Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspmaplubN Structured version   Unicode version

Theorem sspmaplubN 35122
Description: A set of atoms is a subset of the projective map of its LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmaplub.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
sspmaplub.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
sspmaplub.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
sspmaplubN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  ->  S  C_  ( M `  ( U `  S ) ) )

Proof of Theorem sspmaplubN
StepHypRef Expression
1 sspmaplub.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( _|_P `  K )  =  ( _|_P `  K )
31, 22polssN 35112 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  ->  S  C_  ( ( _|_P `  K ) `
 ( ( _|_P `  K ) `
 S ) ) )
4 sspmaplub.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
5 sspmaplub.m . . 3  |-  M  =  ( pmap `  K
)
64, 1, 5, 22polvalN 35111 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
( ( _|_P `  K ) `  (
( _|_P `  K ) `  S
) )  =  ( M `  ( U `
 S ) ) )
73, 6sseqtrd 3545 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  ->  S  C_  ( M `  ( U `  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5594   lubclub 15446   Atomscatm 34461   HLchlt 34548   pmapcpmap 34694   _|_PcpolN 35099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-undef 7014  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-pmap 34701  df-polarityN 35100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator