HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sspival 9736
Description: The inner product on a subspace in terms of the inner product on the parent space.
Hypotheses
Ref Expression
sspi.y |- Y = (BaseSet` W)
sspi.p |- P = (.i` U)
sspi.q |- Q = (.i` W)
sspi.h |- H = (SubSp` U)
Assertion
Ref Expression
sspival |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AQB) = (APB))
Proof of Theorem sspival
StepHypRef Expression
1 sspi.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Y = (BaseSet` W)
2 eqid 1884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (.s` W) = (.s` W)
31, 2nvscl 9579 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((W e. NrmCVec /\ (_i^k) e. CC /\ B e. Y) -> ((_i^k)(.s` W)B) e. Y)
433expib 1070 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (W e. NrmCVec -> (((_i^k) e. CC /\ B e. Y) -> ((_i^k)(.s` W)B) e. Y))
54anim2d 620 . . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y)) -> (A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y)))
65imp 377 . . . . . . . . . . . 12 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y))
7 eqid 1884 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (+v` W) = (+v` W)
81, 7nvgcl 9571 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) e. Y)
983expb 1068 . . . . . . . . . . . 12 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y)) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) e. Y)
106, 9syldan 516 . . . . . . . . . . 11 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) e. Y)
11 sspi.h . . . . . . . . . . . 12 |- H = (SubSp` U)
1211sspnv 9724 . . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
1310, 12sylan 497 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) e. Y)
14 eqid 1884 . . . . . . . . . . . 12 |- (norm` U) = (norm` U)
15 eqid 1884 . . . . . . . . . . . 12 |- (norm` W) = (norm` W)
161, 14, 15, 11sspnval 9735 . . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H /\ (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) e. Y) -> ((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))))
17163expa 1067 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) e. Y) -> ((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))))
1813, 17syldan 516 . . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> ((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))))
1912, 4syl 12 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (((_i^k) e. CC /\ B e. Y) -> ((_i^k)(.s` W)B) e. Y))
2019anim2d 620 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y)) -> (A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y)))
2120imp 377 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y))
22 eqid 1884 . . . . . . . . . . . . 13 |- (+v` U) = (+v` U)
231, 22, 7, 11sspgval 9727 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k)(.s` W)B) e. Y)) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) = (A(+v` U)((_i^k)(.s` W)B)))
2421, 23syldan 516 . . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) = (A(+v` U)((_i^k)(.s` W)B)))
25 eqid 1884 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (.s` U) = (.s` U)
261, 25, 2, 11sspsval 9729 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y)) -> ((_i^k)(.s` W)B) = ((_i^k)(.s` U)B))
2726adantrl 430 . . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> ((_i^k)(.s` W)B) = ((_i^k)(.s` U)B))
2827opreq2d 4898 . . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A(+v` U)((_i^k)(.s` W)B)) = (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))
2924, 28eqtrd 1925 . . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)) = (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))
3029fveq2d 4685 . . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> ((norm` U)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B))))
3118, 30eqtrd 1925 . . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))) -> ((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B))))
32 elfznn 7666 . . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. (1...4) -> k e. NN)
33 nnnn0 7315 . . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. NN -> k e. NN0)
34 axicn 6423 . . . . . . . . . . . . . 14 |- _i e. CC
35 expcl 7824 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((_i e. CC /\ k e. NN0) -> (_i^k) e. CC)
3634, 35mpan 759 . . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. NN0 -> (_i^k) e. CC)
3732, 33, 363syl 24 . . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (1...4) -> (_i^k) e. CC)
3837anim1i 361 . . . . . . . . . . 11 |- ((k e. (1...4) /\ B e. Y) -> ((_i^k) e. CC /\ B e. Y))
3938anim2i 362 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. Y /\ (k e. (1...4) /\ B e. Y)) -> (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y)))
4039anassrs 489 . . . . . . . . 9 |- (((A e. Y /\ k e. (1...4)) /\ B e. Y) -> (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y)))
4140an1rs 547 . . . . . . . 8 |- (((A e. Y /\ B e. Y) /\ k e. (1...4)) -> (A e. Y /\ ((_i^k) e. CC /\ B e. Y)))
4231, 41sylan2 500 . . . . . . 7 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ ((A e. Y /\ B e. Y) /\ k e. (1...4))) -> ((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B))))
4342anassrs 489 . . . . . 6 |- ((((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) /\ k e. (1...4)) -> ((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B))) = ((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B))))
4443opreq1d 4897 . . . . 5 |- ((((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) /\ k e. (1...4)) -> (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2) = (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2))
4544opreq2d 4898 . . . 4 |- ((((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) /\ k e. (1...4)) -> ((_i^k) x. (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2)) = ((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)))
4645sumeq2dv 8252 . . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2)) = sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)))
4746opreq1d 4897 . 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2)) / 4) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
48 sspi.q . . . . 5 |- Q = (.i` W)
491, 7, 2, 15, 48ipval 9692 . . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y) -> (AQB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2)) / 4))
50493expb 1068 . . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AQB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2)) / 4))
5150, 12sylan 497 . 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AQB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` W)` (A(+v` W)((_i^k)(.s` W)B)))^2)) / 4))
52 eqid 1884 . . . . . . 7 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` U)
5352, 1, 11sspba 9725 . . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y C_ (BaseSet` U))
5453sseld 2619 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (A e. Y -> A e. (BaseSet` U)))
5553sseld 2619 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> B e. (BaseSet` U)))
5654, 55anim12d 617 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U))))
5756imp 377 . . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U)))
58 sspi.p . . . . . 6 |- P = (.i` U)
5952, 22, 25, 14, 58ipval 9692 . . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U)) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
60593expb 1068 . . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U))) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
6160adantlr 429 . . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. (BaseSet` U) /\ B e. (BaseSet` U))) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
6257, 61syldan 516 . 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
6347, 51, 623eqtr4d 1937 1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AQB) = (APB))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  _ici 6388   x. cmul 6391   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  2c2 7145  4c4 7147  ...cfz 7637  ^cexp 7811  sum_csu 8239  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  normcnm 9541  .icip 9688  SubSpcss 9719
This theorem is referenced by:  sspi 9737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-ip 9689  df-ssp 9720
Copyright terms: Public domain