MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssoprab2b Structured version   Unicode version

Theorem ssoprab2b 6291
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4716. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b
StepHypRef Expression
1 nfoprab1 6283 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 nfoprab1 6283 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
31, 2nfss 3434 . . 3  |-  F/ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
4 nfoprab2 6284 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 nfoprab2 6284 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
64, 5nfss 3434 . . . 4  |-  F/ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
7 nfoprab3 6285 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
8 nfoprab3 6285 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
97, 8nfss 3434 . . . . 5  |-  F/ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
10 ssel 3435 . . . . . 6  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  ->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps } ) )
11 oprabid 6261 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
12 oprabid 6261 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ps )
1310, 11, 123imtr3g 269 . . . . 5  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( ph  ->  ps ) )
149, 13alrimi 1901 . . . 4  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. z ( ph  ->  ps ) )
156, 14alrimi 1901 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. y A. z
( ph  ->  ps )
)
163, 15alrimi 1901 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
17 ssoprab2 6290 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } )
1816, 17impbii 188 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1403    e. wcel 1842    C_ wss 3413   <.cop 3977   {coprab 6235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-oprab 6238
This theorem is referenced by:  eqoprab2b  6292
  Copyright terms: Public domain W3C validator