Theorem ssorduniOLD 3871

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ssorduniOLD	|- (A C_ On -> Ord U.A)

Proof of Theorem ssorduniOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . . 9 |- (A C_ On -> (y e. A -> y e. On))
2		eloni 3667	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
3		ordtr 3672	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> Tr y)
4		trss 3421	. . . . . . . . . 10 |- (Tr y -> (x e. y -> x C_ y))
5	2, 3, 4	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (x e. y -> x C_ y))
6	1, 5	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x C_ y)))
7		anc2r 325	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> (x e. y -> x C_ y)) -> (y e. A -> (x e. y -> (x C_ y /\ y e. A))))
8	6, 7	syl 12	. . . . . . 7 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> (x C_ y /\ y e. A))))
9		ssuni 3201	. . . . . . 7 |- ((x C_ y /\ y e. A) -> x C_ U.A)
10	8, 9	syl8 27	. . . . . 6 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x C_ U.A)))
11	10	r19.23adv 2215	. . . . 5 |- (A C_ On -> (E.y e. A x e. y -> x C_ U.A))
12		eluni2 3181	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y e. A x e. y)
13	11, 12	syl5ib 223	. . . 4 |- (A C_ On -> (x e. U.A -> x C_ U.A))
14	13	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (A C_ On -> A.x e. U.Ax C_ U.A)
15		dftr3 3415	. . 3 |- (Tr U.A <-> A.x e. U.Ax C_ U.A)
16	14, 15	sylibr 217	. 2 |- (A C_ On -> Tr U.A)
17		ordelord 3680	. . . . . . . . 9 |- ((Ord y /\ x e. y) -> Ord x)
18	17	ex 402	. . . . . . . 8 |- (Ord y -> (x e. y -> Ord x))
19		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
20	19	elon 3666	. . . . . . . 8 |- (x e. On <-> Ord x)
21	18, 20	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- (Ord y -> (x e. y -> x e. On))
22	2, 21	syl 12	. . . . . 6 |- (y e. On -> (x e. y -> x e. On))
23	1, 22	syl6 25	. . . . 5 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x e. On)))
24	23	r19.23adv 2215	. . . 4 |- (A C_ On -> (E.y e. A x e. y -> x e. On))
25	24, 12	syl5ib 223	. . 3 |- (A C_ On -> (x e. U.A -> x e. On))
26	25	ssrdv 2622	. 2 |- (A C_ On -> U.A C_ On)
27		ordon 3863	. . 3 |- Ord On
28		trssord 3675	. . . 4 |- ((Tr U.A /\ U.A C_ On /\ Ord On) -> Ord U.A)
29	28	3exp 1066	. . 3 |- (Tr U.A -> (U.A C_ On -> (Ord On -> Ord U.A)))
30	27, 29	mpii 56	. 2 |- (Tr U.A -> (U.A C_ On -> Ord U.A))
31	16, 26, 30	sylc 83	1 |- (A C_ On -> Ord U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain