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Theorem ssrel2 5031
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 5029 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssrel2  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( R  C_  S  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, R, y    x, S, y

Proof of Theorem ssrel2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3451 . . . 4  |-  ( R 
C_  S  ->  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
) )
21a1d 25 . . 3  |-  ( R 
C_  S  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
32ralrimivv 2906 . 2  |-  ( R 
C_  S  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) )
4 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
5 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  S  <->  <. x ,  y
>.  e.  S ) )
64, 5imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  R  ->  z  e.  S )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
76biimprcd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
87ralimi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  A. y  e.  B  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
98ralimi 2814 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
10 r19.23v 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1110ralbii 2834 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
12 r19.23v 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1311, 12bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
149, 13sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1514com23 78 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( z  e.  R  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  S
) ) )
1615a2d 26 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( (
z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. )  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) ) )
1716alimdv 1676 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( A. z ( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
18 dfss2 3446 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  ( A  X.  B ) ) )
19 elxp2 4959 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.
)
2019imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R  -> 
z  e.  ( A  X.  B ) )  <-> 
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
2120albii 1611 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  R  ->  z  e.  ( A  X.  B
) )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
2218, 21bitri 249 . . . 4  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
23 dfss2 3446 . . . 4  |-  ( R 
C_  S  <->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  S ) )
2417, 22, 233imtr4g 270 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( R  C_  ( A  X.  B
)  ->  R  C_  S
) )
2524com12 31 . 2  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y
>.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  R  C_  S
) )
263, 25impbid2 204 1  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( R  C_  S  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   <.cop 3984    X. cxp 4939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-opab 4452  df-xp 4947
This theorem is referenced by:  metuel2  20279  isarchi  26337
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