MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssrelrel Structured version   Unicode version

Theorem ssrelrel 4939
Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 5360 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrelrel  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  C_  B 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem ssrelrel
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3349 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) )
21alrimiv 1685 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) )
32alrimivv 1686 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) )
4 elvvv 4897 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. )
5 eleq1 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  A
) )
6 eleq1 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  B  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  B
) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( ( w  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( <. <.
x ,  y >. ,  z >.  e.  A  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B ) ) )
87biimprcd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
) )
98alimi 1604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  ->  A. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
10 19.23v 1910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) )  <->  ( E. z  w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
119, 10sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
12112alimi 1605 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  ->  A. x A. y ( E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
13 19.23vv 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( E. z  w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
)  <->  ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( E. x E. y E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
154, 14syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
1615com23 78 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( w  e.  A  ->  ( w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  ->  w  e.  B )
) )
1716a2d 26 . . . . 5  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( ( w  e.  A  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
1817alimdv 1675 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( A. w ( w  e.  A  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V ) )  ->  A. w ( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
19 dfss2 3344 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<-> 
A. w ( w  e.  A  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
) )
20 dfss2 3344 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. w
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) )
2118, 19, 203imtr4g 270 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( A  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V )  ->  A  C_  B ) )
2221com12 31 . 2  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A. x A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  ->  A  C_  B ) )
233, 22impbid2 204 1  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  C_  B 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   <.cop 3882    X. cxp 4837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-opab 4350  df-xp 4845
This theorem is referenced by:  eqrelrel  4940
  Copyright terms: Public domain W3C validator