MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspg Structured version   Unicode version

Theorem sspg 25839
Description: Vector addition on a subspace is a restriction of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspg.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspg.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
sspg.f  |-  F  =  ( +v `  W
)
sspg.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspg  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem sspg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 sspg.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 25709 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 ffun 5715 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  ->  Fun  G )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Fun  G )
6 funres 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
87adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
9 sspg.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( SubSp `  U )
109sspnv 25837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
11 sspg.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 sspg.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( +v `  W
)
1311, 12nvgf 25709 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> Y )
1410, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> Y )
15 ffn 5713 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( Y  X.  Y ) --> Y  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y
) )
17 fnresdm 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  F )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  F )
19 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
20 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
21 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
22 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
232, 12, 19, 20, 21, 22, 9isssp 25835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( W  e.  H  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( F  C_  G  /\  ( .sOLD `  W )  C_  ( .sOLD `  U )  /\  ( normCV `  W
)  C_  ( normCV `  U
) ) ) ) )
2423simplbda 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  C_  G  /\  ( .sOLD `  W ) 
C_  ( .sOLD `  U )  /\  ( normCV `  W )  C_  ( normCV `  U ) ) )
2524simp1d 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  C_  G )
26 ssres 5287 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2818, 27eqsstr3d 3524 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
298, 16, 283jca 1174 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
30 oprssov 6417 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  /\  F  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x F y ) )
3129, 30sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x F y ) )
3231eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) )
3332ralrimivva 2875 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) )
34 eqid 2454 . . 3  |-  ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)
3533, 34jctil 535 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( Y  X.  Y
)  =  ( Y  X.  Y )  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) ) )
36 ffn 5713 . . . . . 6  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  ->  G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
373, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  Fn  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
3837adantr 463 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
391, 11, 9sspba 25838 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
40 xpss12 5096 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  ( BaseSet `  U )  /\  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
4139, 39, 40syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
42 fnssres 5676 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
4338, 41, 42syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
44 eqfnov 6381 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )  -> 
( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
4516, 43, 44syl2anc 659 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
4635, 45mpbird 232 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461    X. cxp 4986    |` cres 4990   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   NrmCVeccnv 25675   +vcpv 25676   BaseSetcba 25677   .sOLDcns 25678   normCVcnmcv 25681   SubSpcss 25832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-grpo 25391  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-nmcv 25691  df-ssp 25833
This theorem is referenced by:  sspgval  25840
  Copyright terms: Public domain W3C validator