Theorem ssrelOLD 4076

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
ssrelOLD	|- (Rel A -> (A C_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem ssrelOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . 3 |- (A C_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
2	1	19.21aivv 1665	. 2 |- (A C_ B -> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
3		df-rel 4001	. . . . . . . 8 |- (Rel A <-> A C_ (_V X. _V))
4		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- (A C_ (_V X. _V) -> (z e. A -> z e. (_V X. _V)))
5	3, 4	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (Rel A -> (z e. A -> z e. (_V X. _V)))
6		elvv 4053	. . . . . . 7 |- (z e. (_V X. _V) <-> E.xE.y z = <.x, y>.)
7	5, 6	syl6ib 229	. . . . . 6 |- (Rel A -> (z e. A -> E.xE.y z = <.x, y>.))
8		id 73	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
9	8	anim2d 620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> (z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B)))
10		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = <.x, y>. -> (z e. B <-> <.x, y>. e. B))
11	10	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) -> z e. B)
12	9, 11	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> z e. B))
13		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = <.x, y>. -> (z e. A <-> <.x, y>. e. A))
14	13	pm5.32i 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z = <.x, y>. /\ z e. A) <-> (z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A))
15	12, 14	syl5ib 223	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ z e. A) -> z e. B))
16	15	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
17	16	alimi 1338	. . . . . . . . 9 |- (A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.y(z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
18		19.23v 1672	. . . . . . . . 9 |- (A.y(z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)) <-> (E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
19	17, 18	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
20	19	alimi 1338	. . . . . . 7 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.x(E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
21		19.23v 1672	. . . . . . 7 |- (A.x(E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
22	20, 21	sylib 215	. . . . . 6 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (E.xE.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
23	7, 22	syl9 71	. . . . 5 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z e. A -> (z e. A -> z e. B))))
24		pm2.43 77	. . . . 5 |- ((z e. A -> (z e. A -> z e. B)) -> (z e. A -> z e. B))
25	23, 24	syl6 25	. . . 4 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z e. A -> z e. B)))
26	25	19.21adv 1666	. . 3 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.z(z e. A -> z e. B)))
27		dfss2 2610	. . 3 |- (A C_ B <-> A.z(z e. A -> z e. B))
28	26, 27	syl6ibr 230	. 2 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A C_ B))
29	2, 28	impbid2 576	1 |- (Rel A -> (A C_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  Rel wrel 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain