MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssopab2b Structured version   Unicode version

Theorem ssopab2b 4710
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssopab2b  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)

Proof of Theorem ssopab2b
StepHypRef Expression
1 nfopab1 4453 . . . 4  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
2 nfopab1 4453 . . . 4  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ps }
31, 2nfss 3444 . . 3  |-  F/ x { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }
4 nfopab2 4454 . . . . 5  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
5 nfopab2 4454 . . . . 5  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ps }
64, 5nfss 3444 . . . 4  |-  F/ y { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }
7 ssel 3445 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  ->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ps } ) )
8 opabid 4691 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ph )
9 opabid 4691 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ps }  <->  ps )
107, 8, 93imtr3g 269 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  ( ph  ->  ps ) )
116, 10alrimi 1813 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  A. y ( ph  ->  ps ) )
123, 11alrimi 1813 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
13 ssopab2 4709 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  ->  { <. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } )
1412, 13impbii 188 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1368    e. wcel 1758    C_ wss 3423   <.cop 3978   {copab 4444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pr 4626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rab 2802  df-v 3067  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-opab 4446
This theorem is referenced by:  eqopab2b  4713  dffun2  5523  marypha2lem3  7785  cvmlift2lem12  27334
  Copyright terms: Public domain W3C validator