MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspm Structured version   Unicode version

Theorem sspm 24311
Description: Vector subtraction on a subspace is a restriction of vector subtraction on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspm.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
sspm.l  |-  L  =  ( -v `  W
)
sspm.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspm  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  L  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem sspm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspm.y . 2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2 sspm.h . 2  |-  H  =  ( SubSp `  U )
3 sspm.m . . 3  |-  M  =  ( -v `  U
)
4 sspm.l . . 3  |-  L  =  ( -v `  W
)
51, 3, 4, 2sspmval 24310 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x L y )  =  ( x M y ) )
61, 4nvmf 24205 . 2  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  L : ( Y  X.  Y ) --> Y )
7 eqid 2454 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
87, 3nvmf 24205 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
91, 2, 5, 6, 8sspmlem 24309 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  L  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    X. cxp 4949    |` cres 4953   ` cfv 5529   NrmCVeccnv 24141   BaseSetcba 24143   -vcnsb 24146   SubSpcss 24298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-ltxr 9538  df-sub 9712  df-neg 9713  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-gdiv 23860  df-ablo 23948  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-vs 24156  df-nmcv 24157  df-ssp 24299
This theorem is referenced by:  hhssvs  24852
  Copyright terms: Public domain W3C validator