Theorem sspmval 9731

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	|- Y = (BaseSet` W)
sspm.m	|- M = (-v` U)
sspm.l	|- L = (-v` W)
sspm.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (AMB))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 |- H = (SubSp` U)
2	1	sspnv 9724	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
3		ax1cn 6422	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
4	3	negcli 6526	. . . . . . . . 9 |- -u1 e. CC
5		sspm.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (BaseSet` W)
6		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- (.s` W) = (.s` W)
7	5, 6	nvscl 9579	. . . . . . . . 9 |- ((W e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) e. Y)
8	4, 7	mp3an2 1179	. . . . . . . 8 |- ((W e. NrmCVec /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) e. Y)
9	8	ex 402	. . . . . . 7 |- (W e. NrmCVec -> (B e. Y -> (-u1(.s` W)B) e. Y))
10	2, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> (-u1(.s` W)B) e. Y))
11	10	anim2d 620	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y)))
12	11	imp 377	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y))
13		eqid 1884	. . . . 5 |- (+v` U) = (+v` U)
14		eqid 1884	. . . . 5 |- (+v` W) = (+v` W)
15	5, 13, 14, 1	sspgval 9727	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)))
16	12, 15	syldan 516	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)))
17		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (.s` U) = (.s` U)
18	5, 17, 6, 1	sspsval 9729	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (-u1 e. CC /\ B e. Y)) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
19	4, 18	mpanr1 774	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
20	19	adantrl 430	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
21	20	opreq2d 4898	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
22	16, 21	eqtrd 1925	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
23		sspm.l	. . . . 5 |- L = (-v` W)
24	5, 14, 6, 23	nvmval 9595	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
25	24	3expb 1068	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
26	25, 2	sylan 497	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
27		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
28	27, 5, 1	sspba 9725	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y C_ (BaseSet` U))
29	28	sseld 2619	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (A e. Y -> A e. (BaseSet` U)))
30	28	sseld 2619	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> B e. (BaseSet` U)))
31	29, 30	anim12d 617	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U))))
32	31	imp 377	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U)))
33		sspm.m	. . . . . 6 |- M = (-v` U)
34	27, 13, 17, 33	nvmval 9595	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
35	34	3expb 1068	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U))) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
36	35	adantlr 429	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U))) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
37	32, 36	syldan 516	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
38	22, 26, 37	3eqtr4d 1937	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (AMB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  -vcnsb 9540  SubSpcss 9719

This theorem is referenced by:  sspm 9732  sspz 9733  sspimsval 9738  sspph 9856  minveclem28 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ssp 9720

Copyright terms: Public domain