MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnum Structured version   Unicode version

Theorem ssnum 8197
Description: A subset of a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssnum  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem ssnum
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7343 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
3 numdom 8196 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )
42, 3syldan 467 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    C_ wss 3316   class class class wbr 4280   dom cdm 4827    ~<_ cdom 7296   cardccrd 8093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-recs 6818  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-card 8097
This theorem is referenced by:  onssnum  8198  numacn  8207  dfac12r  8303  infdif  8366  fin23lem22  8484  ttukey2g  8673  smobeth  8738  canthnumlem  8803  gchac  8836  tskurn  8944  lbsextlem4  17164  1stcrestlem  18898  2ndcsep  18905  filssufilg  19326  ptcmplem2  19467  ptcmplem3  19468  ttac  29230
  Copyright terms: Public domain W3C validator