Theorem ssopab2 3573

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication.

Assertion

Ref	Expression
ssopab2	|- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Proof of Theorem ssopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 3562	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab1 3562	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.x z e. {<.x, y>. | ps})
3	1, 2	hbss 2614	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> A.x{<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps})
4		hbopab2 3563	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
5		hbopab2 3563	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.y z e. {<.x, y>. | ps})
6	4, 5	hbss 2614	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> A.y{<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps})
7		opex 3527	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. _V
8	7	isseti 2297	. . . . 5 |- E.z z = <.x, y>.
9		copsexg 3537	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
10		copsexg 3537	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ps <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
11	9, 10	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (z = <.x, y>. -> ((ph -> ps) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps))))
12		ss2ab 2675	. . . . . . . . 9 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} C_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} <-> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
13		ax-4 1319	. . . . . . . . 9 |- (A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
14	12, 13	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} C_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
15	11, 14	syl5bir 227	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} C_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (ph -> ps)))
16		df-opab 3396	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
17		df-opab 3396	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ps} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}
18	16, 17	sseq12i 2643	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} <-> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} C_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
19	15, 18	syl5ib 223	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
20	19	19.23aiv 1674	. . . . 5 |- (E.z z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
21	8, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps))
22	6, 21	19.21ai 1345	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> A.y(ph -> ps))
23	3, 22	19.21ai 1345	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} -> A.xA.y(ph -> ps))
24		hba1 1350	. . . . 5 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.xA.xA.y(ph -> ps))
25		hba1 1350	. . . . . . 7 |- (A.y(ph -> ps) -> A.yA.y(ph -> ps))
26		ax-4 1319	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> (ph -> ps))
27	26	anim2d 620	. . . . . . 7 |- (A.y(ph -> ps) -> ((z = <.x, y>. /\ ph) -> (z = <.x, y>. /\ ps)))
28	25, 27	eximd 1410	. . . . . 6 |- (A.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
29	28	a4s 1330	. . . . 5 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
30	24, 29	eximd 1410	. . . 4 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
31	30	ss2abdv 2680	. . 3 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} C_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
32	31, 16, 17	3sstr4g 2658	. 2 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps})
33	23, 32	impbii 174	1 |- ({<.x, y>. | ph} C_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298  E.wex 1326  {cab 1871   C_ wss 2593  <.cop 3046  {copab 3395

This theorem is referenced by:  ssopab2i 3574  cnvss 4134  cotrOLD 4303  cnvsymOLD 4305  dffun2 4431  sfvlim 10296  ssoprab2g 14333  inclrel 14444  heiborlem27 15981

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396

Copyright terms: Public domain