Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Unicode version

Theorem ssoninhaus 30667
Description: The ordinal topologies  1o and  2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 7173 . . 3  |-  1o  e.  On
2 2on 7174 . . 3  |-  2o  e.  On
3 prssi 4127 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  { 1o ,  2o }  C_  On )
41, 2, 3mp2an 670 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  On
5 df1o2 7178 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 pw0 4118 . . . . 5  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
75, 6eqtr4i 2434 . . . 4  |-  1o  =  ~P (/)
8 0ex 4525 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
9 dishaus 20174 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ~P (/)  e.  Haus )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P (/)  e.  Haus
117, 10eqeltri 2486 . . 3  |-  1o  e.  Haus
12 df2o2 7180 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
13 pwpw0 4119 . . . . 5  |-  ~P { (/)
}  =  { (/) ,  { (/) } }
1412, 13eqtr4i 2434 . . . 4  |-  2o  =  ~P { (/) }
15 p0ex 4580 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
16 dishaus 20174 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ~P { (/) }  e.  Haus )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  Haus
1814, 17eqeltri 2486 . . 3  |-  2o  e.  Haus
19 prssi 4127 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Haus  /\  2o  e.  Haus )  ->  { 1o ,  2o }  C_  Haus )
2011, 18, 19mp2an 670 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  Haus
214, 20ssini 3661 1  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   {csn 3971   {cpr 3973   Oncon0 5409   1oc1o 7159   2oc2o 7160   Hauscha 20100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 5412  df-on 5413  df-suc 5415  df-1o 7166  df-2o 7167  df-top 19689  df-haus 20107
This theorem is referenced by:  onint1  30668  oninhaus  30669
  Copyright terms: Public domain W3C validator