Theorem sspwtr 16643

Description: Virtual deduction proof of the right-to-left implication of dftr4 3416. A class which is a subclass of its power class is transitive. This proof corresponds to the virtual deduction proof of sspwtr 16643 without accumulating results.

Assertion

Ref	Expression
sspwtr	|- (A C_ ~PA -> Tr A)

Proof of Theorem sspwtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 3413	. . 3 |- (Tr A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A))
2		idn1 16484	. . . . . . . 8 |- . A C_ ~PA   ⊢   A C_ ~PA .
3		idn2 16509	. . . . . . . . 9 |- . A C_ ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   (z e. y /\ y e. A) .
4		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((z e. y /\ y e. A) -> y e. A)
5	3, 4	e2 16521	. . . . . . . 8 |- . A C_ ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   y e. A .
6		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- (A C_ ~PA -> (y e. A -> y e. ~PA))
7	2, 5, 6	e12 16593	. . . . . . 7 |- . A C_ ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   y e. ~PA .
8		elpwi 3039	. . . . . . 7 |- (y e. ~PA -> y C_ A)
9	7, 8	e2 16521	. . . . . 6 |- . A C_ ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   y C_ A .
10		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((z e. y /\ y e. A) -> z e. y)
11	3, 10	e2 16521	. . . . . 6 |- . A C_ ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   z e. y .
12		ssel 2615	. . . . . 6 |- (y C_ A -> (z e. y -> z e. A))
13	9, 11, 12	e22 16561	. . . . 5 |- . A C_ ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   z e. A .
14	13	in2 16506	. . . 4 |- . A C_ ~PA   ⊢   ((z e. y /\ y e. A) -> z e. A) .
15	14	gen12 16513	. . 3 |- . A C_ ~PA   ⊢   A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A) .
16		bi2 166	. . 3 |- ((Tr A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A)) -> (A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A) -> Tr A))
17	1, 15, 16	e01 16581	. 2 |- . A C_ ~PA   ⊢   Tr A .
18	17	in1 16481	1 |- (A C_ ~PA -> Tr A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  Tr wtr 3411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-uni 3178  df-tr 3412  df-vd1 16480  df-vd2 16489

Copyright terms: Public domain