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Theorem sspph 22309
Description: A subspace of an inner product space is an inner product space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspph.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspph  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )

Proof of Theorem sspph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 22268 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 sspph.h . . . 4  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 22178 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 458 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
6 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
75, 6, 2sspba 22179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( BaseSet
`  W )  C_  ( BaseSet `  U )
)
87sseld 3307 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
97sseld 3307 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  W )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )
108, 9anim12d 547 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( x  e.  (
BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) ) )
111, 10sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
1211imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
13 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
15 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
165, 13, 14, 15phpar2 22277 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
17163expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) ) )
1817adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
1912, 18syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
216, 20nvgcl 22052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
22213expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
233, 22sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
24 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
256, 15, 24, 2sspnval 22189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
26253expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) ) )
2723, 26syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
2827oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )
296, 13, 20, 2sspgval 22181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  =  ( x ( +v `  U ) y ) )
3029fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) )
3130oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
3228, 31eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
33 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
346, 33nvmcl 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
35343expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
363, 35sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
376, 15, 24, 2sspnval 22189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
38373expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( -v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( -v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) )
3936, 38syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
406, 14, 33, 2sspmval 22185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  =  ( x ( -v `  U ) y ) )
4140fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4239, 41eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4342oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
4432, 43oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
451, 44sylanl1 632 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
466, 15, 24, 2sspnval 22189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
47463expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4847adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4948oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  x ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 ) )
506, 15, 24, 2sspnval 22189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
51503expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5251adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5352oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  y ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) )
5449, 53oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) )
551, 54sylanl1 632 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5719, 45, 563eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5857ralrimivva 2758 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
596, 20, 33, 24isph 22276 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil OLD  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
604, 58, 59sylanbrc 646 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    + caddc 8949    x. cmul 8951   2c2 10005   ^cexp 11337   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   -vcnsb 22021   normCVcnmcv 22022   SubSpcss 22173   CPreHil OLDccphlo 22266
This theorem is referenced by:  ssphl  22372  hhssph  22727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ssp 22174  df-ph 22267
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