Theorem ssrel 4923

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel	|- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem ssrel

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3345	. . 3 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1686	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		eleq1 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. A <-> <. x , y >. e. A ) )
4		eleq1 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. B <-> <. x , y >. e. B ) )
5	3, 4	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. A -> z e. B ) <-> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	5	biimprcd 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
7	6	2alimi 1605	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
8		19.23vv 1910	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
10	9	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z e. A -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> z e. B ) ) )
11	10	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
12	11	alimdv 1675	. . . 4 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. A -> z e. B ) ) )
13		df-rel 4842	. . . . 5 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14		dfss2 3340	. . . . 5 |- ( A C_ ( _V X. _V ) <-> A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) )
15		elvv 4892	. . . . . . 7 |- ( z e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y z = <. x , y >. )
16	15	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
17	16	albii 1610	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
18	13, 14, 17	3bitri 271	. . . 4 |- ( Rel A <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
19		dfss2 3340	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. z ( z e. A -> z e. B ) )
20	12, 18, 19	3imtr4g 270	. . 3 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( Rel A -> A C_ B ) )
21	20	com12 31	. 2 |- ( Rel A -> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A C_ B ) )
22	2, 21	impbid2 204	1 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   <.cop 3878   X. cxp 4833   Rel wrel 4840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-opab 4346  df-xp 4841  df-rel 4842

This theorem is referenced by:  eqrel  4924  relssi  4926  relssdv  4927  cotr  5205  cnvsym  5207  intasym  5208  intirr  5211  codir  5213  qfto  5214  dfso2  27515  dfpo2  27516  dffun10  27896  imagesset  27935