Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Unicode version

Theorem ssoninhaus 28294
Description: The ordinal topologies  1o and  2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 6927 . . 3  |-  1o  e.  On
2 2on 6928 . . 3  |-  2o  e.  On
3 prssi 4029 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  { 1o ,  2o }  C_  On )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  On
5 df1o2 6932 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 pw0 4020 . . . . 5  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
75, 6eqtr4i 2466 . . . 4  |-  1o  =  ~P (/)
8 0ex 4422 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
9 dishaus 18986 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ~P (/)  e.  Haus )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P (/)  e.  Haus
117, 10eqeltri 2513 . . 3  |-  1o  e.  Haus
12 df2o2 6934 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
13 pwpw0 4021 . . . . 5  |-  ~P { (/)
}  =  { (/) ,  { (/) } }
1412, 13eqtr4i 2466 . . . 4  |-  2o  =  ~P { (/) }
15 p0ex 4479 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
16 dishaus 18986 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ~P { (/) }  e.  Haus )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  Haus
1814, 17eqeltri 2513 . . 3  |-  2o  e.  Haus
19 prssi 4029 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Haus  /\  2o  e.  Haus )  ->  { 1o ,  2o }  C_  Haus )
2011, 18, 19mp2an 672 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  Haus
214, 20ssini 3573 1  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   {cpr 3879   Oncon0 4719   1oc1o 6913   2oc2o 6914   Hauscha 18912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-1o 6920  df-2o 6921  df-top 18503  df-haus 18919
This theorem is referenced by:  onint1  28295  oninhaus  28296
  Copyright terms: Public domain W3C validator