Theorem sspph 9856

Description: A subspace of an inner product space is an inner product space.

Hypothesis

Ref	Expression
sspph.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspph	|- ((U e. CPreHil /\ W e. H) -> W e. CPreHil)

Proof of Theorem sspph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
2		eqid 1884	. . 3 |- (+v` W) = (+v` W)
3		eqid 1884	. . 3 |- (-v` W) = (-v` W)
4		eqid 1884	. . 3 |- (norm` W) = (norm` W)
5	1, 2, 3, 4	isph 9822	. 2 |- (W e. CPreHil <-> (W e. NrmCVec /\ A.x e. (BaseSet` W)A.y e. (BaseSet` W)((((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) + (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2)) = (2 x. ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2)))))
6		sspph.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
7	6	sspnv 9724	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
8		phnv 9814	. . 3 |- (U e. CPreHil -> U e. NrmCVec)
9	7, 8	sylan 497	. 2 |- ((U e. CPreHil /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
10		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
11	10, 1, 6	sspba 9725	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (BaseSet` W) C_ (BaseSet` U))
12	11	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (x e. (BaseSet` W) -> x e. (BaseSet` U)))
13	11	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (y e. (BaseSet` W) -> y e. (BaseSet` U)))
14	12, 13	anim12d 617	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W)) -> (x e. (BaseSet` U) /\ y e. (BaseSet` U))))
15	14, 8	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((U e. CPreHil /\ W e. H) -> ((x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W)) -> (x e. (BaseSet` U) /\ y e. (BaseSet` U))))
16	15	imp 377	. . . . . 6 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x e. (BaseSet` U) /\ y e. (BaseSet` U)))
17		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (+v` U) = (+v` U)
18		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (-v` U) = (-v` U)
19		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (norm` U) = (norm` U)
20	10, 17, 18, 19	phpar2 9823	. . . . . . . 8 |- ((U e. CPreHil /\ x e. (BaseSet` U) /\ y e. (BaseSet` U)) -> ((((norm` U)` (x(+v` U)y))^2) + (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2)) = (2 x. ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2))))
21	20	3expb 1068	. . . . . . 7 |- ((U e. CPreHil /\ (x e. (BaseSet` U) /\ y e. (BaseSet` U))) -> ((((norm` U)` (x(+v` U)y))^2) + (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2)) = (2 x. ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2))))
22	21	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` U) /\ y e. (BaseSet` U))) -> ((((norm` U)` (x(+v` U)y))^2) + (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2)) = (2 x. ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2))))
23	16, 22	syldan 516	. . . . 5 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((((norm` U)` (x(+v` U)y))^2) + (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2)) = (2 x. ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2))))
24	1, 2	nvgcl 9571	. . . . . . . . . . . 12 |- ((W e. NrmCVec /\ x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W)) -> (x(+v` W)y) e. (BaseSet` W))
25	24	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((W e. NrmCVec /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x(+v` W)y) e. (BaseSet` W))
26	25, 7	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x(+v` W)y) e. (BaseSet` W))
27	1, 19, 4, 6	sspnval 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H /\ (x(+v` W)y) e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` (x(+v` W)y)) = ((norm` U)` (x(+v` W)y)))
28	27	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x(+v` W)y) e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` (x(+v` W)y)) = ((norm` U)` (x(+v` W)y)))
29	26, 28	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` W)` (x(+v` W)y)) = ((norm` U)` (x(+v` W)y)))
30	29	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) = (((norm` U)` (x(+v` W)y))^2))
31	1, 17, 2, 6	sspgval 9727	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x(+v` W)y) = (x(+v` U)y))
32	31	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` U)` (x(+v` W)y)) = ((norm` U)` (x(+v` U)y)))
33	32	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (((norm` U)` (x(+v` W)y))^2) = (((norm` U)` (x(+v` U)y))^2))
34	30, 33	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) = (((norm` U)` (x(+v` U)y))^2))
35	1, 3	nvmcl 9599	. . . . . . . . . . . 12 |- ((W e. NrmCVec /\ x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W)) -> (x(-v` W)y) e. (BaseSet` W))
36	35	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((W e. NrmCVec /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x(-v` W)y) e. (BaseSet` W))
37	36, 7	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x(-v` W)y) e. (BaseSet` W))
38	1, 19, 4, 6	sspnval 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H /\ (x(-v` W)y) e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` (x(-v` W)y)) = ((norm` U)` (x(-v` W)y)))
39	38	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x(-v` W)y) e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` (x(-v` W)y)) = ((norm` U)` (x(-v` W)y)))
40	37, 39	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` W)` (x(-v` W)y)) = ((norm` U)` (x(-v` W)y)))
41	1, 18, 3, 6	sspmval 9731	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (x(-v` W)y) = (x(-v` U)y))
42	41	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` U)` (x(-v` W)y)) = ((norm` U)` (x(-v` U)y)))
43	40, 42	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` W)` (x(-v` W)y)) = ((norm` U)` (x(-v` U)y)))
44	43	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2) = (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2))
45	34, 44	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) + (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2)) = ((((norm` U)` (x(+v` U)y))^2) + (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2)))
46	45, 8	sylanl1 509	. . . . 5 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) + (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2)) = ((((norm` U)` (x(+v` U)y))^2) + (((norm` U)` (x(-v` U)y))^2)))
47	1, 19, 4, 6	sspnval 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H /\ x e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` x) = ((norm` U)` x))
48	47	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ x e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` x) = ((norm` U)` x))
49	48	adantrr 431	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` W)` x) = ((norm` U)` x))
50	49	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (((norm` W)` x)^2) = (((norm` U)` x)^2))
51	1, 19, 4, 6	sspnval 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H /\ y e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` y) = ((norm` U)` y))
52	51	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ y e. (BaseSet` W)) -> ((norm` W)` y) = ((norm` U)` y))
53	52	adantrl 430	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((norm` W)` y) = ((norm` U)` y))
54	53	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (((norm` W)` y)^2) = (((norm` U)` y)^2))
55	50, 54	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2)) = ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2)))
56	55, 8	sylanl1 509	. . . . . 6 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2)) = ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2)))
57	56	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> (2 x. ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2))) = (2 x. ((((norm` U)` x)^2) + (((norm` U)` y)^2))))
58	23, 46, 57	3eqtr4d 1937	. . . 4 |- (((U e. CPreHil /\ W e. H) /\ (x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W))) -> ((((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) + (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2)) = (2 x. ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2))))
59	58	ex 402	. . 3 |- ((U e. CPreHil /\ W e. H) -> ((x e. (BaseSet` W) /\ y e. (BaseSet` W)) -> ((((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) + (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2)) = (2 x. ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2)))))
60	59	r19.21aivv 2183	. 2 |- ((U e. CPreHil /\ W e. H) -> A.x e. (BaseSet` W)A.y e. (BaseSet` W)((((norm` W)` (x(+v` W)y))^2) + (((norm` W)` (x(-v` W)y))^2)) = (2 x. ((((norm` W)` x)^2) + (((norm` W)` y)^2))))
61	5, 9, 60	sylanbrc 527	1 |- ((U e. CPreHil /\ W e. H) -> W e. CPreHil)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   + caddc 6389   x. cmul 6391  2c2 7145  ^cexp 7811  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  -vcnsb 9540  normcnm 9541  SubSpcss 9719  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  ssphl 9966  hhssph 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ssp 9720  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain