Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssrelf Structured version   Unicode version

Theorem ssrelf 27609
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eqrelrd2.1  |-  F/ x ph
eqrelrd2.2  |-  F/ y
ph
eqrelrd2.3  |-  F/_ x A
eqrelrd2.4  |-  F/_ y A
eqrelrd2.5  |-  F/_ x B
eqrelrd2.6  |-  F/_ y B
Assertion
Ref Expression
ssrelf  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem ssrelf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqrelrd2.3 . . . 4  |-  F/_ x A
2 eqrelrd2.5 . . . 4  |-  F/_ x B
31, 2nfss 3492 . . 3  |-  F/ x  A  C_  B
4 eqrelrd2.4 . . . . 5  |-  F/_ y A
5 eqrelrd2.6 . . . . 5  |-  F/_ y B
64, 5nfss 3492 . . . 4  |-  F/ y  A  C_  B
7 ssel 3493 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
86, 7alrimi 1878 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
93, 8alrimi 1878 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
10 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
11 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  B  <->  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
1210, 11imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  A  ->  z  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) ) )
1312biimprcd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
14132alimi 1635 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A. x A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
154nfcri 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  z  e.  A
165nfcri 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  z  e.  B
1715, 16nfim 1921 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( z  e.  A  ->  z  e.  B )
181719.23 1911 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. y 
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) ) )
1918albii 1641 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  A. x
( E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
201nfcri 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  e.  A
212nfcri 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  e.  B
2220, 21nfim 1921 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( z  e.  A  ->  z  e.  B )
232219.23 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( E. y 
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2419, 23bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2514, 24sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2625com23 78 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  e.  A  ->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  B
) ) )
2726a2d 26 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>. )  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
2827alimdv 1710 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
29 df-rel 5015 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  <->  A  C_  ( _V 
X.  _V ) )
30 dfss2 3488 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
31 elvv 5067 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y 
z  =  <. x ,  y >. )
3231imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  -> 
z  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
3332albii 1641 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
3429, 30, 333bitri 271 . . . 4  |-  ( Rel 
A  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
35 dfss2 3488 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )
3628, 34, 353imtr4g 270 . . 3  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( Rel  A  ->  A  C_  B
) )
3736com12 31 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  C_  B
) )
389, 37impbid2 204 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1393    = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   <.cop 4038    X. cxp 5006   Rel wrel 5013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-opab 4516  df-xp 5014  df-rel 5015
This theorem is referenced by:  eqrelrd2  27610
  Copyright terms: Public domain W3C validator