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Theorem sspival 22190
Description: The inner product on a subspace in terms of the inner product on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspi.p  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
sspi.q  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
sspi.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspival  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( A P B ) )

Proof of Theorem sspival
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
2 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
32nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN0 )
4 expcl 11354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
65anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 4 )  /\  B  e.  Y )  ->  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )
76anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Y  /\  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )
87anass1rs 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
)  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )
9 sspi.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( SubSp `  U )
109sspnv 22178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
11 sspi.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
1311, 12nvscl 22060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
_i ^ k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y )
14133expib 1156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( ( _i ^ k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) )
1514anim2d 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
)  e.  CC  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) ) )
1615imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )
17 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
1811, 17nvgcl 22052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y )  -> 
( A ( +v
`  W ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B ) )  e.  Y )
19183expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
2016, 19syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
2110, 20sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
22 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
2411, 22, 23, 9sspnval 22189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
25243expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A ( +v
`  W ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B ) )  e.  Y )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
2621, 25syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
2710, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B )  e.  Y ) )
2827anim2d 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) ) )
2928imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3111, 30, 17, 9sspgval 22181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B ) ) )
3229, 31syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B ) ) )
33 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
3411, 33, 12, 9sspsval 22183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )  ->  ( (
_i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B )  =  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) )
3534adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  =  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) )
3635oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
3732, 36eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
3837fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
3926, 38eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
408, 39sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y )  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
4140anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
4241oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )
4342oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
4443sumeq2dv 12452 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
4544oveq1d 6055 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
46 sspi.q . . . . 5  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
4711, 17, 12, 23, 46ipval 22152 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( A Q B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
48473expb 1154 . . 3  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( A Q B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
4910, 48sylan 458 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
50 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
5150, 11, 9sspba 22179 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
5251sseld 3307 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( A  e.  Y  ->  A  e.  ( BaseSet `  U
) ) )
5351sseld 3307 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( B  e.  Y  ->  B  e.  ( BaseSet `  U
) ) )
5452, 53anim12d 547 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
)  ->  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
5554imp 419 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U )
) )
56 sspi.p . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5750, 30, 33, 22, 56ipval 22152 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( A P B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
58573expb 1154 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5958adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  (
BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( A P B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
6055, 59syldan 457 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
6145, 49, 603eqtr4d 2446 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947   _ici 8948    x. cmul 8951    / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ...cfz 10999   ^cexp 11337   sum_csu 12434   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s OLDcns 22019   normCVcnmcv 22022   .i OLDcdip 22149   SubSpcss 22173
This theorem is referenced by:  sspi  22191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-sum 12435  df-grpo 21732  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-nmcv 22032  df-dip 22150  df-ssp 22174
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