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Theorem sspph 26472
Description: A subspace of an inner product space is an inner product space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspph.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspph  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )

Proof of Theorem sspph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 26431 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 sspph.h . . . 4  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 26341 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 473 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
6 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
75, 6, 2sspba 26342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( BaseSet
`  W )  C_  ( BaseSet `  U )
)
87sseld 3460 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
97sseld 3460 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  W )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )
108, 9anim12d 565 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( x  e.  (
BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) ) )
111, 10sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
1211imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
13 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
15 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
165, 13, 14, 15phpar2 26440 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
17163expb 1206 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) ) )
1817adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
1912, 18syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
20 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
216, 20nvgcl 26215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
22213expb 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
233, 22sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
24 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
256, 15, 24, 2sspnval 26352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
26253expa 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) ) )
2723, 26syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
2827oveq1d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )
296, 13, 20, 2sspgval 26344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  =  ( x ( +v `  U ) y ) )
3029fveq2d 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) )
3130oveq1d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
3228, 31eqtrd 2461 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
33 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
346, 33nvmcl 26244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
35343expb 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
363, 35sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
376, 15, 24, 2sspnval 26352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
38373expa 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( -v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( -v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) )
3936, 38syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
406, 14, 33, 2sspmval 26348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  =  ( x ( -v `  U ) y ) )
4140fveq2d 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4239, 41eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4342oveq1d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
4432, 43oveq12d 6315 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
451, 44sylanl1 654 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
466, 15, 24, 2sspnval 26352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
47463expa 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4847adantrr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4948oveq1d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  x ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 ) )
506, 15, 24, 2sspnval 26352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
51503expa 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5251adantrl 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5352oveq1d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  y ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) )
5449, 53oveq12d 6315 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) )
551, 54sylanl1 654 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 6313 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5719, 45, 563eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5857ralrimivva 2844 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
596, 20, 33, 24isph 26439 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil OLD  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
604, 58, 59sylanbrc 668 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   ` cfv 5593  (class class class)co 6297    + caddc 9538    x. cmul 9540   2c2 10655   ^cexp 12265   NrmCVeccnv 26179   +vcpv 26180   BaseSetcba 26181   -vcnsb 26184   normCVcnmcv 26185   SubSpcss 26336   CPreHil OLDccphlo 26429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-ltxr 9676  df-sub 9858  df-neg 9859  df-grpo 25895  df-gid 25896  df-ginv 25897  df-gdiv 25898  df-ablo 25986  df-vc 26141  df-nv 26187  df-va 26190  df-ba 26191  df-sm 26192  df-0v 26193  df-vs 26194  df-nmcv 26195  df-ssp 26337  df-ph 26430
This theorem is referenced by:  ssphl  26545  hhssph  26901
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