MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnum Structured version   Unicode version

Theorem ssnum 8212
Description: A subset of a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssnum  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem ssnum
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7358 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
3 numdom 8211 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )
42, 3syldan 470 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3331   class class class wbr 4295   dom cdm 4843    ~<_ cdom 7311   cardccrd 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-recs 6835  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-card 8112
This theorem is referenced by:  onssnum  8213  numacn  8222  dfac12r  8318  infdif  8381  fin23lem22  8499  ttukey2g  8688  smobeth  8753  canthnumlem  8818  gchac  8851  tskurn  8959  lbsextlem4  17245  1stcrestlem  19059  2ndcsep  19066  filssufilg  19487  ptcmplem2  19628  ptcmplem3  19629  ttac  29388
  Copyright terms: Public domain W3C validator