Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssrelf Structured version   Unicode version

Theorem ssrelf 25880
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eqrelrd2.1  |-  F/ x ph
eqrelrd2.2  |-  F/ y
ph
eqrelrd2.3  |-  F/_ x A
eqrelrd2.4  |-  F/_ y A
eqrelrd2.5  |-  F/_ x B
eqrelrd2.6  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
ssrelf  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem ssrelf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqrelrd2.3 . . . 4  |-  F/_ x A
2 eqrelrd2.5 . . . 4  |-  F/_ x B
31, 2nfss 3346 . . 3  |-  F/ x  A  C_  B
4 eqrelrd2.4 . . . . 5  |-  F/_ y A
5 eqrelrd2.6 . . . . 5  |-  F/_ y B
64, 5nfss 3346 . . . 4  |-  F/ y  A  C_  B
7 ssel 3347 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
86, 7alrimi 1816 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
93, 8alrimi 1816 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
10 nfv 1678 . . . . 5  |-  F/ z A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
11 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
12 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  B  <->  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
1311, 12imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  A  ->  z  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) ) )
1413biimprcd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
15142alimi 1610 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A. x A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
16 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
z
1716, 4nfel 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  z  e.  A
1816, 5nfel 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  z  e.  B
1917, 18nfim 1857 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( z  e.  A  ->  z  e.  B )
201919.23 1847 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. y 
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) ) )
2120albii 1615 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  A. x
( E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
22 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
2322, 1nfel 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  e.  A
2422, 2nfel 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  e.  B
2523, 24nfim 1857 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( z  e.  A  ->  z  e.  B )
262519.23 1847 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( E. y 
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2721, 26bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2815, 27sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2928com23 78 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  e.  A  ->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  B
) ) )
3029a2d 26 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>. )  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
3110, 30alimd 1815 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
32 df-rel 4843 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  <->  A  C_  ( _V 
X.  _V ) )
33 dfss2 3342 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
34 elvv 4893 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y 
z  =  <. x ,  y >. )
3534imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  -> 
z  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
3635albii 1615 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
3732, 33, 363bitri 271 . . . 4  |-  ( Rel 
A  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
38 dfss2 3342 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )
3931, 37, 383imtr4g 270 . . 3  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( Rel  A  ->  A  C_  B
) )
4039com12 31 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  C_  B
) )
419, 40impbid2 204 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591   F/wnf 1594    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   <.cop 3880    X. cxp 4834   Rel wrel 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-opab 4348  df-xp 4842  df-rel 4843
This theorem is referenced by:  eqrelrd2  25881
  Copyright terms: Public domain W3C validator