Theorem ssorduni 3870

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- (A C_ On -> Ord U.A)

Proof of Theorem ssorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . . 9 |- (A C_ On -> (y e. A -> y e. On))
2		onelss 3705	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (x e. y -> x C_ y))
3	1, 2	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x C_ y)))
4		anc2r 325	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> (x e. y -> x C_ y)) -> (y e. A -> (x e. y -> (x C_ y /\ y e. A))))
5	3, 4	syl 12	. . . . . . 7 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> (x C_ y /\ y e. A))))
6		ssuni 3201	. . . . . . 7 |- ((x C_ y /\ y e. A) -> x C_ U.A)
7	5, 6	syl8 27	. . . . . 6 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x C_ U.A)))
8	7	r19.23adv 2215	. . . . 5 |- (A C_ On -> (E.y e. A x e. y -> x C_ U.A))
9		eluni2 3181	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y e. A x e. y)
10	8, 9	syl5ib 223	. . . 4 |- (A C_ On -> (x e. U.A -> x C_ U.A))
11	10	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (A C_ On -> A.x e. U.Ax C_ U.A)
12		dftr3 3415	. . 3 |- (Tr U.A <-> A.x e. U.Ax C_ U.A)
13	11, 12	sylibr 217	. 2 |- (A C_ On -> Tr U.A)
14		onelon 3683	. . . . . . 7 |- ((y e. On /\ x e. y) -> x e. On)
15	14	ex 402	. . . . . 6 |- (y e. On -> (x e. y -> x e. On))
16	1, 15	syl6 25	. . . . 5 |- (A C_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x e. On)))
17	16	r19.23adv 2215	. . . 4 |- (A C_ On -> (E.y e. A x e. y -> x e. On))
18	17, 9	syl5ib 223	. . 3 |- (A C_ On -> (x e. U.A -> x e. On))
19	18	ssrdv 2622	. 2 |- (A C_ On -> U.A C_ On)
20		ordon 3863	. . 3 |- Ord On
21		trssord 3675	. . . 4 |- ((Tr U.A /\ U.A C_ On /\ Ord On) -> Ord U.A)
22	21	3exp 1066	. . 3 |- (Tr U.A -> (U.A C_ On -> (Ord On -> Ord U.A)))
23	20, 22	mpii 56	. 2 |- (Tr U.A -> (U.A C_ On -> Ord U.A))
24	13, 19, 23	sylc 83	1 |- (A C_ On -> Ord U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  ssonuni 3872  orduni 3875  onsucuni 3907  limuni3 3936  onfununi 5116  tfrlem8 5126  unialeph 6043  axfelem0 14030  axfelem1 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain