MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssoprab2b Structured version   Unicode version

Theorem ssoprab2b 6255
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4726. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b
StepHypRef Expression
1 nfoprab1 6247 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 nfoprab1 6247 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
31, 2nfss 3460 . . 3  |-  F/ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
4 nfoprab2 6248 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 nfoprab2 6248 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
64, 5nfss 3460 . . . 4  |-  F/ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
7 nfoprab3 6249 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
8 nfoprab3 6249 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
97, 8nfss 3460 . . . . 5  |-  F/ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
10 ssel 3461 . . . . . 6  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  ->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps } ) )
11 oprabid 6227 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
12 oprabid 6227 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ps )
1310, 11, 123imtr3g 269 . . . . 5  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( ph  ->  ps ) )
149, 13alrimi 1816 . . . 4  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. z ( ph  ->  ps ) )
156, 14alrimi 1816 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. y A. z
( ph  ->  ps )
)
163, 15alrimi 1816 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
17 ssoprab2 6254 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } )
1816, 17impbii 188 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1368    e. wcel 1758    C_ wss 3439   <.cop 3994   {coprab 6204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-oprab 6207
This theorem is referenced by:  eqoprab2b  6256
  Copyright terms: Public domain W3C validator