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Theorem sspph 24174
Description: A subspace of an inner product space is an inner product space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspph.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspph  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )

Proof of Theorem sspph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 24133 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 sspph.h . . . 4  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 24043 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 468 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
6 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
75, 6, 2sspba 24044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( BaseSet
`  W )  C_  ( BaseSet `  U )
)
87sseld 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
97sseld 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  W )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )
108, 9anim12d 560 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( x  e.  (
BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) ) )
111, 10sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
1211imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
13 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
15 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
165, 13, 14, 15phpar2 24142 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
17163expb 1183 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) ) )
1817adantlr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
1912, 18syldan 467 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
20 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
216, 20nvgcl 23917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
22213expb 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
233, 22sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
24 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
256, 15, 24, 2sspnval 24054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
26253expa 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) ) )
2723, 26syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
2827oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )
296, 13, 20, 2sspgval 24046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  =  ( x ( +v `  U ) y ) )
3029fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) )
3130oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
3228, 31eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
33 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
346, 33nvmcl 23946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
35343expb 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
363, 35sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
376, 15, 24, 2sspnval 24054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
38373expa 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( -v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( -v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) )
3936, 38syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
406, 14, 33, 2sspmval 24050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  =  ( x ( -v `  U ) y ) )
4140fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4239, 41eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4342oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
4432, 43oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
451, 44sylanl1 645 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
466, 15, 24, 2sspnval 24054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
47463expa 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4847adantrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4948oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  x ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 ) )
506, 15, 24, 2sspnval 24054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
51503expa 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5251adantrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5352oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  y ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) )
5449, 53oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) )
551, 54sylanl1 645 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5719, 45, 563eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5857ralrimivva 2806 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
596, 20, 33, 24isph 24141 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil OLD  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
604, 58, 59sylanbrc 659 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    + caddc 9281    x. cmul 9283   2c2 10367   ^cexp 11861   NrmCVeccnv 23881   +vcpv 23882   BaseSetcba 23883   -vcnsb 23886   normCVcnmcv 23887   SubSpcss 24038   CPreHil OLDccphlo 24131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593  df-neg 9594  df-grpo 23597  df-gid 23598  df-ginv 23599  df-gdiv 23600  df-ablo 23688  df-vc 23843  df-nv 23889  df-va 23892  df-ba 23893  df-sm 23894  df-0v 23895  df-vs 23896  df-nmcv 23897  df-ssp 24039  df-ph 24132
This theorem is referenced by:  ssphl  24237  hhssph  24594
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