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Theorem sspmlem 24267
Description: Lemma for sspm 24269 and others. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmlem.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspmlem.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
sspmlem.1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x G y ) )
sspmlem.2  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> R )
sspmlem.3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> S )
Assertion
Ref Expression
sspmlem  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, H, y    x, U, y   
x, W, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem sspmlem
StepHypRef Expression
1 sspmlem.1 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x G y ) )
2 ovres 6332 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x G y ) )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x G y ) )
41, 3eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) )
54ralrimivva 2906 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) )
6 eqid 2451 . . 3  |-  ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)
75, 6jctil 537 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( Y  X.  Y
)  =  ( Y  X.  Y )  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) ) )
8 sspmlem.h . . . . 5  |-  H  =  ( SubSp `  U )
98sspnv 24261 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
10 sspmlem.2 . . . 4  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> R )
11 ffn 5659 . . . 4  |-  ( F : ( Y  X.  Y ) --> R  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y ) )
129, 10, 113syl 20 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y
) )
13 sspmlem.3 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> S )
14 ffn 5659 . . . . . 6  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> S  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  Fn  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
17 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
18 sspmlem.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
1917, 18, 8sspba 24262 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
20 xpss12 5045 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  ( BaseSet `  U )  /\  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
2119, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
22 fnssres 5624 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
24 eqfnov 6298 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )  -> 
( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
2512, 23, 24syl2anc 661 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
267, 25mpbird 232 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3428    X. cxp 4938    |` cres 4942    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   NrmCVeccnv 24099   BaseSetcba 24101   SubSpcss 24256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-fo 5524  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-nmcv 24115  df-ssp 24257
This theorem is referenced by:  sspm  24269  sspi  24274  sspims  24276
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