Theorem sspz 9733

Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's.

Hypotheses

Ref	Expression
sspz.z	|- Z = (0v` U)
sspz.q	|- Q = (0v` W)
sspz.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspz	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q = Z)

Proof of Theorem sspz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspz.h	. . . . 5 |- H = (SubSp` U)
2	1	sspnv 9724	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
3		eqid 1884	. . . . . 6 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
4		sspz.q	. . . . . 6 |- Q = (0v` W)
5	3, 4	nvzcl 9587	. . . . 5 |- (W e. NrmCVec -> Q e. (BaseSet` W))
6	5, 5	jca 310	. . . 4 |- (W e. NrmCVec -> (Q e. (BaseSet` W) /\ Q e. (BaseSet` W)))
7	2, 6	syl 12	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q e. (BaseSet` W) /\ Q e. (BaseSet` W)))
8		eqid 1884	. . . 4 |- (-v` U) = (-v` U)
9		eqid 1884	. . . 4 |- (-v` W) = (-v` W)
10	3, 8, 9, 1	sspmval 9731	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (Q e. (BaseSet` W) /\ Q e. (BaseSet` W))) -> (Q(-v` W)Q) = (Q(-v` U)Q))
11	7, 10	mpdan 768	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q(-v` W)Q) = (Q(-v` U)Q))
12	2, 5	syl 12	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q e. (BaseSet` W))
13	3, 9, 4	nvmid 9617	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ Q e. (BaseSet` W)) -> (Q(-v` W)Q) = Q)
14	2, 12, 13	syl11anc 524	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q(-v` W)Q) = Q)
15		eqid 1884	. . . . 5 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
16	15, 3, 1	sspba 9725	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (BaseSet` W) C_ (BaseSet` U))
17	16, 12	sseldd 2620	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q e. (BaseSet` U))
18		sspz.z	. . . 4 |- Z = (0v` U)
19	15, 8, 18	nvmid 9617	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ Q e. (BaseSet` U)) -> (Q(-v` U)Q) = Z)
20	17, 19	syldan 516	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q(-v` U)Q) = Z)
21	11, 14, 20	3eqtr3d 1934	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q = Z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  -vcnsb 9540  SubSpcss 9719

This theorem is referenced by:  hhshsslem2 10771

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ssp 9720

Copyright terms: Public domain