ _V C_ _V) -> (A X. _V) C_ (B X. _V))
3	1, 2	mpan2 760	. . 3 |- (A C_ B -> (A X. _V) C_ (B X. _V))
4		sslin 2819	. . 3 |- ((A X. _V) C_ (B X. _V) -> (C i^i (A X. _V)) C_ (C i^i (B X. _V)))
5	3, 4	syl 12	. 2 |- (A C_ B -> (C i^i (A X. _V)) C_ (C i^i (B X. _V)))
6		df-res 4006	. 2 |- (C |` A) = (C i^i (A X. _V))
7		df-res 4006	. 2 |- (C |` B) = (C i^i (B X. _V))
8	5, 6, 7	3sstr4g 2658	1 |- (A C_ B -> (C |` A) C_ (C |` B))

Syntax hints:   -> wi 3  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593   X. cxp 3984   |` cres 3988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-res 4006

Copyright terms: Public domain