Theorem ssrelrelOLD 4084

Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 4417 to express the antecedent in terms of the relation predicate.

Assertion

Ref	Expression
ssrelrelOLD	|- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (A C_ B <-> A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B)))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem ssrelrelOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . 4 |- (A C_ B -> (<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B))
2	1	19.21aiv 1664	. . 3 |- (A C_ B -> A.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B))
3	2	19.21aivv 1665	. 2 |- (A C_ B -> A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B))
4		ssel 2615	. . . . . . 7 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (w e. A -> w e. ((_V X. _V) X. _V)))
5		elvvv 4054	. . . . . . 7 |- (w e. ((_V X. _V) X. _V) <-> E.xE.yE.z w = <.<.x, y>., z>.)
6	4, 5	syl6ib 229	. . . . . 6 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (w e. A -> E.xE.yE.z w = <.<.x, y>., z>.))
7		id 73	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B))
8	7	anim2d 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> ((w = <.<.x, y>., z>. /\ <.<.x, y>., z>. e. A) -> (w = <.<.x, y>., z>. /\ <.<.x, y>., z>. e. B)))
9		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. B <-> <.<.x, y>., z>. e. B))
10	9	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w = <.<.x, y>., z>. /\ <.<.x, y>., z>. e. B) -> w e. B)
11	8, 10	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> ((w = <.<.x, y>., z>. /\ <.<.x, y>., z>. e. A) -> w e. B))
12		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A <-> <.<.x, y>., z>. e. A))
13	12	pm5.32i 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w = <.<.x, y>., z>. /\ w e. A) <-> (w = <.<.x, y>., z>. /\ <.<.x, y>., z>. e. A))
14	11, 13	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> ((w = <.<.x, y>., z>. /\ w e. A) -> w e. B))
15	14	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
16	15	alimi 1338	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> A.z(w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
17		19.23v 1672	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z(w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)) <-> (E.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
18	16, 17	sylib 215	. . . . . . . . . 10 |- (A.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (E.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
19	18	alimi 1338	. . . . . . . . 9 |- (A.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> A.y(E.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
20		19.23v 1672	. . . . . . . . 9 |- (A.y(E.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)) <-> (E.yE.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
21	19, 20	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (A.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (E.yE.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
22	21	alimi 1338	. . . . . . 7 |- (A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> A.x(E.yE.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
23		19.23v 1672	. . . . . . 7 |- (A.x(E.yE.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)) <-> (E.xE.yE.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
24	22, 23	sylib 215	. . . . . 6 |- (A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (E.xE.yE.z w = <.<.x, y>., z>. -> (w e. A -> w e. B)))
25	6, 24	syl9 71	. . . . 5 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (w e. A -> (w e. A -> w e. B))))
26		pm2.43 77	. . . . 5 |- ((w e. A -> (w e. A -> w e. B)) -> (w e. A -> w e. B))
27	25, 26	syl6 25	. . . 4 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> (w e. A -> w e. B)))
28	27	19.21adv 1666	. . 3 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> A.w(w e. A -> w e. B)))
29		dfss2 2610	. . 3 |- (A C_ B <-> A.w(w e. A -> w e. B))
30	28, 29	syl6ibr 230	. 2 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B) -> A C_ B))
31	3, 30	impbid2 576	1 |- (A C_ ((_V X. _V) X. _V) -> (A C_ B <-> A.xA.yA.z(<.<.x, y>., z>. e. A -> <.<.x, y>., z>. e. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain