MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnum Structured version   Unicode version

Theorem ssnum 8409
Description: A subset of a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssnum  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem ssnum
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7551 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
3 numdom 8408 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )
42, 3syldan 470 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992    ~<_ cdom 7504   cardccrd 8305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-recs 7032  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-card 8309
This theorem is referenced by:  onssnum  8410  numacn  8419  dfac12r  8515  infdif  8578  fin23lem22  8696  ttukey2g  8885  smobeth  8950  canthnumlem  9015  gchac  9048  tskurn  9156  lbsextlem4  17583  1stcrestlem  19712  2ndcsep  19719  filssufilg  20140  ptcmplem2  20281  ptcmplem3  20282  ttac  30571
  Copyright terms: Public domain W3C validator