Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Unicode version

Theorem ssoninhaus 29476
Description: The ordinal topologies  1o and  2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 7127 . . 3  |-  1o  e.  On
2 2on 7128 . . 3  |-  2o  e.  On
3 prssi 4176 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  { 1o ,  2o }  C_  On )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  On
5 df1o2 7132 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 pw0 4167 . . . . 5  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
75, 6eqtr4i 2492 . . . 4  |-  1o  =  ~P (/)
8 0ex 4570 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
9 dishaus 19642 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ~P (/)  e.  Haus )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P (/)  e.  Haus
117, 10eqeltri 2544 . . 3  |-  1o  e.  Haus
12 df2o2 7134 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
13 pwpw0 4168 . . . . 5  |-  ~P { (/)
}  =  { (/) ,  { (/) } }
1412, 13eqtr4i 2492 . . . 4  |-  2o  =  ~P { (/) }
15 p0ex 4627 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
16 dishaus 19642 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ~P { (/) }  e.  Haus )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  Haus
1814, 17eqeltri 2544 . . 3  |-  2o  e.  Haus
19 prssi 4176 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Haus  /\  2o  e.  Haus )  ->  { 1o ,  2o }  C_  Haus )
2011, 18, 19mp2an 672 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  Haus
214, 20ssini 3714 1  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   {csn 4020   {cpr 4022   Oncon0 4871   1oc1o 7113   2oc2o 7114   Hauscha 19568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-1o 7120  df-2o 7121  df-top 19159  df-haus 19575
This theorem is referenced by:  onint1  29477  oninhaus  29478
  Copyright terms: Public domain W3C validator